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Primitives, dérivés et fonction impaire

Posté par
ad76
02-11-08 à 19:18

Alors voici un des exercices de mon DM de maths sur lequel je souhaiterai avoir votre avis :

Soit f la fonction définie sur R par f(x) = 1/(1+x²). On note F la primitive de f qui vérifie F(0) = 0 c'est à dire la fonction définie sur R qui vérifie F(0) = 0 et F'(x) = 1/(1+x²). On ne cherchera pas à donner une expression de F(x).

1) Soit G la fonction définie sur R par : G(x) = F(x) + F(-x)
   a) Calculer G'(x)
   b) Calculer G(0) et en déduire que F est une fonction impaire
2) Soit H la fonction définie sur I = ]0;+ infini[ par H(x) = F(x) + F(1/x)
   a) Calculer H'(x)
   b) En déduire que pour tout x de I, H(x) = 2F(1)
3) Soit T la fonction définie sur J = [0; pi/2[ par T(x) = F(tanx) - x
   a) Calculer T'(x)
   b) Que pouvez vous en déduire pour T ?
   c) En déduire F(1)

Posté par
ad76
re : Primitives, dérivés et fonction impaire 02-11-08 à 22:07

Pour la question 1a) je trouve que G'(x) vaut 0, idem avec la 1b) où j'ai G(0) = 0, par conséquent F est une fonction impaire comme le dit l'énoncé ... est-ce correct ?

En ce qui concerne la question 2a) j'ai aussi H'(x) = 0, mais je bloque pour la suite ! Pourriez vous m'expliquer comment procéder ?

Posté par
Marcel Moderateur
re : Primitives, dérivés et fonction impaire 02-11-08 à 23:13

Bonsoir,

1)
G(x) = F(x)+F(-x)
a)
G'(x) = F'(x)-F'(-x) = f(x)-f(-x) = [1/(1+x²)]-[1/(1+(-x)²)] = [1/(1+x²)]-[1/(1+x²)] = 0 pour tout x R
b)
G(0) = F(0)+F(-0) = F(0)+F(0) = 0+0 = 0
G'(x) = 0 pour tout x R
Donc G est constante sur R
Donc G(x) = G(0) pour tout x R
Donc F(x)+F(-x) = 0 pour tout x R
Donc F(-x) = -F(x) pour tout x R
Donc F est impaire

2)
H(x) = F(x)+F(1/x)
a)
H'(x) = F'(x)-(1/x²)F'(1/x²) = f(x)-(1/x²)f(1/x²) = [1/(1+x²)]-(1/x²)[1/(1+(1/x)²)] = [1/(1+x²)]-[1/(x²+1)] = [1/(1+x²)]-[1/(1+x²)] = 0 pour tout x I
b)
H(1) = F(1)+F(1/1) = F(1)+F(1) = 2F(1)
H'(x) = 0 pour tout x I
Donc H est constante sur I
Donc H(x) = H(1) pour tout x I
Donc H(x) = 2F(1) pour tout x I

3)
T(x) = F(tan(x))-x
a)
T'(x) = (1+tan²(x))F'(tan(x))-1 = (1+tan²(x))f(tan(x))-1 = (1+tan²(x))[1/(1+tan²(x))]-1 = 1-1 = 0 pour tout x J
b)
T(0) = F(tan(0))-0 = F(0)-0 = 0-0 = 0
T'(x) = 0 pour tout x J
Donc T est constante sur J
Donc T(x) = T(0) pour tout x J
Donc T(x) = 0 pour tout x J
c)
T(pi/4) = 0
T(pi/4) = F(tan(pi/4))-(pi/4) = F(1)-(pi/4)
Donc F(1)-(pi/4) = 0
Donc F(1) = pi/4

Posté par
ad76
re : Primitives, dérivés et fonction impaire 03-11-08 à 11:48

Merci pour cette réponse, au finale j'avais bon jusqu'à la question 2b), après je me suis planté sur la dérivée de T(x).
Merci bonne journée à vous !

