probleme leçon 82 capes
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probleme leçon 82 capes
Posté le 15-11-08 à 16:14
Posté par 
robby3 robby3
Bonjour tout le monde, 2
grand chanceux que je suis, je passe mon prochain oral sur la leçon BONUS du capes 2009!la leçon 82 intitulé:
"variable aléatoire réelle à densité,loi de probabilité,espérance,variance,exemples"
et j'ai deux petites questions pour commencer:
1)dois-je mettre la définition de variable aléatoire réelle?Sachant qu'elle apparait dans la leçon sur les var discretes
2)pour etre sur, on dit bien qu'une variable aléatoire à densité c'est pareil qu'une variable aléatoire continue...pourquoi ce terme de continue?
savez-vous d'ou ça vient?
Merci d'avance de votre aide!
robby3 robby3Bonjour tout le monde, 2
grand chanceux que je suis, je passe mon prochain oral sur la leçon BONUS du capes 2009!la leçon 82 intitulé:
"variable aléatoire réelle à densité,loi de probabilité,espérance,variance,exemples"
et j'ai deux petites questions pour commencer:
1)dois-je mettre la définition de variable aléatoire réelle?Sachant qu'elle apparait dans la leçon sur les var discretes
2)pour etre sur, on dit bien qu'une variable aléatoire à densité c'est pareil qu'une variable aléatoire continue...pourquoi ce terme de continue?
savez-vous d'ou ça vient?
Merci d'avance de votre aide!
re : probleme leçon 82 capes Posté le 15-11-08 à 16:18
Posté le 15-11-08 à 16:18Posté par tringlarido tringlarido
Pour la 1) je pense que c'est à toi de voir.
Pour la 2), qu'est-ce qu'une variable aléatoire continue ? Il n'y a pas de topologie sur un espace probabilisé. Le problème de la continuité d'une variable aléatoire ne se pose pas.
tringlarido tringlaridoPour la 1) je pense que c'est à toi de voir.
Pour la 2), qu'est-ce qu'une variable aléatoire continue ? Il n'y a pas de topologie sur un espace probabilisé. Le problème de la continuité d'une variable aléatoire ne se pose pas.
re : probleme leçon 82 capes Posté le 15-11-08 à 16:23
Posté le 15-11-08 à 16:23Posté par robby3 robby3
BONJOUR,
pour la 1) merci!
pour la 2) variables aléatoire continues est un terme qui existe,ce que je veux savoir(en fait j'en suis presque sur),c'est le fait que ça désigne les variables aléatoires à densité...
et je me posais simplement la question de savoir d'ou le terme continue provenait
robby3 robby3BONJOUR,
pour la 1) merci!
pour la 2) variables aléatoire continues est un terme qui existe,ce que je veux savoir(en fait j'en suis presque sur),c'est le fait que ça désigne les variables aléatoires à densité...
et je me posais simplement la question de savoir d'ou le terme continue provenait
re : probleme leçon 82 capes Posté le 15-11-08 à 16:24
Posté le 15-11-08 à 16:24Posté par tringlarido tringlarido
2) OK. J'ai compris. C'est un mauvais abus de langage. C'est pour opposer variables aléatoires discrètes et variables aléatoires continues.
Une variable à densité n'a rien à voir avec continue. La densité correspond à une variable aléatoire réelle, dont la mesure image est absolument continue par rapport à la mesure de Lebesgue. En d'autres termes, il existe une fonction f, telle que :
 = \bigint_A f(x) dx \\ )
et f s'appelle la densité de X.
Par contre il y a des variables alétoires continues (i.e. non discrètes) qui n'admettent pas de densité par rapport à Lebesgue (le support de la mesure peut très bien être un Cantor). Un exemple simple est donnée par une variable aléatoire de loi : 1/2 (Lebesgue) + 1/2(Dirac en un point).
tringlarido tringlarido2) OK. J'ai compris. C'est un mauvais abus de langage. C'est pour opposer variables aléatoires discrètes et variables aléatoires continues.
Une variable à densité n'a rien à voir avec continue. La densité correspond à une variable aléatoire réelle, dont la mesure image est absolument continue par rapport à la mesure de Lebesgue. En d'autres termes, il existe une fonction f, telle que :
et f s'appelle la densité de X.
