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DM de maths' pour le 3.12.08 [ équation différentielles - log ]

Posté par
Plema
27-11-08 à 19:07

Voila j'ai un énorme soucis . Aujourd'hui j'ai recue un dm de maths a rendre pour mercredi et en voyant la feuille je me suis rendue compte que je n' y comprenais strictement rien .
J'aimerai savoir si quelqu'un pouvait maider ou me donner des pistes pour mieux comprendre .
J'attends vos réponses .
Merci d'avance .


Exercice 1 :

On se propose de déterminer toutes les fonctions f définies et dérivables sur l'intervalle ]0;+oo[ vérifiant l'équation differentielle :

(E) :  xf'(x) - (2x+1)f(x)= 8x²

1.(a). Démontrer que si f est solution de (E) alors la fonction g définie sur l'intervalle ]0;+oo[ par g(x)= f(x)
                                                                                                                                                          x
est solution de l'équation différentielle (E') : y'=2y+8

  (b). Démontrer que si h est solution de (E') alors la fonction f définie par f(x)= xh(x) est solution de (E)

2. Résoudre (E') et en déduire toutes les solutions de (E)
3. Existe t'il une fonction f solution de l'équation differentielle (E) dont la représentation graphique dans un repère donné passe par le point A(ln2,0) ? Si oui la préciser.


Exercice 2 :
***
édit Océane : exercice posté dans un nouveau topic                              

Posté par
Plema
re : DM de maths' pour le 3.12.08 [ équation différentielles - l 27-11-08 à 19:12

désolé pour la question 6 un smiley est intervenu lol
donc je la réecrit :

***
édit Océane : exercice posté dans un nouveau topic

Posté par
Labo
re : DM de maths' pour le 3.12.08 [ équation différentielles - l 27-11-08 à 20:20

bonsoir,
règle sur ce forum :Un topic =un exercice

pour 1)
détermine g'(x) et montre que
g'(x)-2g(x)=8 sachant que f vérifie
xf'(x)-(2x+1)f(x)=8x2

Posté par
Plema
DM de maths' pour le 3.12.08 [ équation différentielles - log ] 01-12-08 à 15:34

Merci Labo pour ta réponse , elle m'a aidé a trouver le résultat a la question 1.a. et .b.

1.a. g(x) = f(x)/x donc f(x)= g(x)* x
f'(x) = g'(x)x + g(x)

(E) : sf'(x) - (2x+1)f(x) = 8x²
= x(g'(x)x + g(x) - (2x+1)* g(x)x = 8x²
= g'(x)x² + g(x)x - 2g(x)x² - g(x)x = 8x²
= g'(x) - 2g(x) = 8
= g'(x) = 2g(x)+8

Donc g est bien solution de l'equation differentielle (E') : y'=2y+8

.b. Pour cette question c'est assez simple
j'ai pris le probleme a l'inverse du 1.a. et j'ai bien trouver que f etait solution de (E)

2. En ce qui concerne la résolution de (E') j'ai trouver que c'etait les équations (E') -> Ce^2x - 4
Et la pb je ne sais pas cmt en déduire les solution de (E)
et je reste bloquée pour la question 3 .

Serait-il possible de me donner au moins des pistes ?!
Merci.

Posté par
Labo
re : DM de maths' pour le 3.12.08 [ équation différentielles - l 01-12-08 à 20:40

Bonsoir,
les solutions sont f(x)=x(Ce2x-4)
la particulière:
f(ln2)=0 =ln2(Celn2-4)
C=2 sauf erreur

Posté par
Plema
DM de maths' pour le 3.12.08 [ équation différentielles - log ] 01-12-08 à 21:04

Bonsoir Labo,

Je te remercie pour ta réponse
mais j'aimerai savoir comment as tu trouver ce résultat ?

