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Trace et valeurs propres
Bonjour a toutes et tous!
Mon problème est que je n'arrive pas à montrer que la trace d'une matrice est égale à la somme de ces valeurs propres.
Au préalable j'ai un polynôme P(X)=(-1)^n X^n+a_{n-1) X^{n-1}...+a_0
où P est le polynôme caractéristique de M,M matrice d'ordre n.On suppose de plus que P est scindé.
J'ai montré tout d'abord que a_0=det(M) et a_{n-1}=(-1)^{n-1}Tr(M)
après je sais pas quoi faire
Dois je utiliser le fait que M soit diagonalisable?
Merci de toute réponse
Bonjour
Si le polynome caractéristique est scindé, M n'est pas forcément diagonalisable. En revanche, elle est triangularisable.
Donc sur la diagonale de sa triangulée, il y a toutes les valeurs propres de M (cela vient du fait que le polynome caractéristique est le même dans toute base).
Comme la trace est indépendante de la base choisie, elle est égale à la trace calculée dans la base de triangulation, donc c'est la somme des valeurs propres.
Salut !
D'abord pourquoi ta matrice serait-elle diagonalisable? Ton polynôme est juste scindé, ça ne te permet pas de conclure que c'est diagonalisable... (mais ca te permet bien de dire qu'elleest trigonalisable).. peu importe.
P est scindé alors on peut l'écrire sous la forme où r est le nombre de vap, les
sont les vap chacune de multiplicité respective
On pose une liste des valeurs propres,c'est à dire on répète chaque vap autant de fois que sa multiplicité on aura alors:
Le terme d'ordre n-1 de ce polynôme est bien évidemment la somme de ses racines multipliée par c-à-d
et d'autre part le terme d'ordre n-1 du polynôme caractéristique ce n'est rien d'autre que
Ainsi:
Bonjour Monrow 
Oula ! super grillé !
Largement! Mais mon propos était nettement moins classe que le tien!
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