Bonjour.

Tu peux montrer qu'ils sont tous en bijection avec . (en effet, la relation "être équipotent à" est une relation d'équivalence)
Pour les intervalles bornés, pense à utiliser une fonction affine, et pour ceux non bornés, une tangente.

Bonjour et merci,

Pourrais tu me dire comment il t'es venu a l'idée de prendre ]0,1[ ?
Je vais essayer avec cet intervalle.

"Pour les intervalles bornés, pense à utiliser une fonction affine, et pour ceux non bornés, une tangente."

J'ai pas compris lol ...

En fait, il n'y a pas d'intervalle qui se distingue des autres, ]0,1[ est juste plus simple pour les calculs (et encore ...)

Soit I un intervalle non trivial de R.
On veut donc trouver une bijection entre ]0,1[ et l'intervalle I.
Il faut en fait discuter suivant la nature de I.
Il y a plusieurs cas, I peut etre de la forme ]a,b[, [a,b], ]a,b], [a,b[, [a, +[, ]a, +[, ]-, a], ]-, a[, et finalement .

En fait, il n'y a pas tellement de cas à discuter, car les quatres premiers intervalles sont équipotents, et les quatre suivants aussi. (je te laisse le prouver )
Du coup, il reste à étudier le cas ]a,b[, le cas ]a, +[ et le cas R tout entier.
Pour le premier, vois tu une fonction affine (c'est à dire de la forme ) qui réalise une bijection entre ]a,b[ et ]0,1[ ?

Alors pour le premier,

]0,1[----->]a,b[
x -------->(b-a)x+a

Bijection donc ]a,b[ equipotent a ]0,1[ OK

Pour tous les autres,
[a,b], ]a,b], [a,b[, je peux montrer qu'ils sont equipotents en utilisant ca :

]a,b[ infini
{a,b} fini

=> ]a,b[U{a,b} equipotent a ]a,b[
<=> [a,b] equipotent a ]a,b[

meme raisonnement opur tous les autres ...

c'est l'idée ?

Je dois demontrer ce resultat ou je peux l'utiliser directement comme ceci ??

]a,b[ infini
{a,b} fini

=> ]a,b[U{a,b} equipotent a ]a,b[
<=> [a,b] equipotent a ]a,b[

jai oublié de preciser que {a,b}]a,b[ =

decidement,

ce n'est pas le simple fait que {a,b} soit fini qui me permet de dire ca, mais le fait qu'il soit Au plus denombrable, ce qui est moins fort, que j'utilise en fait (et fini est plus fort d'ou ma conclusion)

Est ce un théoreme particuler ?

merci encore je suis un peu lourd la ...

En fait, tu utilise le fait que si est un ensemble infini, et une partie finie de , alors est équipotent à privé de .

Ok pour ta bijection (qui en est une car , puisque l'intervalle est non trivial).

Maintenant, vois-tu un intervalle de type ]a,b[ et une bijection entre cet intervalle et ? (indice : une tangente ou une tangente hyperbolique)

hum pour la bijection ...

R ]a,b[
x

ca m'a l'air pas mal ca non ?

encore merci

hum non ya un + entre les 2 termes du numérateur

Très bien, à la limite, pour pas s'embêter, on pouvait directement fixer ]a,b[ = ]-1,1[, pour retomber directement sur la tangente hyperbolique. (puisque on sait déjà que ]-1,1[ est équipotent aux ]a,b[ quelconques)

Il ne reste plus qu'a conclure pour les quatre autres. Une idée de bijection entre ]a, +[ et ?

hum ... non la jai pas

Pense au couple exponentielle/logarithme

hum ... ok je verrais bien un truc comme ca alors ...

]a,+[
x ln(e^a+e^x)

c'est bon ?

mais comment ca te viens à l'idée tous ces trucs la aussi ? c'est la pratique ?? merci encore
Ou tu as une astuce pour le sentir ?

Bonjour

Tout ceci est correct!

Je me permets juste de signaler que le théorème de Cantor-Bernstein (au cas où vous l'avez en stock) permet d'économiser une bonne part du boulot!

bonjour,

et merci pour la reponse !

Hum cantor bernstein je l'ia en stock mais j'ai jamais regardé à quoi il pouvait me servir, je regarde et si je vois pas (meme si je vois) je poste me questionner ...

Par exemple, ici où (0,1) est n'importe lequel des intervalles contenant ou non 0 ou 1. Une injection de dans ]0,1[ (par exemple 2Arctan(x)/) ferme la chaine et assure l'équipotence de toutes ces parties.

A ok cantor bernstein me permet de dire dans cet exemple :

e^x injective de sur ]a,+[ avec a=0
ln(x) injective de  ]a,+[ avec a=0 sur

donc je peux en construire h d:   ]a,+[ qui est bijective c'est ca ?

hum faudra que je refasse quand meme quelques exo, Cantor Bernstein peut me servir dans quels autres cas sinon ?

encore merci

Dans l'exemple que tu donnes elles sont évidemment réciproques l'une de l'autre. L'intérêt de Cantor-Bernstein est que si on exhibe une injection dans chaque sens, même sans aucun rapport entre elles, on est sur qu'il existe une bijection.

Ici, l'inclusion canonique [0,1] en est une et f(x) =2Arctan(x)/ est une injection (pas surjective) de dans [0,1]. Donc ils sont équipotents.

application RECIPROQUE sorry

Bonjour Camelia

En effet, avec le théorème de Cantor-Bernstein, ça devient plus évident, mais en même temps, c'est un peu un argument "marteau-pilon" pour quelque chose d'assez évident.

Pour l'injection canonique de F dans E, avec , c'est l'application définie de F dans E par (en fait, c'est la restriction de l'identité de E sur le sous-ensemble F). C'est évidemment une injection.

merci

>Arkhnor Oui, j'ai bien dit que tout était correct, mais j'aime bien signaler quand on peut utiliser un beau théorème!

Dans cette histoire d'intervalles le théorème est intéressant à utiliser dans le cas d'équipotence entre un compact et un non compact, où il est difficile d'exhiber une bijection (d'ailleurs tu ne l'as pas fait, tu as utilisé le fait qu'en réunissant avec un ensemble fini, on ne change pas le cardinal).