Posté par
Labo
re : DM de maths' pour le 3.12.08 [ équation différentielles - l 01-12-08 à 21:14

pour 3 )d'après les questions précédentes... c'est du cours tu peux consulter les fiches du site dans la barre de menu
pour 4) par calcul je n'ai pas écrit toutes les étapes

Posté par
Plema
DM de maths' pour le 3.12.08 [ équation différentielles - log ] 01-12-08 à 21:27

Malheureusement Labo meme en cherchant sur le site je n'ai pas trouver la demarche que tu as eu pr repondre a la question  2 et 3
Serait-il possible que tu m'expliques ? s'il te plait

Posté par
Labo
re : DM de maths' pour le 3.12.08 [ équation différentielles - l 02-12-08 à 14:21

Bonjour,
1)(E)  xf'(x) - (2x+1)f(x)= 8x²
d'après la question 1 tu as montré que
si f(x) vérifie (E)et si g(x)=f(x)/x alors g(x) vérifie (E')
(E') y'=2y+8
ensuite tu as montré que si
h(x) vérifie (E') alors f(x)= xh(x) est solution de (E)
2) tu as trouvé
h(x)=Ce2x-4 vérifie (E')  
donc toutes les solutions de (E) f(x)=xh(x)
soit f(x)=x(Ce2x-4)
pour 3) tu cherches celle dont le représentation graphique passe par A(ln2;0)
donc f(ln2)=0=ln2(Ce2ln2-4)=ln2*(C*(4)-4)=0
4C*ln2=4
C=1/ln2  oups....hier je me suis trompée ...mille excuses

Posté par
Labo
re : DM de maths' pour le 3.12.08 [ équation différentielles - l 03-12-08 à 10:11

que dire de mes calculs  quelle horreur! j'espère que tu les as corrigés...désolée
je détaille     
f(ln2)=ln2(Ce2ln2=Cln2*4-ln2*4=0 et C=1

Posté par
styxis
re : DM de maths' pour le 3.12.08 [ équation différentielles - l 09-12-09 à 19:17

Mais pour la question 2) comment faire? C'est bien beau de dire "faire l'inverse" mais la réalité est plus complexe... Pouvez vous m'aider?

Merci a tous.

Posté par
Labo
re : DM de maths' pour le 3.12.08 [ équation différentielles - l 09-12-09 à 23:38

bonjour styxis

Citation :
(E) :  xf'(x) - (2x+1)f(x)= 8x²
1.(a). Démontrer que si f est solution de (E) alors la fonction g définie sur l'intervalle ]0;+oo[ par g(x)= f(x)/x est solution de l'équation différentielle (E') : y'=2y+8

g(x)=\fr{f(x)}{x}
 \\ g'(x)=\fr{xf'(x)-f(x)}{x^2}=\fr{8x^2+(2x+1)f(x)-f(x)}{x^2}=8+\fr{(2x+1)f(x)-f(x)}{x^2}=8+\fr{2xf(x)}{x^2}=8+2\fr{f(x)}{x}=8+2g(x)
donc g est solution de (E')
1b)  
Citation :
Démontrer que si h est solution de (E') alors la fonction f définie par f(x)= xh(x) est solution de (E)

f(x)=xh(x)
f'(x)=h(x)+xh'(x)
 \\ xf'(x)=xh(x)+x^2(8+2h(x))=xh(x)+2x^2\time h(x)+8x^2=f(x)+x\time 2f(x)+8x^2
 \\ xf'(x)=f(x)(2x+1)+8x^2
 \\ xf'(x)-(2x+1)f(x)=8x^2
donc f est solution de (E)
                                                                                                                                                        

Posté par
skatefreestyle
re : DM de maths' pour le 3.12.08 [ équation différentielles - l 03-01-10 à 18:26

désolé de "deterrer " ce topic, mais effectivement j'ai le même sujet, mais j'ai une question supplémentaire auquel je n'y arrive pas.

4) déterminer une fonction f solution de l'équation différentielle (E) dont la limite en - l'infinis est égale à + infinis.

donc la j'ai eu un peu de mal


je suis repartis de la fonction f(x)=x(ke^2x  -4)
et j'ai remarqué que si l'on prend pour k=1
la fonction f à les mêmes limites en + et - infinis.
est-ce correct?
merci.

