Enigme de clemclem 12

Posté par clemclem clemclem

Bonjour à tous,

Voici la première énigme de clemclem (moi donc ) de cette année 2005 :

Considérons la suite de fibonacci défini par :
et
et

Démontrer que :


Bonne chance à tous

Clotûre samedi matin.

A plus

Posté par sittingbul (invité)

bonjour,
je vais faire un démonstration par récurrence:
Au rang initial 0:
d'après la formule:

donc:
et la somme

La propriété est donc vrai au rang initial 0.

J'admet donc que la propriété est vraie au rang n
Je vais montrer au rang n+1:

Mais
Donc la somme :

=
=
La propriété est donc héréditaire.
Une propriété étant vrai au rang initaial et étant héréditaire est vraie à tous les rang.

Voilà

Posté par Ksilver Ksilver



la suite donne 0,1,1,2,3,5 etc...

on resone par recurence :

la proprieter est vrai au rang 1 (1 = F3 -1 )


on suppose qu'il exite un rang n pour laqu'elle la proprieter est vrai.
donc F1 + F2 + F3 +F4...Fn=F(n+2)-1
donc F1+F2+F3...+Fn+F(n+1)=F(n+1)+F(n+2)-1

or F(n+1)+F(n+2) = F(n+3)

donc F1+F2+F3...+Fn+F(n+1)=F(n+3) -1

donc la proprieter est vrai au rang n+1 si elle est vrai au rang n, elle est donc hereditaire et comme elle est vrai au rang 1 elle est vrai pour tous n superieur a 1

Posté par Lopez Lopez

Bonjour,
= +
= +
= +
   -     -      -
   -     -      -
   -     -      -
= +
= +

On fait la somme membre à membre et on obtient :

+ = + + +

En supprimant la somme identique des deux côtés de l'égalité il nous reste :

= + 1 + 0
d'où = - 1

cqfd

Posté par jetset (invité)

On procède par récurrence:
Pour i=0, la propriété est vérifiée car:
F2=F0+F1= 1

On suppose la pté vérifiée pour le rang p:
somme (1 à p) Fp = Fp+2 - 1

Or, somme (1 à p+1) Fp = somme (1 à p) Fp + Fp+1 = Fp+2 - 1 + Fp+1 = Fp+3 - 1
Donc somme (1 à p+1) Fp = Fp+3 - 1. La propriété est donc bien vérifiée pour le rang p+1

La propriété "somme (1 à n) Fn = Fn+2 - 1" est donc bien valable quelque soit l'entier naturel n

Posté par gilbert (invité)

On écrit les relations
F_n+2= F_n+1+ F_n
F_n+1= F_n+ F_n-1
F_n= F_n-1+ F_n-2
F_n-1= F_n-2+ F_n-3
...
...
F₂= F₁+ F₀

Si je fais la somme de ces égalités , la plupart des termes de part et d'autre du signe = se simplifient et on obtient :
F_n+2= F₁+ ₀ⁿ F_i
F₁=1 et  ₀ⁿ F_i = ₁ⁿ F_i car F₀= 0.
Donc ₁ⁿ F_i = F_n+2- 1

Posté par nicodelafac nicodelafac

Par récurrence, c'est assez facile à montrer :
Nous avons F1=1 et ¹₁F1=1
L'égalité est donc vérifiée pour n=1

Supposons l'égalité vérifiée pour n. Montrons qu'elle est vérifiée pour n+1

Nous avons ⁿ⁺¹₁Fi= ⁿ₁Fi + Fn+1
D'après notre hypothèse, nous avons alors :
ⁿ⁺¹₁Fi=Fn+2-1+Fn+1 et par définition de la suite : Fn+2+Fn+1=Fn+3
Ainsi ⁿ⁺¹₁Fi=Fn+3-1

Nous avons donc montré que l'égalité :
  - Est vérifiée pour n=1 ;
  - Est vérifiée pour n+1 si elle l'est pour n.

