Probabilités loi de paréto

Posté par Univ-man Univ-man

Bonjour , je rencontre de nombreuses difficultés sur cet exercice que je n'arrive meme pas a demarrer...

Je commence :
             On dit que X suit une loi de paréto de parametre a>0 et b>0 si elle admet pour densité :
                          f(x)= 0 si x<a
                          f(x) = (b/a)(a/x)^(b+1)     si x > ou egal à 'a'

1) Verifier que f est bien une densité et determiner la fonction de repartition correspondante.
2)Determiner quand elles existent , l'esperance et variance de x
3)On concidere qu ela loi de repartition des revenus dans un pays developpés est une loi de pareto de parametre b=1.5 / Que represente alors le parametre a ?
L'espérance de X ? La variance de X?

Merci beaucoup.

Posté par Tigweg Tigweg

Bonjour,

1)f est intégrable et positive, et son intégrale sur R vaut 1 (il suffit de faire le calcul), donc c'est une densité.
La fonction de répartition s'obtient en calculant P(X < t) pour t réel, en intégrant f de a à t pour t > a. (si t < a, f(x) vaut 0 pour x < t donc l'intégrale sera aussi nulle).

2)Pour calculer l'espérance, tu calcules l'intégrale sur R de xf(x), pour la variance tu calcules l'intégrale de x²f(x) sur R et tu soustrais le carré de l'espérance.

3) a est le revenu minimum puisque P(X