démontrer que 3 droites sont soncourantes avec des barycentres

Posté par metix metix

bonjour, j'ai moi aussi un exercice similaire dans mon DM et je bloque sur une question. alors voila :

Soit ABC un triangle. On considère les I,J et K définis par AI= -2AB ; CJ= 3/4CA t K symétrique de C par rapport à B.

1. Construire les points, I,J et K.
2. En considérant G=bar {(A;3);(b;-2);(c;1)}, démontrer que les droites (AK),(BJ)et(CI)sont concourantes.

Je sais comment procéder pour démontrer que les droites sont concourantes.J'ai déjà trouvé :

G=bar{(I;1);(C;1)}, donc G appartient à (IC).
G=bar{(J;4);(B;-2)}, donc G appartient à (BJ) (jusqu'ici est-ce-que c'est bon ?)

et après je bloque pour trouver G={(K;qqch);(A;qqch)}. Je n'arrive pas à trouver K=bar{(qqch;qqch);(qqch;qqch)}. Pouvez-vous m'aider ?

*** message déplacé ***

Posté par metix metix

bonjour, j'ai un exercice dans mon DM et je bloque sur une question. alors voila :

Soit ABC un triangle. On considère les I,J et K définis par AI= -2AB ; CJ= 3/4CA t K symétrique de C par rapport à B.

1. Construire les points, I,J et K.
2. En considérant G=bar {(A;3);(b;-2);(c;1)}, démontrer que les droites (AK),(BJ)et(CI)sont concourantes.

Je sais comment procéder pour démontrer que les droites sont concourantes.J'ai déjà trouvé :

G=bar{(I;1);(C;1)}, donc G appartient à (IC).
G=bar{(J;4);(B;-2)}, donc G appartient à (BJ) (jusqu'ici est-ce-que c'est bon ?)

et après je bloque pour trouver G=bar{(K;qqch);(A;qqch)}. Je n'arrive pas à trouver K=bar{(qqch;qqch);(qqch;qqch)}. Pouvez-vous m'aider ?

Posté par littleguy littleguy

Bonjour

K est le symétrique de C par rapport à B, donc B est le milieu de [KC], d'où l'égalité vectorielle :

KC = 2KB ; autrement dit K est le barycentre de (B,-2) et (C,1)

Ensuite c'est l'associativité classique.

Posté par Lamine Lamine

Bonjour
Idée: traduire les hypothèss en langage barycentrique
en ayant à l'esprit d'exprimer les inconnues (I, J et K) en fonctions des connus (A, B et C)
On a donc:
AI = -2AB  <==> I = bar{(A;3);(B;-2)}     (2)
CJ = 3/4CA <==> J = bar{(A;3);(C;1)}      (3)
K symétriq de C /  B <==> B milieu de[CK]
          <==> BK = - BC
          <==> K = bar{(C;-1);(B;2)}
en multipliant les coeff par -1 ( propriété d'homogénéité du barycentre), on a:    
                   K = bar{(C;1);(B;-2)}  (4)
3-2+1 = 2 différent de 0  
    Soit    G = bar {(A;3);(B;-2);(C;1)}  (1)
en utilisant l'associativité du barycentre, on a:
(1)et(2)==> G = bar {(I;1);(C;1)} ==> G sur (CI)
(1)et(3)==> G = bar {(J;4);(B;-2)}==> G sur (BJ)
(1)et(4)==> G = bar {(A;3);(K;-1)}==> G sur (AK)
Donc les droites (AK),(BJ)et(CI)sont concourantes en G ou alignées.
Montrons qu'elles ne sont pas deux à deux alignées:
Raisonons par l'absurde.
Supposons que (CI)= (BJ)==> C,I,B et J alignés
==> I est sur (BC) or I = bar{(A;3);(B;-2)}
==> I est sur (AB) donc {I}= (BC)inter(AB)= {B}
==> {I}={B}
==> I= B ce qui est absurde car I = bar{(A;3);(B;-2)}.
De même, on montre que (AK)et(BJ)ne sont pas confondues
D'où les droites (AK),(BJ)et(CI)sont concourantes en G

A plus!

Posté par littleguy littleguy

metix ne posait qu'une question, et il a la réponse à celles auxquelles il avait déjà répondu.

Posté par metix metix

oui c'est vrai c'est pas trop grave merci de m'avoir aidée