Triangles semblables et trigonométrie

Posté par -Gwada- (invité)

Salut, ça va ?

Moi ? Pas trop. J'ai un problème en géométrie, je bloque sur plusieurs questions. Au cas où ils pourraient vous servir, je vais vous donner les résultats des questions précédentes. Pour m'aider, j'vous conseille vraiment de faire le schéma.

H est le projeté orthogonal de A sur [BC], l'angle BAH = 45 °, l'angle CAH = 30 ° et AH = 6 cm. Le cercle C de diamètre [AH] coupe (AB) en D et (AC) en E.
J'espère que vous pourrez faire la figure telle que je la vois. Au départ, il vaut mieux tracer le triangle ABC d'angle BAC = 75 ° et d'angle ABC = 45 ° (on le trouvera plus tard).

Alors, 1.a) Calculez les valeurs exactes de AB, AC et BC.
J'ai trouvé (à l'aide cosinus et tangente) AC = 4 racines carrée de 3 ou 4 V3 ; AB = 6 V2 ; et BC = 6 + 2 V3 (j'ai pas pu trouvé mieux, vous pouvez me dire si c'est pas bon).
1.b)Démontrez que AE = 3 V3.
J'ai pu le prouver à l'aide de cosinus.
2.a) Démontrez que l'angle ADE = 60 °.
C'est là que je suis coincé.
2.b) Démontrez que les triangles ABC et AED sont semblables.
Pas la peine de m'aider, là. Je sais le faire.
2.c) Écrivez les égalités de rapports qui en découlent et démontrez que ED = 3/2 fois (V6 + V2) cm.
Là, j'suis pas sûr que j'ai compris.
3. On note F le point diamétralement opposé à D sur C.
3.a) Démontrez que l'angle DFE = 75 °.
Je saurai le faire, je crois.
3.b)Déduisez-en que sin 75 ° = 1/4 fois (V6 + V2) cm.
C'est plus dur, là...

Si vous pouvez m'aider, ben... faites-le, j'vous en supplie ! Merci d'avance !

Posté par -Gwada- (invité)

Avec les calculs, j'ai trouvé que l'angle ABH = 45 ° et que donc ABH est un triangle rectangle isocèle, ainsi que l'angle BCA = 60 °. Voilà, si ça peut vous aider...

Posté par jetset (invité)

2.a)
2 angles inscrits qui interceptent le même arcle ont même mesure. Si on considère l'arc AD, alors, l'angle DHA est égal à l'angle DEA. D'où DEA =45°. Or DAE =45+30=75°. D'où ADE = 180-45-75=60° CQFD

2.c) Deux triangles semblables ont leurs côtés proporionnels, 2 à 2. Il s'agit donc d'écrire les égalités de proportionnalité et de s'appuyer sur une d'entre elle pour en déduire la valeur de EB sachant qu'on connaît toutes les mesures des côtés du triangle ABC

3) Je n'ai pas trop compris comment tu construis F.
Tu as écrit "...diamétralement opposé à D sur C": je n'arrive pas à comprendre ce que tu entends par là... (mais bon, il est tard, alors je n'ai peut-etre plus les idées claires. Essaie quand même de mieux l'expliciter)

Posté par -Gwada- (invité)

jetset, on n'est pas censé savoir combien mesure l'angle DHA... si ? 'Faudra qu'on m'explique.
Le point F est diamétralement opposé à D sur C, c'est-à-dire, que [DF] est un diamètre de C. Pour prouver que l'angle DE = 75 °, on dit que les angles ADE et AFE, interceptant le même arc de cercle, ils ont même mesure.

J'te remercie quand même de m'avoir répondu !
Et maintenant, est-ce que pour la question 3.b), il faut encore utiliser les égalités de proportionnnalité ?

Posté par -Gwada- (invité)

Répondez, je vous en prie !  ;-(

Posté par jetset (invité)

Pour DHA, c'est pas trop compliqué: BAH = DAH = 45° par énoncé. Or, ADH est rectangle en D puisque c'est un triangle inscrit dans un cercle et que l'un de ses côtés correspond au diamètre du cercle (par énoncé aussi). Donc le dernier angle (DHA pour ne pas le nommer) est égal à 45°.

En fait c'est le même raisonnement que tu as dû utiliser au 1) b) pour trouver AE = 3 V3.

Ah oui j'ai compris le coup du diametralement opposé (il faut dire que tu nommes C ton cercle mais que C est aussi un point d'où ma confusion...)

Donc pour démontrer que DFE = 75°, il faut utiliser le même principe qu'au 2) a) : "2 angles inscrits qui interceptent le même arcle ont même mesure":
Attention c'est peu usine à gaz. Il doit y avoir moyen de faire plus simple mais bon...
On considère l'arc de cercle FE. Par le principe énoncé ci-dessus, angle EAF = angle EDF.
Or ADF est rectangle en A (car il est inscrit dans un cercle et que DF l'un de ses côtés est diamètre du cercle par énoncé). Donc DAF = 90°. Or angle DAF = angle DAH + angle HAE + angle EAF = 45 + 30 + angle EAF.
(45 et 30 par énoncé). Donc angle EAF = 15° = angle EDF.
Puisque le triangle EDF est rectangle en E (triangle inscrit + diamètre l'un de ses côtés), alors le dernier angle (DFE pour ne pas le nommer) = 75° CQFD.


3) b) sin DFE = sin 75° = opp/hyp = ED/DF =
(3/2 * (V6 + V2))/6 = 1/4 * (V6 + V2) CQFD

J'espère ne pas avoir été trop fumeux dans mes explications. En fait il faut appliquer alternativement tout au long de l'exercice les propriètés des triangles inscrits dans un cercle.

Bon courage et n'hésite pas si nécessaire...

Posté par -Gwada- (invité)

J'ai tout compris maintenant !