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Niveau Master
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analyse fonctionnelle

Posté par
thetoto
16-11-08 à 10:16

Bonjour à tous.
J'ai un peu mal à démarer cette exercice pourriez vous m'aider ?

Soit pour tout n l'élément de S'() n définie par < n, > = (n) pour tout D () .
Il s'agit d'abord de montrer que pour tout S() la suite n [-N, N] (n) converge.

Merci.

Posté par
Tigweg Correcteur
re : analyse fonctionnelle 16-11-08 à 10:30

Bonjour,

il suffit d'utiliser le fait que 3$\rm \phi\in S(\mathbb R) entraîne 3$\rm \exist M, \;\forall n, \;|\phi(n)|<\fr M{n^2}

Posté par
thetoto
re : analyse fonctionnelle 16-11-08 à 11:05

Bonjour,
Je ne sais pas si j'ai bien compris: comme S() , on sait que est C donc on peut majorer son sup?
mais pourquoi divisé par n²?

Posté par
Tigweg Correcteur
re : analyse fonctionnelle 16-11-08 à 11:13

Non, par définition S(R) est l'ensemble des fonctions dont toute dérivée multipliée par toute puissance de x est bornée sur R.

J'ai considéré ici la dérivée d'ordre 0 (c'est-à-dire la fonction), multipliée par x². Le sup de ce produit est borné, autrement dit la fonction est majorée en valeur absolue par M/x² où M est indépendant de x.

Posté par
thetoto
re : analyse fonctionnelle 16-11-08 à 11:25

ok. je vois. Merci beaucoup.
Ensuite il faut que je montre que n n converge dans S'().
Es-ce correcte de dire:
n[-N,N] (n) = < n[-N,N] n, >
et comme < n[-N,N] n, > converge donc n[-N,N] n converge dans S'() ?

Posté par
Tigweg Correcteur
re : analyse fonctionnelle 16-11-08 à 11:34

Je t'en prie.Oui, pour moi c'est correct (même si je n'ai pas fait de distributions depuis longtemps).

Je ne crois pas dire de bêtises en écrivant qu'une suite (Un) converge dans S' si et seulement si pour tout f de S, converge.Vérifie quand même!

Posté par
thetoto
re : analyse fonctionnelle 16-11-08 à 12:31

ok. Merci

Dans la suite on note pour tout n en la fonction L()définie par
en(x)= e2inx
Il faut montrer que en converge dans D'() vers une limite que l'on note T.
Je ne vois pas comment le montrer..
Ensuite il faut montrer que e1T=T . La aussi je bloque..

Posté par
Tigweg Correcteur
re : analyse fonctionnelle 16-11-08 à 14:52

D'après Riemann-Lebesgue, l'intégrale de en(x) contre toute fonction de D(R) tend vers 0 quand n tend vers l'infini.
Donc je dirais que cette suite tend vers 0 dans D'(R), soit T = 0.

A fortiori, e1.T = T.

A confirmer!

Posté par
thetoto
re : analyse fonctionnelle 16-11-08 à 16:00

je vois merci!

Ensuite on considère un élément de D(R) et D(R) tel que supp ]-1, 1[ et (0)=1.
Il s'agit de montrer que la série de fonctions (x)= nZ (n) ( x-n) converge dans D(R).

Déja peut-on dire que le supp(x) ]-1, 1[ ?

Et à-t-on:
n(x) = n[0,1]n(x)( x-n)  +n[1,[n(x)( x-n) max || D||

Et de là on dit que la série converge sur D(R) ?

Posté par
Tigweg Correcteur
re : analyse fonctionnelle 16-11-08 à 20:39

Bon déjà ça converge normalement donc uniformément pour tout x car théta est bornée.

Idem pour les dérivées de tous ordres de la série de fonctions.

Il y a donc convergence dans D(R).Pour le support je ne suis pas sûr même si je crois me rappeler que tu as raison; mais ça ne ma paraît plus complètement évident comme ça!

Enfin attention à la dérivée d'ordre n, tu l'as allègrement confondu avec l'indice de sommation.

Mais mon argument devrait suffire.

Posté par
Tigweg Correcteur
re : analyse fonctionnelle 17-11-08 à 11:11

En fait j'ai vérifié, le support de 3$\rm\Psi n'est qu'a priori inclus dans 3$\rm ]-1;1[\;+\;supp(\phi) .

Par ailleurs, mon argument d'hier soir concernant la convergence uniforme de (fn) ainsi que toutes ses dérivées est bien valable, mais la démonstration rigoureuse se fait par récurrence en utilisant de façon répétée le théorème disant que si une suite (Un) de fonctions dérivables est telle que (U'n) converge uniformément sur un compact K vers une fonction V, et s'il existe un élément x de K tel que la suite (Un(x)) converge, alors (Un) converge uniformément sur K vers une fonction dérivable U telle que U'=V.



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