bonjour aidez moi svp svp, exo de géométrie, c pour un devoir!

Posté par gabri (invité)

-Dans le trapèze quelconque ABCD, (AB)//(CD).
-Les diagonales se coupent en L.
-La parallèle à (AB) passant par L coupe (AD) en K.
I) Démontrer que KL=DK
                       AB   DA
   et KL=AK
       DC AD       (cette question j'ai trouvé,il suffit d'appliquer le théorème de Thalès)

II) Démontrer que KL+KL=1
                        AB  DC
    En déduire que 1 +1 =1
                        AB CD KL
    
III) (KL) coupe (BC) en K'. Démontrer que:
             1 +1 =1
            AB  CD LK'
Que peut-on en déduire?

(PS: il est logique qu'il faut construire le trapèze et ses droites pour se le représenter)
Voila mille merci si vous pouvez m'aider:):)

Posté par minotaure (invité)

salut
D'apres 1)
KL/AB=DK/DA

et KL/DC=AK/AD

donc KL/AB+KL/DC=(DK+AK)/AD

or DK+AK=AD.
pouquoi ?
(KL)//(DC)  (car (KL)//(AB) et (KL)//(DC))
L milieu de [AC].d'apres un des theoreme de la droite des milieux, K milieu de [AD]
donc AK+DK=AD

donc KL/AB+KL/DC=AD/AD=1.

KL/AB+KL/DC=1 (1)

puis on divise par KL (KL non nul c'est evident sinon on peut le justifier comme ca :
car KL=(1/2)*DC (grace au theoreme de Thales ou celui de la droite des milieux) et DC non nul car sinon D=C)

donc en divisant (1) par KL on a 1/AB+1/DC=1/KL

III)est il besoin de faire un raisonnement pour cette question ?
il est analogue a la question 1+2.
on utilise le thoereme de Thales pour avoir :
K'L/AB=CK'/BC (2)

et K'L/DC=BK'/BC (3)

puis la somme de (2) et (3)
on K'L/AB+K'L/DC=(CK'+BK')/BC.

par un raisonnement analogue a ce que je fais au debut de mon post on demontre que CK'+BK')=BC.

donc K'L/AB+K'L/DC=1
puis on divise par K'L.

et on a 1/AB+1/DC=1/K'L

la deduction :
DANS II) 1/AB+1/DC=1/KL
DANS III) 1/AB+1/DC=1/K'L

donc 1/KL=1/K'L => KL=K'L.

donc L est le milieu de [KK']
justification si necessaire :
KL=K'L donc L est sur la mediatrice de [KK']
or K,K',L sont alignes donc L est sur [KK']
L est sur [KK'] et sur la mediatrice de [KK'] donc
L est le milieu de [KK'].
mais bon c'est vraiment lourdot, je me demande si c'est vraiment necessaire de le demontrer.
a toi de voir.

Posté par gabri (invité)

MILLE MERCI MERCI MERCI MERCI!!C'est très gentil d'avoir pris un peu de temps pour moi!
J'ai tout compris (c vraiment que c'est très bien expliqué alors!)
bravo