On en conclu alors que ⁿ₁Fi=Fn+2-1 pour tout n1

cqfd

Posté par Fabien (invité)

Par récurrence:

Pour n=1, la propriété est vérifiée, chaque terme vaut 1.

Supposons la propriété vraie à un rang n, est-elle vraie au rang suivant: n+1 ?

est vraie !
Est ce que est vrai !

D'après définition:

Donc


Mais

Donc

ET donc

Conclusion habituelle d'une récurrence...

Et donc

Posté par DivXworld (invité)

bon alors c'est parti pour la récurrence:

d'abord le blabla: on pose P(n) la propriété a démontrer (désolé je sais pas encoretrop me servir du latex et j'ai pas vraiment le temps)

_on vérifit pour n=1
F₁=1
F₁₊₂-1
=F₂+F₁-1
=F₁+F₀+F₁-1
=1
P(1) est vraie

_on suppose P(n) vrai pour une valeur de n
i.e. somme de i=1 a n
F_i=F_n+2-1


somme de i=1 a n+1
F_i
=F_i(de 1 a n)+F_n+1
=F_n+2-1+F_n+1
=F_n+3-1

donc P(n+1) est vraie

_P(1) est vraie
n* P(n)P(n+1)

n* P(n) est vraie

voila voila

Posté par manpower manpower

Par récurrence !
Hypothèse : (Hn) :

(H1) est vraie : = - 1

Supposons (Hn) vraie pour un entier n1
et montrons que (Hn+1) est vraie :


  avec (Hn)
   avec

(Hn+1) est vraie

Conclusion : Pour tout entier n1, (Hn) est vraie.

Posté par levrainico (invité)

bien le bonjour, je suis un petit nouveau
je connais le site depuis un petit moment, mais je n'ai jamais pris le temps d'envoyer des messages

ben mon premier sera la reponse a cette enigme.   j'avais preparé ma reponse sous word, mais quand j'ai fait le copie collé, ca n'afficahait pas les equatiosn
j'ai bienessaye avec les latex, trop galere

donc j'ai juste fait un imprim ecran  ->   desole Webmaster..

A+
levrainico

Posté par pietro (invité)

Calculons quelques premiers termes.
F₀ = 0
F₁ = 1
F₂ = F₁ + F₀ = 2
F₃ = F₂ + F₁ = 3
F₄ = F₃ + F₂ = 5
F₅ = F₄ + F₃ = 8

Démonstration par récurrence de la propriété :
1) Montrons qu'elle est vraie  pour les premières valeurs de n.
   a) n=1     =? F₃ - 1
      F₁ = 2 - 1 = 1 oui
   b) n=2     F₁ + F₂ =? F₄ - 1
      1 + 1 = 2 =? 3 - 1 oui
   c) n=3    F₁ + F₂ + F₃ =? F₅ - 1
      1 + 1 + 2 =? 5 - 1
      4 = 5 - 1 oui
2) Supposons que la propriété soit vraie pour i allant de 1 à k-1, et montrons qu'elle est alors vraie pour i allant de   1 à k.
On a donc = F_k+1 - 1
d'où = (F_k+1 - 1) + F_k
  = (F_k+1 + F_k) - 1
  = F_k+2 - 1
3) La propriété étant vraie pur n=3 est donc vraie pour n=4. Etant vraie pour n=4 elle est donc vraie pour n=5,......etc Elle est donc vraie pour toute valeur de n.

Posté par Al1 (invité)

Bon, je propose une récurrence...

F₃=2
Posons S(n) = somme des F(i) de 1 à i
S(1)=1, F(3)-1=1, c'est bon... la première étape de ma récurrence est démontrée...

on suppose que S(n)=F(n+2)-1
S(n+1)=S(n)+F(n+1)=F(n+2)+(Fn+3)-1=F(n+4)-1

La propriété est conservée

CQFD

Posté par Nofutur2 Nofutur2



......