Par contre il y a des variables alétoires continues (i.e. non discrètes) qui n'admettent pas de densité par rapport à Lebesgue (le support de la mesure peut très bien être un Cantor). Un exemple simple est donnée par une variable aléatoire de loi : 1/2 (Lebesgue) + 1/2(Dirac en un point).
re : probleme leçon 82 capes Posté le 15-11-08 à 17:00
Posté le 15-11-08 à 17:00Posté par robby3 robby3
non mais en fait mon prof en L3 a fait l'amalgame des deux, je n'avais jamais rencontré de variable aléatoire continue qui n'admettait pas de densité...
et d'ailleurs dans les 4 bouquins que j'ai,l'amalgame y est fait de meme:
je cite Sheldom M.Ross:
Bref,merci de ce contre exemple!
robby3 robby3non mais en fait mon prof en L3 a fait l'amalgame des deux, je n'avais jamais rencontré de variable aléatoire continue qui n'admettait pas de densité...
et d'ailleurs dans les 4 bouquins que j'ai,l'amalgame y est fait de meme:
je cite Sheldom M.Ross:
Citation :
On qualifiera X de variable aléatoire continue s'il existe une fonction f non négative définie pour tout x de R et vérifiant pour tout ensemble B de nombres réels la propriété:=\Bigint_B f(x) dx)
la fonction f est appelée densité de probabilité de la variable aléatoire X
On qualifiera X de variable aléatoire continue s'il existe une fonction f non négative définie pour tout x de R et vérifiant pour tout ensemble B de nombres réels la propriété:
la fonction f est appelée densité de probabilité de la variable aléatoire X
Bref,merci de ce contre exemple!
re : probleme leçon 82 capes Posté le 15-11-08 à 17:02
Posté le 15-11-08 à 17:02Posté par tringlarido tringlarido
Peut-être que la terminologie est comme ça... je ne veux pas te dire des bêtises. (Le "continue" voudrait dire loi absolument continue par rapport à Lebesgue).
tringlarido tringlaridoPeut-être que la terminologie est comme ça... je ne veux pas te dire des bêtises. (Le "continue" voudrait dire loi absolument continue par rapport à Lebesgue).
re : probleme leçon 82 capes Posté le 15-11-08 à 17:08
Posté le 15-11-08 à 17:08Posté par robby3 robby3
>oui en fait,c'est exactement ça!
en fait j'ai retrouvé ce polycop que m'avait donné Romu...
ça confirme ce que tu me dis!
robby3 robby3Citation :
(Le "continue" voudrait dire loi absolument continue par rapport à Lebesgue)
(Le "continue" voudrait dire loi absolument continue par rapport à Lebesgue)
>oui en fait,c'est exactement ça!
en fait j'ai retrouvé ce polycop que m'avait donné Romu...
ça confirme ce que tu me dis!
re : probleme leçon 82 capes Posté le 15-11-08 à 17:16
Posté le 15-11-08 à 17:16Posté par robby3 robby3
mais j'en reviens à ton contre-exemple que je ne comprend pas trés bien à vrai dire...
c'est à dire?
par ailleurs,quand on écrit dx)
f est integrable mais au sens de Riemann non?
pourquoi parler de densité par rapport à Lebesgue? (tu veux dire par rapport à la mesure?)
quand tu donne ton contre-exemple, la variable suit bien une loi...pourquoi ce n'est pas une densité?
robby3 robby3mais j'en reviens à ton contre-exemple que je ne comprend pas trés bien à vrai dire...
Citation :
le support de la mesure peut-etre un Cantor?
le support de la mesure peut-etre un Cantor?
c'est à dire?
par ailleurs,quand on écrit
f est integrable mais au sens de Riemann non?
pourquoi parler de densité par rapport à Lebesgue? (tu veux dire par rapport à la mesure?)
quand tu donne ton contre-exemple, la variable suit bien une loi...pourquoi ce n'est pas une densité?
re : probleme leçon 82 capes Posté le 15-11-08 à 17:24
Posté le 15-11-08 à 17:24Posté par tringlarido tringlarido
Appelons C l'ensemble triadique de Cantor. Quand je dis que le support de la mesure peut-être un Cantor je sous-entend qu'il existe des mesures de probabilités
sur [0;1] qui vérifient  = 1 )
.
Alors que pour le mesure Lebesgue, la mesure de C est nulle.
