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Equivalence et suite

Posté par
bart 02-11-08 à 22:41

Bonsoir,

Soit la suite Hn= 1 +1/2 +1/3 +...+1/n

Après avoir montré que :

ln(n) + 1/n < Hn < 1+ln(n)

comment je peux montrer que Hn est équivalent à ln(n) ? Et comment en déduire sa limite?

Une aide serait la bienvenue. Merci d'avance.

Posté par
gui_toure : Equivalence et suite 02-11-08 à 22:45

hello

Pour montrer que Hn~ln(n) on peut se contenter de montrer que 3$\lim_{n\to+\infty}\ {4$\fr{H_n}{\ell n(n)}}\ =\ 0

A toi

Posté par
gui_toure : Equivalence et suite 02-11-08 à 22:46

La boulette...

Pour montrer que Hn~ln(n) on peut se contenter de montrer que 3$\lim_{n\to+\infty}\ {4$\fr{H_n}{\ell n(n)}}\ =\ 1

Posté par
gui_toure : Equivalence et suite 02-11-08 à 22:51

Quant à sa limite, tu peux utiliser le fait que :

3$forall n\in{\bb N}^*\;\;\ell n(n) + {4$\fr1n} \ <\ H_n et que 3$\lim_{n\to+\infty}\ \ell n(n) + {4$\fr1n}\ =\ +\infty

Posté par
bart re : Equivalence et suite 03-11-08 à 11:51

Merci beaucoup pour votre réponse!

Cependant pour calculer la lim de Hn/ln(n) il me faudrait la limite de Hn non? Mais celle-ci ne nous ai demandé qu'après. Il n'existe pas une autre méthode?

Posté par
jeansebre : Equivalence et suite 03-11-08 à 11:55

Bonjour

La limite de Hn est connue: c'est +oo   (tu le retrouves avec Hn est supérieure à ln (n))

Posté par
bart re : Equivalence et suite 03-11-08 à 12:50

Je viens de comprendre!

Mais pour calculer la limite je suis parti du fait que:

ln(n)+ 1/n < Hn < 1+ ln(n)

soit:

1+ 1/nln(n) < Hn/ln(n) < 1/ln(n) +1

donc limite de Hn/ln(n)=1

alors Hn est équivalent à ln(n)

je ne suis pas sure que le raisonnement est bon?

Posté par
jeansebre : Equivalence et suite 03-11-08 à 12:59

Bingo!


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