logo

Cercle d Euler


premièreCercle d Euler

#msg102493#msg102493 Posté le 30-12-04 à 17:57
Posté par Livia (invité)

Bonjour!!

J'ai un problème de maths à résoudre pour la rentrée et il y a quelques points sur lesquels je butte.
Voilà l'énoncé:

Le Cercle des neuf points d'un triangle

Soient un triangle ABC, H son orthocentre et O le centre de son cercle circonscrit. On note A', B', et C' les milieux des côtés [BC], [AC] et [AB]. On note P, Q, R les milieux respectifs des segments [AH], [BH] et [CH].
Le point H défini par OH= OB+OB+OC est l'orthocentre du triangle.
Soit ? le milieu du segment [OH].
a. Montrer que ?P= 1/2 OA

b. Exprimer OB+OC en fonction de OA'. Ecrire alors une relation liant OH, OA et OA'. En déduire que: ?P=-?A'

c. Etablir quatre égalités analogues concernant les points Q, R, B, C B' et C'.

d. Soit G le cercle de centre ? et de rayon R/2, où R est le rayn du cercle circonsrit au triangle ABC. Montrer que P, Q, R, A', B' er C' appartiennent à G.

e. On note A1 B1 et C1 les pieds des hauteurs du triangle ABC. En considérant le triangle PA1A', montrer que A1 appartient à G. Montrer de même que B1 et C1 appartiennent à G


Voila, je butte à la question B et ceci m'empêche de continuer...
Merci de m'apporter au plus vite votre aide qui me sera précieuse...
re : Cercle d Euler#msg102534#msg102534 Posté le 30-12-04 à 18:20
Posté par Livia (invité)

oups!!!!
les oméga buguent....remplacez les donc par Z....

J'ai parcouru le forum et les réponses à d'autres topics m'ont aidé à avancer
...j'en suis à la question c!!!!!:p
re : Cercle d Euler#msg103201#msg103201 Posté le 31-12-04 à 15:13
Posté par vNISTELROOY (invité)

Salut!
b. OB+OC=OA'+A'B+OA'+A'C
OB+OC=2OA'+A'B+A'C
or A' milieux de [BC] donc barycentre de (B,1) (C,1) et donc A'B+A'C=0
d'où OB+OC=2OA'

et donc OH=OA+OB+OC
OH=OA+2OA'

et après j'arive pas a faire la suite! désolé mais file moi ton n° de tél fixe et je t'appelerai pour qu'on le fasse ensemble
JULIEN
re : Cercle d Euler#msg103336#msg103336 Posté le 31-12-04 à 16:58
Posté par Profilmuriel muriel Correcteur

bonjour ,
voici tout ce qu'on a après le a:
_A' milieu de [BC], ce qui se traduit par:
\vec{A'B}+\vec{A'C}=\vec{0}
_B' milieu de [AC], ce qui se traduit par:
\vec{B'A}+\vec{B'C}=\vec{0}
_C' milieu de [AB], ce qui se traduit par:
\vec{C'A}+\vec{C'B}=\vec{0}
_P milieu de [AH], ce qui se traduit par:
\vec{PA}+\vec{PH}=\vec{0}
_Q milieu de [BH], ce qui se traduit par:
\vec{QB}+\vec{QH}=\vec{0}
_R milieu de [CH], ce qui se traduit par:
\vec{RC}+\vec{RH}=\vec{0}
_\vec{OH}=\vec{OA}+\vec {OB}+\vec{OC}
_\Omega milieu de [OH], ce qui se traduit par:
\vec{\Omega O}+\vec{\Omega H}=\vec{0}
_\vec{\Omega P}=\frac{1}{2}\vec{OA}

je reprends le b,
Exprimer OB+OC en fonction de OA'
je pense qu'il n'y a pas eu de soucis:
A' est le milieu de [BC], donc en terme de vecteur:
\vec{A'B}+\vec{A'C}=\vec{0}
en introduisant le point O, on a bien:
\vec{OB}+\vec{OC}=2\vec{OA'}