Posté par
Dadeap
re : Primitives, dérivés et fonction impaire 03-11-08 à 18:42

Salut a tous

Je suis dans la même classe qu'ad, et j'ai donc le même dm  ( salut ad !!!^^ ).
Marcel je ne comprend pas tellement certains de tes résultats :

Citation :
1)
G(x) = F(x)+F(-x)
a)
G'(x) = F'(x)-F'(-x) = f(x)-f(-x) = [1/(1+x²)]-[1/(1+(-x)²)] = [1/(1+x²)]-[1/(1+x²)] = 0 pour tout x R
1)

lors du calcul de la dérivée, pourquoi ajoute-tu un - devant f'(-x) ?

Et dans le 3°)a/, je ne comprend pas comment tu calcule la dérivée, pourrait tu préciser ?
j'utilise le fait que la dérivée de tan(x) est 1/(cos²(x)) mais cela ne me permet pas d'atteindre ton résultat

Merci d'avance

Posté par
Marcel Moderateur
re : Primitives, dérivés et fonction impaire 03-11-08 à 22:09

Bonsoir Dadeap

D'une part, il faut revoir le cours sur la dérivation des composées de fonctions : Si G = Fou alors G' = u'.(F'ou)

Par exemple :
- si G(x) = F(-x) alors G'(x) = -F(-x)
- si G(x) = F(3x) alors G'(x) = 3.F(3x)
- si G(x) = F(x²) alors G'(x) = 2x.F(x²)
etc.

D'autre part, la dérivée de tan(x) vaut aussi 1+tan²(x) ...

Posté par
supmatt
re : Primitives, dérivés et fonction impaire 04-11-08 à 00:39

bonjour je suis dans la même classe que dadeap et j'avais trouvé pour le 2b) la m^me chose que vous (marcel) mais j'avais un doute car je savais pas si on pouvait remplacer par 1comme ça, ça me paraissait trop simple

surtout pour l f(1/1)

Posté par
Stiford
re : Primitives, dérivés et fonction impaire 04-11-08 à 14:45

Bonjour,

Excusez-moi j'ai aussi une question.^^

Ma question concerne la dérivée de la  fonction composée de  H dans la question 2) a).

H(x)  = F(x) + F(1/x)
H'(x) = F'(x)-(1/x²)F'(1/x²)

Je n'ai pas compris comment vous avez trouvé :

F'(1/x²)

Car quand je fais la dérivée de F(1/x), je trouve : -(1/x²) F'(1/x)

Donc pourquoi met-on le x au carré dans F'(1/x²) ?


Merci de votre aide apportez à l'ensemble de ce sujet.
  

Posté par
Marcel Moderateur
re : Primitives, dérivés et fonction impaire 04-11-08 à 18:15

Stiford, c'est une faute de frappe de ma part, au 2a il faut bien lire F'(1/x) et non F'(1/x²)

Posté par
Stiford
re : Primitives, dérivés et fonction impaire 04-11-08 à 19:13

Je suis bien embêté pour la suite maintenant. ^^

En reprenant ce que vous avez écrit en de 2) a)

On a donc :

H'(x) = F'(x)-(1/x²)F'(1/x) = f(x)-(1/x²)f(1/x)
                            = [1/(1+x²)]-(1/x²)[1/(1+(1/x))]
Le problème c'est qu'il me semble que tout soit  chamboulé du coup.
Et que par conséquent [1/(1+x²)]-(1/x²)[1/(1+(1/x))] ≠ [1/(1+x²)]-[1/(x²+1)]

Je ne suis pas sûr mais je crois que :

[1/(1+x²)]-(1/x²)[1/(1+(1/x))] = [1/(1+x²)]-[1/(x²+x)]

Pourriez vous encore nous aider s'il vous plait ?

Posté par
Stiford
re : Primitives, dérivés et fonction impaire 04-11-08 à 23:54

Je suis  allé un peu  trop vite dans mes calcules :S
Donc pour récapituler :

2) a)

H'(x) = F'(x)-(1/x²)F'(1/x) = f(x)-(1/x²)f(1/x) = [1/(1+x²)]-(1/x²)[1/(1+(1/x)²)] = [1/(1+x²)]-[1/(x²+1)] = [1/(1+x²)]-[1/(1+x²)] = 0

Et encore désolé. : /

PS : Dommage qu'il n'ait pas une fonction " éditer " .



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