(Pour la construire, on peut par exemple regarder la mesure image de Lebesgue par l'escalier de Cantor. Mais il y a beaucoup d'autres façons de faire.)
L'intégrale est malheuresement pas à prendre au sens de Riemann. Mais rassure toi, les seules lois "intéressantes" ont une densité
ou bien constantes par morceaux et la notion d'intégrale n'a pas d'importance.
Prenons la mesure de Dirac en 0. Pour montrer que ce n'est pas une mesure à densité, il faut prouver qu'il n'existe pas de fonction f positive sur [0;1] qui vérifie :
 dt = 1 \\ )
tringlarido tringlaridoAppelons C l'ensemble triadique de Cantor. Quand je dis que le support de la mesure peut-être un Cantor je sous-entend qu'il existe des mesures de probabilités
Alors que pour le mesure Lebesgue, la mesure de C est nulle.
(Pour la construire, on peut par exemple regarder la mesure image de Lebesgue par l'escalier de Cantor. Mais il y a beaucoup d'autres façons de faire.)
L'intégrale est malheuresement pas à prendre au sens de Riemann. Mais rassure toi, les seules lois "intéressantes" ont une densité
Prenons la mesure de Dirac en 0. Pour montrer que ce n'est pas une mesure à densité, il faut prouver qu'il n'existe pas de fonction f positive sur [0;1] qui vérifie :
re : probleme leçon 82 capes Posté le 15-11-08 à 17:45
Posté le 15-11-08 à 17:45Posté par robby3 robby3
je ne comprend pas ça...concretement comment on le définit?
j'ai cherché ce qu'était l'ensemble triadique de Cantor et l'escalier de Cantor,par contre,je ne sais pas comment on construit la mesure dont tu me parles
robby3 robby3Citation :
1/2 (Lebesgue) + 1/2(Dirac en un point).
1/2 (Lebesgue) + 1/2(Dirac en un point).
je ne comprend pas ça...concretement comment on le définit?
j'ai cherché ce qu'était l'ensemble triadique de Cantor et l'escalier de Cantor,par contre,je ne sais pas comment on construit la mesure dont tu me parles
re : probleme leçon 82 capes Posté le 15-11-08 à 17:51
Posté le 15-11-08 à 17:51Posté par tringlarido tringlarido
Te prends pas la tête avec l'ensemble de Cantor.
Par contre l'autre exemple est simple à comprendre.
La mesure de Dirac en 0 est la mesure :
 = \left\{ \begin{array}{ll} \\ 1 & \text{si 0 \in A} \\ \\ 0 & \text{sinon} \\ \end{array} \\ )
C'est bien une mesure de probabilité sur [0;1].
Appelons la mesure de Lebesgues
. Je définis la somme des deux mesures comme :
 (A) := \frac{1}{2} \delta(A) + \frac{1}{2} \lambda(A) \\ )
On vérifie que c'est encore une mesure de proba sur [0;1].
tringlarido tringlaridoTe prends pas la tête avec l'ensemble de Cantor.
Par contre l'autre exemple est simple à comprendre.
La mesure de Dirac en 0 est la mesure :
C'est bien une mesure de probabilité sur [0;1].
Appelons la mesure de Lebesgues
On vérifie que c'est encore une mesure de proba sur [0;1].
re : probleme leçon 82 capes Posté le 15-11-08 à 17:56
Posté le 15-11-08 à 17:56Posté par robby3 robby3
là,je suis perdu!
c'est une mesure ou une loi?
pourquoi c'est pas une densité?
robby3 robby3là,je suis perdu!
c'est une mesure ou une loi?
pourquoi c'est pas une densité?
re : probleme leçon 82 capes Posté le 15-11-08 à 17:59
Posté le 15-11-08 à 17:59Posté par tringlarido tringlarido
Une mesure = une mesure de probabilités !
C'est une fonction défini sur la tribu qui vérifie...
tringlarido tringlaridoUne mesure = une mesure de probabilités !
