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Problème d'équation différentielle
On se propose de déterminer toutes les fonctions f définies et dérivables sur l'intervalle ]0;+infini[ vérifiant l'équation différentielle
(E) : xf'(x)-(2x+1)f(x) = 8x²
1)a/Démontrer que si f est solution de (E) alors la fonction g définie sur l'intervalle ]0,+infini[ par g(x)=f(x)/x est solution de l'équation différentielle (E') : y' = 2y+8.
Faut faire la double implication non ? Si c'est bien ça, je pense pouvoir y arriver.
b/ Démontrer que si h est solution de (E') alors la fonction f défini par f(x) = xh(x) est solution de (E).
Encore double implication, non ?
2)Résoudre (E') et en déduire les solutions de (E).
(E') : y'= 2y+2 donc l'ensemble des solutions de (E')est l'ensemble des fonctions telles que
x -> Ke^(2x+2).
Et ensuite ?!
3)Existe t-il une fonction f solution de l'équation différentielle (E) dont la représentation graphique dans un repère donné passe par le point A(ln2;0) ? Si oui la préciser.
Heu... Que faire ?
pour la 1. il te suffit de faire apparaître g dans (E), pour cela je te conseille de calculer g' (en fonction de x, f et f').
J'arrive à (f+f')/x - (2x+f)/x = 8x² ...
Erreur du calcul ? Ou alors je ne vois pas comment continuer pour arriver au bon résultat.
comme je t'ai commence par calculer g'(x):
maintenant tu vas essayer de faire apparaître g et g' dans (E):
soit:
g'(x)=2g(x)+8
Ah oui ! Je me suis loupée dans la formule de la dérivée de g...
Il n'y a que ça à faire pour cette question alors ?
Et la 1)b/ est selon le principe non ?!
oui on peut faire la b. avec le même raisonnement, calculer f' et faire apparaître f et f' dans (E'), après avoir remplacé par h(x).
b/ j'ai réussi à la faire en m'aidant de ce que vous m'avez montré dans le premier !! Merci beaucoup !
2/Est-ce que ce que j'ai fait (cf : message initial) est bon ? Et que faut-il faire ensuite ?
une fois que tu as la solution de (E') (application directe du cours), tu te sers de ce que tu as démontrer à la question 1. pour trouver les solutions de (E).
si h est solution de (E') alors f(x)=xh(x) est solution de (E).
ce que j'essayais de te dire c'est que les solutions de (E) découlent de celles de (E'), c'était l'objet de la première question.
(E') c'est une équation que tu sais résoudre, et grâce aux solution de cette équation, tu trouves celles de (E).
appelle h les fonctions solution de (E'), et reporte toi à la première question pour trouver f, les solutions de (E) (je te rappelle que tu as démontré que f(x)=xh(x)).
y' = 2y + 8 donc l'ensemble des solution de (E') est l'ensemble des fonctions telles que
x -> Ke^(2x+8)
Donc l'ensemble des solutions de (E) est l'ensemble des fonctions telles que x-> Ke^(2x+8).
Mais alors là, j'vois pas vraiment ce que f(x) = xh(x) vient faire là-dedans !
y' = 2y + 8 donc l'ensemble des solution de (E') est l'ensemble des fonctions telles que
x -> Ke^(2x+8)
Donc l'ensemble des solutions de (E) est l'ensemble des fonctions telles que x-> Ke^(2x+8).
là tu donnes la même solution pour les deux équations...
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