En ajoutant membre à membre et en simplifiant, on obtient  :

Comme et   on peut écrire :

Posté par matt- (invité)

On démontre çà par récurrence sur N.
Au rang 1 : Somme de 1 à 1 des F(i) = F(1) = 1 = 2-1 = F(2) - 1 donc la propriété est vérifiée.
Soit n un entier naturel. On suppose la propriété vraie au rang n. Au rang n+1, on a :
  Somme de 1 à n+1 des F(i) = (somme de 1 à n des Fi) + F(n+1) = F(n+2) - 1 + F(n+1) (hyp. de récurrence) = F(n+3) - 1, ce qui achève le raisonnement par réccurence.
QED !
PS : c'est pas vraiment une énigme :p

Posté par julien12ever (invité)

utilisons une méthode de récurrence:
pour n=1:

Hérédité: on suppose que pour tout n de on a:

                 

Cette relation est-elle vrai au rang n+1?

Pour tout n de :



or
  (par définition de la suite)
donc

Ainsi

donc la relation est vrai au rang n+1 lorsqu'on la suppose vraie au rang n or elle est vrai pour n=1 donc elle est vrai pour tout n


voila, je te remerci pour le smiley

Posté par franz franz

Soit



Comme en retranchant à chacun des termes de l'égalité précédente on arrive au résultat

                

Posté par MPSI-1 (invité)

utilisons une méthode de récurrence:
pour n=1:


supposons pour tout entier naturel non nul n:            

Pour tout entier naturel non nul n:
                                                
or d'après l'énoncé

d'où

la récurrence marche donc voila je l'ai démontré

Posté par ametist (invité)

Vérifions que çà marche pour n=2
F1+F2=1+1=2
F4-1=3-1=2 donc çà marche F1+F2=F4-1
supposons que c'est vrai au rang n
F1+F2+...+Fn=Fn+2 - 1
F1+F2+...+Fn+ Fn+1 + Fn+2 =Fn+1 + 2*Fn+2 -1
                          =Fn+3 + Fn+2 - 1
donc
F1+F2+...+Fn+ Fn+1 = Fn+3 - 1
donc vrai au rang n+1
donc l'égalité est vraie par récurrence

Posté par mickachef (invité)

voila on se propose de démontrer par récurrence Pn, la propriété suivante :
(Somme de i=1 à n de Fi = F(n+2) -1 ) kelke soi 'n' non nul de N.
initialisation
par hypothese on sait que F(1) = 1; F(0)=0          et  F(n+2)= F(n+1)+Fn donc F(2)= 1+0=1 et F(3)= 1+1=2
Or, Somme de i=1 à 1 de Fi = F(1)= F(1+2) -1=2-1 =1
on retouve bien alor F(1) = 1 et P1 est vérifiée et donc Pn est initialisée!!

Hérédité
Supposons Pn vraie pr un entier naturel non nul , Pn+1 est vraie?? c a dire, Somme de i=1 à n+1 de Fi = F(n+3) -1 ??????

par hypothese
F(n+2)= F(n+1)+Fn
ce ki ékivo a
F(n+3)=F(n+2)+F(n+1)

Or, Somme de i=1 à n+1 de Fi = (Somme de i=1 à n de Fi) + F(n+1) = F(n+2)-1+ F(n+1)
(car d'apres lhypothese de récurrence, (Somme de i=1 à n de Fi = F(n+2) -1 ))
ainsi , P(n+1)= F(n+2)+F(n+1) -1 = F(n+3)- 1  : CQFD

Pn est héréditaire et initialisée elle est donc vraie kelke soit n non nul dans N!!
oléééééééé

Posté par daniel12345 (invité)


   Démonstration par récurrence

   1) la formule (1)   doit être vraie
       pour i=1   =1        et         ok

       pour i=2   =1+1=2  et         ok


    2) on suppose (2)   vrai au rang n.
        Il faut maintenant  démontrer qu'elle est vraie au rang n+1

          Soit   

             On rajoute a (2) d'ou

                   

        On obtient donc :

           Finalement est vrai puisque c'est la suite de fibonacci .
    
         Donc la formule (1) est démontrée pour tout n.










