Alors voici un des exercices de mon DM de maths sur lequel je souhaiterai avoir votre avis :
Soit f la fonction définie sur R par f(x) = 1/(1+x²). On note F la primitive de f qui vérifie F(0) = 0 c'est à dire la fonction définie sur R qui vérifie F(0) = 0 et F'(x) = 1/(1+x²). On ne cherchera pas à donner une expression de F(x).
1) Soit G la fonction définie sur R par : G(x) = F(x) + F(-x)
a) Calculer G'(x)
b) Calculer G(0) et en déduire que F est une fonction impaire
2) Soit H la fonction définie sur I = ]0;+ infini[ par H(x) = F(x) + F(1/x)
a) Calculer H'(x)
b) En déduire que pour tout x de I, H(x) = 2F(1)
3) Soit T la fonction définie sur J = [0; pi/2[ par T(x) = F(tanx) - x
a) Calculer T'(x)
b) Que pouvez vous en déduire pour T ?
c) En déduire F(1)
Pour la question 1a) je trouve que G'(x) vaut 0, idem avec la 1b) où j'ai G(0) = 0, par conséquent F est une fonction impaire comme le dit l'énoncé ... est-ce correct ?
En ce qui concerne la question 2a) j'ai aussi H'(x) = 0, mais je bloque pour la suite ! Pourriez vous m'expliquer comment procéder ?
Bonsoir,
1)
G(x) = F(x)+F(-x)
a)
G'(x) = F'(x)-F'(-x) = f(x)-f(-x) = [1/(1+x²)]-[1/(1+(-x)²)] = [1/(1+x²)]-[1/(1+x²)] = 0 pour tout x R
b)
G(0) = F(0)+F(-0) = F(0)+F(0) = 0+0 = 0
G'(x) = 0 pour tout x R
Donc G est constante sur R
Donc G(x) = G(0) pour tout x R
Donc F(x)+F(-x) = 0 pour tout x R
Donc F(-x) = -F(x) pour tout x R
Donc F est impaire
2)
H(x) = F(x)+F(1/x)
a)
H'(x) = F'(x)-(1/x²)F'(1/x²) = f(x)-(1/x²)f(1/x²) = [1/(1+x²)]-(1/x²)[1/(1+(1/x)²)] = [1/(1+x²)]-[1/(x²+1)] = [1/(1+x²)]-[1/(1+x²)] = 0 pour tout x I
b)
H(1) = F(1)+F(1/1) = F(1)+F(1) = 2F(1)
H'(x) = 0 pour tout x I
Donc H est constante sur I
Donc H(x) = H(1) pour tout x I
Donc H(x) = 2F(1) pour tout x I
3)
T(x) = F(tan(x))-x
a)
T'(x) = (1+tan²(x))F'(tan(x))-1 = (1+tan²(x))f(tan(x))-1 = (1+tan²(x))[1/(1+tan²(x))]-1 = 1-1 = 0 pour tout x J
b)
T(0) = F(tan(0))-0 = F(0)-0 = 0-0 = 0
T'(x) = 0 pour tout x J
Donc T est constante sur J
Donc T(x) = T(0) pour tout x J
Donc T(x) = 0 pour tout x J
c)
T(pi/4) = 0
T(pi/4) = F(tan(pi/4))-(pi/4) = F(1)-(pi/4)
Donc F(1)-(pi/4) = 0
Donc F(1) = pi/4
Merci pour cette réponse, au finale j'avais bon jusqu'à la question 2b), après je me suis planté sur la dérivée de T(x).
Merci bonne journée à vous !
Salut a tous
Je suis dans la même classe qu'ad, et j'ai donc le même dm ( salut ad !!!^^ ).
Marcel je ne comprend pas tellement certains de tes résultats :
Bonsoir Dadeap
D'une part, il faut revoir le cours sur la dérivation des composées de fonctions : Si G = Fou alors G' = u'.(F'ou)
Par exemple :
- si G(x) = F(-x) alors G'(x) = -F(-x)
- si G(x) = F(3x) alors G'(x) = 3.F(3x)
- si G(x) = F(x²) alors G'(x) = 2x.F(x²)
etc.
D'autre part, la dérivée de tan(x) vaut aussi 1+tan²(x) ...
bonjour je suis dans la même classe que dadeap et j'avais trouvé pour le 2b) la m^me chose que vous (marcel) mais j'avais un doute car je savais pas si on pouvait remplacer par 1comme ça, ça me paraissait trop simple
surtout pour l f(1/1)
Bonjour,
Excusez-moi j'ai aussi une question.^^
Ma question concerne la dérivée de la fonction composée de H dans la question 2) a).
H(x) = F(x) + F(1/x)
H'(x) = F'(x)-(1/x²)F'(1/x²)
Je n'ai pas compris comment vous avez trouvé :
F'(1/x²)
Car quand je fais la dérivée de F(1/x), je trouve : -(1/x²) F'(1/x)
Donc pourquoi met-on le x au carré dans F'(1/x²) ?
Merci de votre aide apportez à l'ensemble de ce sujet.
Je suis bien embêté pour la suite maintenant. ^^
En reprenant ce que vous avez écrit en de 2) a)
On a donc :
H'(x) = F'(x)-(1/x²)F'(1/x) = f(x)-(1/x²)f(1/x)
= [1/(1+x²)]-(1/x²)[1/(1+(1/x))]
Le problème c'est qu'il me semble que tout soit chamboulé du coup.
Et que par conséquent [1/(1+x²)]-(1/x²)[1/(1+(1/x))] ≠ [1/(1+x²)]-[1/(x²+1)]
Je ne suis pas sûr mais je crois que :
[1/(1+x²)]-(1/x²)[1/(1+(1/x))] = [1/(1+x²)]-[1/(x²+x)]
Pourriez vous encore nous aider s'il vous plait ?
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