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inverse matrice triangulaire

Posté par
robby3 24-11-08 à 14:51

Bonjour tout le monde,
y-a t-il un moyen rapide de calculer l'inverse de cette matrice:

\begin{pmatrix}1&2&3&......&n\\ \\ 0&1&2&.....&n-1\\ \\ 0&0&1&...&n-2\\ \\ .\\.\\.\\ \\ 0&...&...&...&1 \\ \end{pmatrix}


Merci d'avance de vos idées

Posté par
Camélia Correcteurre : inverse matrice triangulaire 24-11-08 à 14:56

Bonjour robby3

je pense que le plus rapide est de résoudre le système MX=Y avec X et Y des vecteurs, à partir de la dernière ligne.

Mais si tu veux un peu de fantésie, soit J la matrice qui n'a que des 1 sur une parallèle au dessus de la diagonale. Alors ta matrice M=I+2J+...+nJ^{n-1} et J^n=0 Comme M^{-1} est combinaison linéaire des puissances de J, on peut peut-être en tirer quelque chose!

Posté par
robby3re : inverse matrice triangulaire 24-11-08 à 15:11

Bonjour Camélia,
en fait j'avais pensé au systeme,mais ça me paraissait un peu long et barbant

la 2eme méthode que tu me proposes, je comprend pas le J^n=0...
pour une matrice 3 X 3,je trouve  J^2=0

Posté par
Camélia Correcteurre : inverse matrice triangulaire 24-11-08 à 15:15

Je me suis peut-être mal exprimée. Pour n=3

J=\(\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0\end{array}\)

J^2=\(\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{array}\)

Posté par
robby3re : inverse matrice triangulaire 24-11-08 à 15:21

ah oui donc là on a bien J^3=0mais le calcul de M^{-1} est-il vraiment plus simple?
à vrai dire j'ai:

MM^{-1}=I \Longleftrightarrow M^{-1}+2JM^{-1}+...+nJ^{n-1}M^{-1}=I
ou c'est pas ça du tout...

Posté par
Camélia Correcteurre : inverse matrice triangulaire 24-11-08 à 15:44

Je n'en sais rien! J'essayais de donner des idées...

Mon idée était d'écrire

M^{-1}=I+a_1J+...+a_{n-1}J^{n-1}

de faire la multiplication MM^{-1} (en n'oubliant pas que J^n=0) et de regarder...

Posté par
robby3re : inverse matrice triangulaire 24-11-08 à 16:08

Citation :
Je n'en sais rien! J'essayais de donner des idées...

ah d'accord!

bon je crois que je vais revenir au bon vieux systeme...
personnellement sur mon brouillon c'est horrible...
j'ai beau regarder...
je reste à:

I+2J +3J^2+...+nJ^{n-1}+ \\ a_1J+2a_1J^2+...+a_1(n-1)J^{n-1}+ \\ a_2J^2+2a_2J^3+...+a_2(n-2)J^{n-1}+...+ a_{n-1}J^{n-1}=I

Posté par
veledare : inverse matrice triangulaire 27-11-08 à 21:37

bonsoir robby3
j'arrive peut être un peu tard j'avais cherché mais j'ai oublié de poster
on pose pour N entier naturelP_{N}(X)=\bigsum_{k=0}^{N-1}X^k=>P'_{N}(X)=\bigsum_{k=1}^{N-1}kX^{k-1}
donc pour Nn+1 P'_N(J)=M
(X-1]P_N(X)=X^N-1
on dérive
(X-1)P'_N(X)+P_N(X)=NX^{N-1}
d'où
(X-1)^2P'_N(X)+(X-1)P_N(X)=(X-1)NX^{N-1}=>(X-1)^2P'_N(X)=(X-1)NX^{N-1}-X^N+1
en prenant N>n+1 on en déduit
(J-I)^2P'_N(J)=I soit (J-I)^2M=I=>M^{-1}=(J-I)^2

Posté par
veledare : inverse matrice triangulaire 27-11-08 à 21:37

j'ai oublié:j'ai repris les notations de Camelia

Posté par
robby3re : inverse matrice triangulaire 27-11-08 à 21:47

Salut Veleda!
Merci!

sinon on l'a corrigé en td,le prof a regardé simplement pour n=2,3,4 puis en a déduit une formulation de la matrice inverse...(un exercice fort ininterressant dans le but de préparer le capes )

Posté par
veledare : inverse matrice triangulaire 27-11-08 à 21:54

avec le système on en sortait aussi ,cette démonstration est mieux mais si on ne l'a jamais rencontrée il n'est pas évident de la trouvée en 3 minutes

Posté par
veledare : inverse matrice triangulaire 27-11-08 à 21:55

de la trouver !

Posté par
robby3re : inverse matrice triangulaire 27-11-08 à 22:09

oui! je vois ça!

Posté par
veledare : inverse matrice triangulaire 27-11-08 à 22:12

c'est une methode à retenir

Posté par
Fradelre : inverse matrice triangulaire 28-11-08 à 11:14

Bonjour à tous et merci veleda pour cette très jolie démonstration.  


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