j ai le dernier exercice de mon dm a faire et je galére!!

Posté par ganelle (invité)

Bonjour
j'ai le dernier exercice a faire sur mon dm et je n'y arrive pas.Pourriez vous s'il vous plait me mettre sur la voie afin que je puisse le terminer.Merci d'avance

1/soit a et b deux nombres positifs tels que a<racine de 3<b
Montrer que 1+[2/(b+1)]<racine de 3<1+[2/(a+1)]

2/en déduire des encadrements de racine de 3 par des rationnels jusqu'a en obtenir un d'une amplitude inférieur a 10 puissance -3.

je vous remerci encor si vous pouvez y jetter un coup d'oeil.

Posté par ganelle (invité)

Bonjour
j'ai le dernier exercice a faire sur mon dm et je n'y arrive pas.Pourriez vous s'il vous plait me mettre sur la voie afin que je puisse le terminer.Merci d'avance

1/soit a et b deux nombres positifs tels que a<racine de 3<b
Montrer que 1+[2/(b+1)]<racine de 3<1+[2/(a+1)]

2/en déduire des encadrements de racine de 3 par des rationnels jusqu'a en obtenir un d'une amplitude inférieur a 10 puissance -3.

je vous remerci encor si vous pouvez y jetter un coup d'oeil.

Posté par ganelle (invité)

Bonjour
voici mon énoncé:
1) soit a et b deux nombres positifs tels que a<V3<b
Monter que 1+[2/(b+1)]<V3<1+[2/(b+1)]

2)En déduire des encadrements de V3par des rationnels jusqu'a en obtenir un d'une amplitude inférieur a 10 puissance -3.

merci d'avance

*** message déplacé ***

Posté par Nightmare Nightmare

Bonjour



Or :


Au final nous obtenons donc :



Jord

*** message déplacé ***

Posté par isisstruiss isisstruiss

Je te fais un côté de l'inégalité et je te laisse l'autre, ok?

Il ne reste plus qu'à arranger le côté droite de l'inégalité en multipliant la fraction par . Je te laisse le faire et découvrir que ça vaut

*** message déplacé ***

Posté par isisstruiss isisstruiss

2 minutes de retard. Et des couleurs en moins...

*** message déplacé ***

Posté par ganelle (invité)

merci je vais enfin pouvoir finir mon dm!!
et bonne année!(meme si c'est un peu en avance)

*** message déplacé ***

Posté par Nightmare Nightmare

Pas de probléme ganelle

Et Isisstruiss , ne nous plaignons pas , d'habitude c'est toujours moi qui arrive en retard !


Jord

*** message déplacé ***

Posté par ganelle (invité)

je vais enfin pouvoir passé une bonne fin d'année 2004!!

*** message déplacé ***

Posté par miquelon (invité)

Bonjour,

tiens, tiens, j'ai déjà vu cet exercice dans un autre topic recemment...
Attention à ne pas créer plusieurs messages pour le même exercice.

Bon,

Première question :

d'abord, vous écrivez : Monter que 1+[2/(b+1)]<V3<1+[2/(b+1)]

Alors qu'il faut lire : Monter que 1+[2/(b+1)]<V3<1+[2/(a+1)]

Partons de a < racine(3) et montrons que 1+2/(a+1) > racine(3).

a < racine(3) => a+1 < racine(3)+1
     => 1/(a+1) > 1/[racine(3)+1]
     => 2/(a+1) > 2/[racine(3)+1]
     => 1+2/(a+1) > 1+2/[racine(3)+1]

Après, on démontre que 1+2/[racine(3)+1] est égal à racine(3).
Je vous laisse le prouver.

Seconde question :

L'idée, c'est que l'encadrement initial :

a < racine(3) < b

est plus large (moins précis) que l'encadrement suivant :

1+2/(b+1) < racine(3) < 1+2/(a+1)

Donc, vous allez partir du premier encadrement :

1) 1 < racine(3) < 2  -> l'amplitude de cet encadrement est 2-1 = 1. Comme 1 est supérieur à 10^-3, il faut déterminer l'encadrement suivant :

a=1, b=2

=> vous déduisez l'encadrement suivant :

2) 1+2/(2+1) < racine(3) < 1+2/(1+1)

c'est à dire : 1+2/3 < racine(3) < 1+2/2
c'est à dire : 5/3 < racine(3) < 2
-> l'amplitude de cet encadrement est 2-5/3 = 1/3. L'amplitude est plus grande que 10^-3, donc il faut déterminer l'encadrement suivant.

a=5/3, b=2
... A vous de continuer jusqu'à ce que l'amplitude de l'encadrement soit inférieur à 10^-3.

Bon travail.