Posté par
Labo
re : DM de maths' pour le 3.12.08 [ équation différentielles - l 03-01-10 à 19:20

bonjour,
on te demande de déterminer UNE  fonction  dont la limite en -est +
pour tout k la limite est +

lim de XeX=0 qd X tend vers -
lim de kxe2x=0 qd x tend vers -
lim kxe2x-4x=+qd x tend vers -

Posté par
skatefreestyle
re : DM de maths' pour le 3.12.08 [ équation différentielles - l 03-01-10 à 20:27

okay merci

question 5) Déterminer une fonction f solution de l'équation différentielle (E) dont la limite en + infinis est égale à - l'infinis.

je prends donc le chemin inverse:

Pour tout k la limite est - infinis.

lim Xe^x = + inf quand X tend vers + inf
lim de kxe^2x = + inf quand x tend vers + inf
lim kxe^2x -4x = - inf quand x tend vers + inf


est-ce correct? merci.

Posté par
skatefreestyle
re : DM de maths' pour le 3.12.08 [ équation différentielles - l 03-01-10 à 20:44

svp ?

Posté par
skatefreestyle
re : DM de maths' pour le 3.12.08 [ équation différentielles - l 03-01-10 à 21:09

up !!!

Posté par
Labo
re : DM de maths' pour le 3.12.08 [ équation différentielles - l 03-01-10 à 21:20

tu ne peux pas faire ainsi...
lim de x(ke2x-4)en +

lim de e2x=+ qd x tend vers +
si k<0
lim ke2x=- qd x tend vers +
lim (ke2x-4)=- qd x tend vers +
et lim de x(ke2x-4)=- qd x tend vers +
Si k est négatif alors f(x) tend vers - qd x tend vers +

Posté par
Sujin
re : DM de maths' pour le 3.12.08 [ équation différentielles - l 13-10-10 à 15:46

Bonjour,

J'ai eu quasiment le même sujet que Plema et les mêmes difficultés.

Grâce aux réponses au sujet j'ai pu le résoudre (je n'ai pas fait un bête copier coller, je tout de même cherché à utiliser le moins d'indices possibles )

Cependant, la dernière question ne semble pas être la même :

3) Existe-t-il une solution de l'équation différentielle (E) dont la représentation graphique dans un repère donné admet un tangente parallèle à la droite d'équation y = - 2x au point d'abscisse 1/2 ? Si oui, préciser et donner l'expression de f(x)

Serait-il possible de me donner un petit coup de main ?

Merci d'avance,


Sujin

Posté par
Labo
re : DM de maths' pour le 3.12.08 [ équation différentielles - l 13-10-10 à 22:30

Bonsoir Sujin,
f(x)=x(Ce^{2x}-4)
f'(x)=Ce^{2x}(2x+1)-4
f'(1/2)=Ce(2)-4=-2
Ce=1
C=1/e
f(x)=x(e^{2x-1}-4)
équation de la tangente
y=-2x-0,5

DM de maths\' pour le 3.12.08 [ équation différentielles - l

Posté par
Sujin
re : DM de maths' pour le 3.12.08 [ équation différentielles - l 14-10-10 à 19:07

Merci pour votre réponse Labo,

Seulement je ne comprend pas le calcul de la dérivée de f(x)...
Si vous pouviez détailler....

Merci

Sujin

Posté par
Sujin
re : DM de maths' pour le 3.12.08 [ équation différentielles - l 14-10-10 à 19:29

oops j'ai mis une erreur dans l'énoncé

Je viens de m'en rendre compte en essayant de le refaire

c'est non pas au point d'abscisse 1/2 mais -1/2... ça change tout

Posté par
Labo
re : DM de maths' pour le 3.12.08 [ équation différentielles - l 14-10-10 à 20:48

bonsoir Sujin
pour x=-1/2 pour tout C on a
f'(-1/2)=-4≠-2

Posté par
Sujin
re : DM de maths' pour le 3.12.08 [ équation différentielles - l 16-10-10 à 11:09

Merci

Posté par
Labo
re : DM de maths' pour le 3.12.08 [ équation différentielles - l 16-10-10 à 11:47



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