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Espaces connexes
Bonjour à tous,
Pouvez-vous me dire si cet espace est connexe svp ?
A= (Union indexée par n€N* des Fn) union ({0}x]0,1])
Avec Fn = [0,1]x{1/n}
N est l'ensemble des nombres entiers
Pour l'instant j'ai dit que Fn était connexe car je crois que Fn représente les segments horizontaux portés par 1/n. Un segment étant convexe, alors Fn est connexe.
Je ne sais pas trop si c'est ça car on débute avec les connexes !
Après pour l'union des Fn je pense qu'elle n'est pas connexe en faisant un dessin mais je ne sais pas trop comment le prouver (je n'ai pas trouvé de partie de Fn qui est à la fois ouverte et fermée) !
Donc du coup je pense que A n'est pas connexe, mais de même que pour l'union des Fn, je ne sais pas trop comment faire pour le prouver ?
Merci à l'avance
J'ai oublié de préciser que ces sous-espaces sont dans R² muni de la distance usuelle ! (R est l'ensemble des réels)
Salut 
A est connexe... il est même connexe par arcs il me semble!
Tu prends deux points x0 et x1 de A. Déjà tu pars de x0, tu te déplaces vers la droite jusqu'à arriver sur {0}*]0,1]. Après tu deplaces verticalement jusqu'à arriver à l'ordonnée de x1 et tu déplaces verticalement à nouveau pour aller vers x1.
Ah oui je m'étais trompé je considérais ]0,1]*{0} au lieu de {0}*]0,1].
Je comprends à peu près ce que tu dis mais euh par contre est-ce qu'il ne faut pas d'abord se déplacer vers la gauche jusqu'à arriver sur {0}*]0,1], après verticalement jusqu'à arriver à l'ordonnée de x1 et puis horizontalement à nouveau pour aller vers x1 ?Car sinon je ne comprends pas !
Et donc je comprends que c'est connexe par arc mais dans le cours on a juste donné la définition alors je ne sais pas torp comment on prouve qu'un espace est connexe par arc ?
Là on voit bien qu'il existe un chemin qui va de [0,1] dans A d'origine x0 et d'extrémité x1, mais je suppose que ça ne suffit pas de dire ça ?
Je confonds ma droite et ma gauche... 
Oui bien sûr, faut se déplacer vers la gauche dans un premier temps.
Mais en fait comment je peux faire pour montrer que c'est connexe par arc ?
J'ai pris quatre points : A(xA,yA); A'(0,yA); B(xB,yB); B'(0,yB)
Je peux définir trois chemins qui seront tous les trois dans B :
f(t)=(1-t)A + tA'
g(t)=(1-t)A'+tB'
h(t)=(1-t)B'+tB
t€[0,1]
Mais après je ne sais pas comment conclure...
Si tu prends a et b dans A, oui, c'est les points qu'il faut prendre. Après t'as plus qu'à les relier: débrouille toi pour trouver une application qui convienne et qui soit continue.
Par exemple, un truc du style : G(t)= f(3t) si 0<t<1/3; G(t)=g(3(t-1/3)) si 1/3<t<2/3; G(t)=h(3(t-2/3)) si 2/3<t<1.
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