*** message déplacé ***

Posté par minotaure (invité)

salut.
il doit y avoir une erreur d'enoncé : y'a pas de a dans les inegalités mais que des b.

je suppose que c'est 1+[2/(b+1)]<V3<1+[2/(a+1)]
qu'il faut demontrer.

a<V3<b
a+1<(V3)+1<b+1
car a et b positif donc (il suffit de dire) a+1,(mais aussi) b+1 sont strictement positifs.
la fonction x->1/x est dercoissante sur R+*.
donc 1/(b+1)<1/[(V3)+1]<1/(a+1)
om multiplie par 1/2 qui est postif donc
2/(b+1)<2/[(V3)+1]<2/(a+1)
donc 1+2/(b+1)<1+2/[(V3)+1]<1+2/(a+1)

mais tu vas me dire on a 1+2/[V(3)+1] et non V3.
il y a une astuce :
1+2/[V(3)+1]=(1+2/[V(3)+1])*[(V3)-1]/[(V3)-1]
(on peut ecrire ca car V3 different de 1).
on developpe :
donc 1+2/[V(3)+1]=1+2*[(V3)-1]/[[(V3)+1]*[(V3-1)]

je pense que tu reconnais l'identite remarquable a^2-b^2=(a-b)*(a+b)

donc 1+2/[V(3)+1]=1+2*[(V3)-1]/(3-1)=1+2*[(V3)-1]/2
1+2/[V(3)+1]=1+[(V3)-1]=V3.

donc on a 1+[2/(b+1)]<V3<1+[2/(b+1)]


2)on a montrer que si a<V3<b alors 1+[2/(b+1)]<V3<1+[2/(b+1)]
comprehension de l'exo :
la deuxieme inegalite permet un encadrement plus fin que le precedent (je ne pense pas que c'est a demontrer).
on le voit en prenant des valeurs rationnelles de a et de b.

exemple a=3/2 b=2
(on sait que V3 est compris entre 3/2 et 2)
d'apres 1, (5/3)<V3<9/5
on refait 1 avec a=5/3 et b=9/5
                  (12/7)<V3<(7/4)
et ainsi de suite.

il est evident que le choix de a et de b au debut va influer sur le nombre de calculs a effectuer pour obtenir la reponse.

tout depend donc quel encadrement de V3 tu connais.
moi j'ai pris l'un des plus larges 1,5<V3<2
d'autres considerent que 17/10=1,7<V3<1,8=18/10
ou meme 173/100<V3<174/100
le tout est de savoir quel encadrement a la base tu connais de V3.

voila.

ps. il y en a qu'il ne faut pas choisir, du moins a eviter car le nombre d'operations (c'est a dire utiliser 1) est doublé.
1<V3<2 ne doit pas etre utilisé a moins que tu veuilles passer un bon moment a ecrire toutes les operations.

*** message déplacé ***

Posté par Nightmare Nightmare

En effet merci miquelon pour la détéction du multi-post

Pour ganelle :



Jord

Posté par ganelle (invité)

le probléme pour la question 2) c'est que moi je ne connais pas d'encadrement pour V3 alors je prend n-importe lequel?et je n'ai pas compris la méthode.

*** message déplacé ***

Posté par ganelle (invité)

je ne connais pas d'intervalle pour la racine de 3 alors je prends n'importe qu'elle nombre?et je n'ai pas compris la méthode.

Posté par minotaure (invité)

la fonction x->rac(x) est croissante sur R+.
(rac=racine carree de)
9/4<3<4
donc
3/2=rac(9/4)<rac(3)<rac(4)=2.

donc 3/2<rac(3)<2

tu prends a=3/2 et b=2.
mais b-a>=10^-3

tu utilises 1)
comme 3/2<rac(3)<2 on a :
1+[2/(2+1)]<racine de 3<1+[2/((3/2)+1)]

ce qui fait 5/3<racine de 3<9/5
or 9/5-5/3>10^-3
tu utilises de nouveau 1. avec a=5/3 et b=9/5

et ainsi de suite jusqu'a avoir un encadrement de rac(3) a moins de 10^-3.

Posté par ganelle (invité)

a ok je commence a comprendre marci!!

Posté par minotaure (invité)

on gros, on approche rac(3) successivement et l'approximation devient de plus en plus fine.
pour mon exemple a=3/2 b=2

valeurs successives de :
a          b
3/2        2
5/3        9/5      
12/7       7/4
19/11      33/19      
45/26      26/15
71/41      123/71  

et 123/71 - 71/41 =2/2911<10^-3

pour l'exemple a=1 b=2 au debut :
valeurs successives de :
a          b
1          2
5/3        2
5/3        7/4
19/11      7/4
19/11      26/15
71/41      26/15
71/41      97/56
et 97/56-71/41<10^-3

en fin de compte le deuxieme exemple est mieux :

- on remarque quand on fait les calculs pour les
nouveaux a et b, l'un des deux est deja fait.

- on arrive a ume meilleure approximation.

p.s. j'aurais jure que a=3/2 b=2 etait plus rapide,
comme quoi...il ne faut pas se fier aux apparences !

Posté par minotaure (invité)

re(p.s.) enfin si a=3/2 et b=2 est plus rapide.
il ne faut que 6 utilisations du (1) pour arriver au resultat alors que pour le deuxieme exemple il en faut 7. mais bon 6 ou 7...

Posté par ganelle (invité)

c'est cool j'ai bien compris merci!