    

Posté par CastorFantome (invité)

Je propose d edémontrer par récurrence.
Je ne suis toujours pas sur de la syntaxe Latex vu que je n'arrive pas à accéder a l'aide La j'ai recuperer les smiley c'est déja un bon point mais je n'ai pas non plus les symbole donc je sens que je vaiis m'amuser

Donc verifions au rang n=1 :



Or

donc

Donc cela est vrai pour n=1

Verifins si lorsque c'est vrai à un rang n , c'est aussi vrai au rang n+1
Posons :

Donc


Or F_n+3=F_n+2+F_n+1

Donc
Donc l'hypothèse est vrai au rang n+1

Quelque soit n, cela est vrai

Posté par mani (invité)

F₀=0
F₁=1
F₂=F₁+0
F₃=F₂+F₁
F₄=F₃+F₂
F₅=F₄+F₃
.
.
.
F_n-2=F_n-3+F_n-4
F_n-1=F_n-2+F_n-3
F_n=F_n-1+F_n-2
si
S_n=F₁+F₂+...+F_n

nous avons donc:
S_n=1+2(F₁+F₂+...+F_n-2)+F_n-1
S_n=1+2S_n-2+F_n-1
on sait que:
S_n-2=S_n-F_n-1-F_n
donc
S_n=1+2(S_n-F_n-1-F_n)+F_n-1
ou
S_n=F_n-1+2F_n-1
S_n=(F_n-1+F_n)+(F_n)-1
S_n=(F_n+1)+(F_n)-1
S_n=(F_n+2)-1

voila!

Posté par lucas640 (invité)

comment on fait

Posté par clemclem clemclem

Bravo à tous,

Deux méthodes ont été utilisés : la récurrence et l'addition membre à membre.
Il en existait une autre , celle que j'ai utilisé pour prouver ce résultat ( beaucoup plus longue ) : utiliser la formule de la suite de Fibonacci() puis faire joujou () avec le nombre d'or et son conjugué.

A plus pour de prochaines aventures

Posté par franz franz

si je puis me permettre.

Merci pour cette énigme.

Posté par clemclem clemclem

Effectivement,petit oubli de ma part

Heureusement que tu veilles franz

Posté par jetset (invité)

Euh.... Quelle est la raison de mon poisson?

Posté par clemclem clemclem

Bonjour jetset,

Le problème de ta démonstration est qu'elle démarre au rang 0.Alors qu'il est clairement dit dans l'énoncé que la somme commence au rang 1.

Il s'agit donc d'une erreur d'initialisation de ta récurrence.

Voilà tout

A plus

Posté par Emma (invité)

Salut jetset

Le raisonnement par récurrence est primordial, et pourtant parfois difficile à rédiger.
Ayant remarqué quelques problèmes dans ta rédaction, je me permets donc de compléter la réponse de clemclem...

D'une part, ton initialisation n'est pas bonne :
lorsque l'on demande de démontrer que , la récurrence doit se faire sur n appartenant à ^* et pas sur i appartenant à

Mais d'autre part, il y a un problème dans la seconde étape de ta démonstration :
lorsque tu démontres le caractère héréditaire, tu écris
----
On suppose la pté vérifiée pour le rang p:
somme (1 à p) Fp = Fp+2 -
----

Mais cela n'a pas de sens : p est à la fois la borne de ta somme et l'indice qui semble varier...
C'est comme si tu avais écrit :


Alors que si tu supposes la propriété vraie au rang p, tu supposes que

@+
Emma

Posté par jetset (invité)

ok ok. N'en jetez plus. Ce n'était que de l'étourderie. Le raisonnement était valable quand même... J'essaierai de faire plus attention la prochaine fois.

Posté par nicodelafac nicodelafac

Hello Clemclem!

Pourrais tu me dire ce qu'il y a de faux dans ma réponse?

Posté par clemclem clemclem

Bonjour nicodelafac,

La aussi je trouve un problème dans ta démonstration au niveau de l'initialisation de la récurrence.
Tu calcules mais tu ne me prouves pas que

Voilà

A plus