C'est une fonction défini sur la tribu qui vérifie...
re : probleme leçon 82 capes Posté le 15-11-08 à 18:06
Posté le 15-11-08 à 18:06Posté par robby3 robby3
ahh d'accord,j'ai eu peur à un moment!!
bon, je garde ça dans un coin de ma tête
par contre,est-ce qu'il est possible d'introduire dans cette leçon les notions de loi de probabilité et de densité de probabilité sans faire référence à la mesure de Lebesgue?
robby3 robby3ahh d'accord,j'ai eu peur à un moment!!
bon, je garde ça dans un coin de ma tête
par contre,est-ce qu'il est possible d'introduire dans cette leçon les notions de loi de probabilité et de densité de probabilité sans faire référence à la mesure de Lebesgue?
re : probleme leçon 82 capes Posté le 15-11-08 à 18:15
Posté le 15-11-08 à 18:15Posté par tringlarido tringlarido
Oui et non !
Tu peux seulement utiliser les hypothèses sur l'intégrale de Riemann, mais se pose alors le problème de la tribu. De plus, Riemann ne te permet pas vraiment d'intégrer sur des boréliens. Mais une proba est entièrement déterminée par sa valeur sur les intervalles. Je pense de toute façon que ce n'est pas l'objectif de la leçon et que tu as le droit de passer ça sous silence (si on te pose des questions là dessus c'est que le reste est vraiment parfait). Ce qu'on te demande c'est surtout de savoir définir l'espérance, la variance, de les calculer sur les exemples standards et de les mettre en situation pratique (soit en utilisant les inégalités de Markov et de Bienaymé-Chebychev soit avec des statistiques).
tringlarido tringlaridoOui et non !
Tu peux seulement utiliser les hypothèses sur l'intégrale de Riemann, mais se pose alors le problème de la tribu. De plus, Riemann ne te permet pas vraiment d'intégrer sur des boréliens. Mais une proba est entièrement déterminée par sa valeur sur les intervalles. Je pense de toute façon que ce n'est pas l'objectif de la leçon et que tu as le droit de passer ça sous silence (si on te pose des questions là dessus c'est que le reste est vraiment parfait). Ce qu'on te demande c'est surtout de savoir définir l'espérance, la variance, de les calculer sur les exemples standards et de les mettre en situation pratique (soit en utilisant les inégalités de Markov et de Bienaymé-Chebychev soit avec des statistiques).
re : probleme leçon 82 capes Posté le 15-11-08 à 18:21
Posté le 15-11-08 à 18:21Posté par robby3 robby3
>Alors dans ce cas, c'est parfait!
derniere petite question si tu as encore le temps
ma définition (en fait celle de Sheldom M.Ross que j'ai cité à 17h te parait-elle "bien"?(cad présentable à un oral de capes )
sinon que penses-tu de celle-ci?
robby3 robby3Citation :
Ce qu'on te demande c'est surtout de savoir définir l'espérance, la variance, de les calculer sur les exemples standards et de les mettre en situation pratique (soit en utilisant les inégalités de Markov et de Bienaymé-Chebychev soit avec des statistiques).
Ce qu'on te demande c'est surtout de savoir définir l'espérance, la variance, de les calculer sur les exemples standards et de les mettre en situation pratique (soit en utilisant les inégalités de Markov et de Bienaymé-Chebychev soit avec des statistiques).
>Alors dans ce cas, c'est parfait!
derniere petite question si tu as encore le temps
ma définition (en fait celle de Sheldom M.Ross que j'ai cité à 17h te parait-elle "bien"?(cad présentable à un oral de capes
)sinon que penses-tu de celle-ci?
Citation :
Soit
une variable aléatoire réelle.On dit que est une variable aléatoire à densité s'il existe une fonction 
appelée densité de probabilité de ,continue par morceaux sur 
telle que pour tout x dans ![[a,b]](http://latex.ilemaths.net/ile_tex.cgi?[a,b])
:
![P_X([a,b])=P(a\le X\le b)=\Bigint_a^b f_X(x)dx](http://latex.ilemaths.net/ile_tex.cgi?P_X([a,b])=P(a\le X\le b)=\Bigint_a^b f_X(x)dx)
Soit
re : probleme leçon 82 capes Posté le 15-11-08 à 18:28
Posté le 15-11-08 à 18:28Posté par tringlarido tringlarido
Je la trouve parfaite dans le cadre de la leçon, car les exemples de lois continues seront :
les lois uniformes (constantes sur un intervalle)
les lois exponentielles (qui sont infiment dérivables)
les lois normales (qui sont infiniement dérivables)
et éventuellement la loi de Cauchy, pour montrer qu'il y a des variables qui n'ont pas d'éspérance.
tringlarido tringlaridoJe la trouve parfaite dans le cadre de la leçon, car les exemples de lois continues seront :
les lois uniformes (constantes sur un intervalle)
les lois exponentielles (qui sont infiment dérivables)
les lois normales (qui sont infiniement dérivables)
et éventuellement la loi de Cauchy, pour montrer qu'il y a des variables qui n'ont pas d'éspérance.
re : probleme leçon 82 capes Posté le 15-11-08 à 18:30
Posté le 15-11-08 à 18:30Posté par robby3 robby3
trés bien!