Ecrire alors une relation liant OH, OA et OA'
on a:
\vec{OH}=\vec{OA}+\vec {OB}+\vec{OC}
\vec{OB}+\vec{OC}=2\vec{OA'}

donc
\vec{OH}=\vec{OA}+2\vec {OA'}

En déduire que: ?P=-?A'
on a:
\vec{OH}=\vec{OA}+2\vec {OA'}
le P qui intervient ici:
\vec{PA}+\vec{PH}=\vec{0}
et le \Omega qui intervient ici:
\vec{\Omega O}+\vec{\Omega H}=\vec{0}

on part de \vec{OH}=\vec{OA}+2\vec {OA'}
et introduisons le P:
\vec{OP}+\vec{PH}=\vec{OP}+\vec{PA}+2(\vec {OP}+\vec{PA'})
\vec{PH}=\vec{PA}+2\vec {OP}+2\vec{PA'}

d'autre part, \vec{PA}+\vec{PH}=\vec{0}
donc
\vec{PH}=-\vec{PH}+2\vec {OP}+2\vec{PA'}
pourquoi privilégier H? car \Omega est le milieu de[OH]

-\vec{PH}+\vec {OP}+\vec{PA'}=\vec{0}
\vec{HP}+\vec {OP}+\vec{PA'}=\vec{0}

maintenant, tu sais que \vec{\Omega O}+\vec{\Omega H}=\vec{0}
c'est à dire:
\vec{PO}+\vec{PH}=2\vec{P\Omega}

donc
\vec{HP}+\vec {OP}+\vec{PA'}=\vec{0}
-2\vec{P\Omega}+\vec{PA'}=\vec{0}
-2\vec{P\Omega}+\vec{P\Omega}+\vec{\Omega A'}=\vec{0}
-\vec{P\Omega}+\vec{\Omega A'}=\vec{0}

voici la solution

pour le reste, cela arrive
Publicité

re : Cercle d Euler#msg103371#msg103371 Posté le 31-12-04 à 17:14
Posté par Profilmuriel muriel Correcteur

c.
même raisonnement que le b, on a alors:
\vec{\Omega P}=-\vec{\Omega A'}
\vec{\Omega Q}=-\vec{\Omega B'}
\vec{\Omega R}=-\vec{\Omega C'}
\vec{\Omega P}=\frac{1}{2}\vec{OA}
\vec{\Omega Q}=\frac{1}{2}\vec{OB}
\vec{\Omega R}=\frac{1}{2}\vec{OC}



d.
ici, il te suffit de montrer que
\begin{array}{ccc}\Omega P&=&\Omega Q\\\;&=&\Omega R\\\;&=&\Omega A'\\\;&=&\Omega B'\\\;&=&\Omega C'\\\;&=&R/2\end{array}

e.
tu as tout ce qui faut pour y arriver:
A_1PA' est un triangle rectangle en A_1
donc il te suffite de vérifier que \Omega est milieu de [PA']
et ceci tu l'as fait en disant que: \vec{\Omega P}=-\vec{\Omega A'}
donc tu as bien:
\begin{array}{ccc}\Omega A_1&=&\Omega P\\\;&=&\Omega A'\\\;&=&\frac{R}{2}\\\end{array}

voilà
re : Cercle d Euler#msg103375#msg103375 Posté le 31-12-04 à 17:15
Posté par vNISTELROOY (invité)

merci beaucoup Muriel c'est super ça paraît simple quand on le voit fait!!! LOL
re : Cercle d Euler#msg103378#msg103378 Posté le 31-12-04 à 17:17
Posté par Profilmuriel muriel Correcteur

le problème, c'est qu'il faut réfléchir avant de ce jeter tête baissée dans les calculs
re : Cercle d Euler#msg103586#msg103586 Posté le 01-01-05 à 10:42
Posté par Livia (invité)

Merci beaucoup!!!!!!
Vraiment plein de mercis!!!!!!!!!LOL!!!!

Répondre à ce sujet

réservé Seuls les membres peuvent poster sur le forum !

Vous devez être connecté pour poster
attention Un modérateur est susceptible de supprimer toute contribution qui ne serait pas en relation avec le thème de discussion abordé, la ligne éditoriale du site, ou qui serait contraire à la loi.

  • Ce topic

    imprimer Imprimer
    réduire la tailleRéduire   /   agrandir la tailleAgrandir

    Pour plus d'options, connection connectez vous !
  • Fiches de maths

    * vecteurs en première
    0 fiches de mathématiques sur "vecteurs" en première disponibles.


maths - prof de maths - cours particuliers haut de pagehaut Retrouvez cette page sur ilemaths l'île des mathématiques
© Tom_Pascal & Océane 2014