Merci beaucoup pour ton aide et ta patience face à mes questions!
Merci!
robby3 robby3trés bien!
Merci beaucoup pour ton aide et ta patience face à mes questions!
Merci!
re : probleme leçon 82 capes Posté le 15-11-08 à 18:33
Posté le 15-11-08 à 18:33Posté par tringlarido tringlarido
Par contre garde en tête la mesure de Dirac, si le jury te questionne sur une variable aléatoire réelle sans densité.
tringlarido tringlaridoPar contre garde en tête la mesure de Dirac, si le jury te questionne sur une variable aléatoire réelle sans densité.
re : probleme leçon 82 capes Posté le 15-11-08 à 19:29
Posté le 15-11-08 à 19:29Posté par robby3 robby3
encore un détail,dois-je me placer sur un espace probabilisé)
infini non dénombrable exclusivement?
en fait,je ne sais pas trop quoi prendre comme "cadre" de la leçon?
moi je serais tenter de prendre dans toute la leçon un espace probabilisé infini.
qu'en penses-tu?
robby3 robby3encore un détail,dois-je me placer sur un espace probabilisé
en fait,je ne sais pas trop quoi prendre comme "cadre" de la leçon?
moi je serais tenter de prendre dans toute la leçon
qu'en penses-tu?
re : probleme leçon 82 capes Posté le 15-11-08 à 19:35
Posté le 15-11-08 à 19:35Posté par tringlarido tringlarido
L'espace probabilisé est abstrait et relativement inutile. On n'a aucune hypothèse à faire dessus. Ou interviens ton problème ?
tringlarido tringlaridoL'espace probabilisé est abstrait et relativement inutile. On n'a aucune hypothèse à faire dessus. Ou interviens ton problème ?
re : probleme leçon 82 capes Posté le 15-11-08 à 19:46
Posté le 15-11-08 à 19:46Posté par robby3 robby3
bah je pensais que les var discretes prenaient des valeurs dans des ensembles finis ou infini dénombrable et donc que les var à densité ne prenaient des valeurs que dans des ensembles ininis non dénombrables,mais je n'en suis pas certain à 100% et effectivement il n 'y a pas beaucoup d'interet à le dire,mais je pense que d'un point de vue rigourosié,ça peut mettre reprocher
robby3 robby3bah je pensais que les var discretes prenaient des valeurs dans des ensembles finis ou infini dénombrable et donc que les var à densité ne prenaient des valeurs que dans des ensembles ininis non dénombrables,mais je n'en suis pas certain à 100% et effectivement il n 'y a pas beaucoup d'interet à le dire,mais je pense que d'un point de vue rigourosié,ça peut mettre reprocher
re : probleme leçon 82 capes Posté le 15-11-08 à 19:56
Posté le 15-11-08 à 19:56Posté par robby3 robby3
est-ce que tu dirait qu'une variable aléatoire à densité est une variable pouvant prendre toute les valeurs d'un intervalle ou de plusieurs intervalles de R
robby3 robby3est-ce que tu dirait qu'une variable aléatoire à densité est une variable pouvant prendre toute les valeurs d'un intervalle ou de plusieurs intervalles de R
re : probleme leçon 82 capes Posté le 15-11-08 à 20:16
Posté le 15-11-08 à 20:16Posté par tringlarido tringlarido
Attention. Le fait que la variable aléatoire prennent ses valeurs dans un certain ensemble ne te donne aucun renseignement sur l'espace de probabilité ! Ce sont deux choses complétement disjointes.
Un espace de probabilités est juste ce qui nous permet de définir une variable aléatoire. En modélisation, ca peut-être :
* l'ensemble des échantillons possibles parmi une population (pour un test statistiques) qui n'est pas forcément fini. Ni dénombrable.
* l'ensemble des paramètres qui détermine la météo de demain
De manière générale c'est un truc vague où on rentre toutes les incertitudes et dont on connaît juste la loi de quelques observables (les variables aléatoires).
En tout cas, c'est un ensemble qui n'est pas intéressant du point de vue des probabilités (enfin rarement).
tringlarido tringlaridoAttention. Le fait que la variable aléatoire prennent ses valeurs dans un certain ensemble ne te donne aucun renseignement sur l'espace de probabilité ! Ce sont deux choses complétement disjointes.
Un espace de probabilités est juste ce qui nous permet de définir une variable aléatoire. En modélisation, ca peut-être :
* l'ensemble des échantillons possibles parmi une population (pour un test statistiques) qui n'est pas forcément fini. Ni dénombrable.
* l'ensemble des paramètres qui détermine la météo de demain
De manière générale c'est un truc vague où on rentre toutes les incertitudes et dont on connaît juste la loi de quelques observables (les variables aléatoires).
En tout cas, c'est un ensemble qui n'est pas intéressant du point de vue des probabilités (enfin rarement).
re : probleme leçon 82 capes Posté le 15-11-08 à 20:46
Posté le 15-11-08 à 20:46Posté par robby3 robby3
penses-tu qu'il serait judicieux d'introduire la notion de variable continue avant la notion de variable aléatoire à densité comme celà est fait ici:
ou là:
robby3 robby3penses-tu qu'il serait judicieux d'introduire la notion de variable continue avant la notion de variable aléatoire à densité comme celà est fait ici:
ou là:
re : probleme leçon 82 capes Posté le 15-11-08 à 21:23
Posté le 15-11-08 à 21:23Posté par tringlarido tringlarido
premier papier :
Comme je l'ai dit plus haut ça commence très mal : il fait une hypothèse sur l'espace
qui ne sert à rien. Tu peux la faire, mais le jury va demander : pourquoi faites vous cet hypothèse ? Et tu seras coincé parce que ça sert à rien.
Il ferait mieux de définir ce que veux dire )
.
second papier :
C'est beaucoup plus sérieux. Par contre dans sa première définition il utilise un "en général" dont tu dois te méfier.
tringlarido tringlaridopremier papier :
Comme je l'ai dit plus haut ça commence très mal : il fait une hypothèse sur l'espace
Il ferait mieux de définir ce que veux dire
second papier :
C'est beaucoup plus sérieux. Par contre dans sa première définition il utilise un "en général" dont tu dois te méfier.
re : probleme leçon 82 capes Posté le 15-11-08 à 21:36
Posté le 15-11-08 à 21:36Posté par tringlarido tringlarido
Mais pour cette leçon il faut introduire beaucoup de définition et c'est un peu lourd (comme dans la théorie de l'intégration). Il faut passer du temps à les expliquer mais ne pas en mettre trop car une leçon de CAPES c'est court ! C'est essentiel de ne pas mettre de définition dont tu ne vas pas te servir par la suite.
tringlarido tringlaridoMais pour cette leçon il faut introduire beaucoup de définition et c'est un peu lourd (comme dans la théorie de l'intégration). Il faut passer du temps à les expliquer mais ne pas en mettre trop car une leçon de CAPES c'est court ! C'est essentiel de ne pas mettre de définition dont tu ne vas pas te servir par la suite.
re : probleme leçon 82 capes Posté le 03-04-09 à 22:46
Posté le 03-04-09 à 22:46Posté par Merenveld Merenveld
C'est quoi cette nouvelle leçon bonus 82 ?
Je chercher un papier officiel qui mentionnerait cette leçon mais je n'en trouve pas...
Je sais pas ou vous avez peché cette info, merci de m'éclairer
Merenveld MerenveldC'est quoi cette nouvelle leçon bonus 82 ?
Je chercher un papier officiel qui mentionnerait cette leçon mais je n'en trouve pas...
Je sais pas ou vous avez peché cette info, merci de m'éclairer
re : probleme leçon 82 capes Posté le 03-04-09 à 22:52
Posté le 03-04-09 à 22:52Posté par Merenveld Merenveld
Tiens donc on ne peut pas éditer les posts...
Donc je pourrai pas enlever ce joli " r " en trop après " je cherche "
Merenveld MerenveldTiens donc on ne peut pas éditer les posts...
Donc je pourrai pas enlever ce joli " r " en trop après " je cherche "
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