Problème d'équation différentielle
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Problème d'équation différentielle
Posté le 02-12-08 à 22:26
Posté par 
deb753 deb753
On se propose de déterminer toutes les fonctions f définies et dérivables sur l'intervalle ]0;+infini[ vérifiant l'équation différentielle
(E) : xf'(x)-(2x+1)f(x) = 8x²
1)a/Démontrer que si f est solution de (E) alors la fonction g définie sur l'intervalle ]0,+infini[ par g(x)=f(x)/x est solution de l'équation différentielle (E') : y' = 2y+8.
Faut faire la double implication non ? Si c'est bien ça, je pense pouvoir y arriver.
b/ Démontrer que si h est solution de (E') alors la fonction f défini par f(x) = xh(x) est solution de (E).
Encore double implication, non ?
2)Résoudre (E') et en déduire les solutions de (E).
(E') : y'= 2y+2 donc l'ensemble des solutions de (E')est l'ensemble des fonctions telles que
x -> Ke^(2x+2).
Et ensuite ?!
3)Existe t-il une fonction f solution de l'équation différentielle (E) dont la représentation graphique dans un repère donné passe par le point A(ln2;0) ? Si oui la préciser.
Heu... Que faire ?
deb753 deb753On se propose de déterminer toutes les fonctions f définies et dérivables sur l'intervalle ]0;+infini[ vérifiant l'équation différentielle
(E) : xf'(x)-(2x+1)f(x) = 8x²
1)a/Démontrer que si f est solution de (E) alors la fonction g définie sur l'intervalle ]0,+infini[ par g(x)=f(x)/x est solution de l'équation différentielle (E') : y' = 2y+8.
Faut faire la double implication non ? Si c'est bien ça, je pense pouvoir y arriver.
b/ Démontrer que si h est solution de (E') alors la fonction f défini par f(x) = xh(x) est solution de (E).
Encore double implication, non ?
2)Résoudre (E') et en déduire les solutions de (E).
(E') : y'= 2y+2 donc l'ensemble des solutions de (E')est l'ensemble des fonctions telles que
x -> Ke^(2x+2).
Et ensuite ?!
3)Existe t-il une fonction f solution de l'équation différentielle (E) dont la représentation graphique dans un repère donné passe par le point A(ln2;0) ? Si oui la préciser.
Heu... Que faire ?
re : Problème d'équation différentielle Posté le 02-12-08 à 22:34
Posté le 02-12-08 à 22:34Posté par canto the king canto the king
pour la 1. il te suffit de faire apparaître g dans (E), pour cela je te conseille de calculer g' (en fonction de x, f et f').
canto the king canto the kingpour la 1. il te suffit de faire apparaître g dans (E), pour cela je te conseille de calculer g' (en fonction de x, f et f').
re : Problème d'équation différentielle Posté le 02-12-08 à 22:43
Posté le 02-12-08 à 22:43Posté par deb753 deb753
J'arrive à (f+f')/x - (2x+f)/x = 8x² ...
Erreur du calcul ? Ou alors je ne vois pas comment continuer pour arriver au bon résultat.
deb753 deb753J'arrive à (f+f')/x - (2x+f)/x = 8x² ...
Erreur du calcul ? Ou alors je ne vois pas comment continuer pour arriver au bon résultat.
re : Problème d'équation différentielle Posté le 02-12-08 à 22:49
Posté le 02-12-08 à 22:49Posté par canto the king canto the king
comme je t'ai commence par calculer g'(x):
=\frac{xf'(x)-f(x)}{x^{2}})
maintenant tu vas essayer de faire apparaître g et g' dans (E):
-(2x+1)f(x)=8x^{2})
-(2x+1)f(x)}{x^{2}}=8)
-f(x)}{x^{2}}-\frac{2xf(x)}{x^{2}}=8)
-f(x)}{x^{2}}=\frac{2f(x)}{x}+8)
soit:
g'(x)=2g(x)+8
canto the king canto the kingcomme je t'ai commence par calculer g'(x):
maintenant tu vas essayer de faire apparaître g et g' dans (E):
soit:
g'(x)=2g(x)+8
re : Problème d'équation différentielle Posté le 02-12-08 à 22:58
Posté le 02-12-08 à 22:58Posté par deb753 deb753
Ah oui ! Je me suis loupée dans la formule de la dérivée de g...
Il n'y a que ça à faire pour cette question alors ?
Et la 1)b/ est selon le principe non ?!
deb753 deb753Ah oui ! Je me suis loupée dans la formule de la dérivée de g...
Il n'y a que ça à faire pour cette question alors ?
Et la 1)b/ est selon le principe non ?!
re : Problème d'équation différentielle Posté le 02-12-08 à 23:04
Posté le 02-12-08 à 23:04Posté par canto the king canto the king
oui on peut faire la b. avec le même raisonnement, calculer f' et faire apparaître f et f' dans (E'), après avoir remplacé par h(x).
canto the king canto the kingoui on peut faire la b. avec le même raisonnement, calculer f' et faire apparaître f et f' dans (E'), après avoir remplacé par h(x).
re : Problème d'équation différentielle Posté le 03-12-08 à 15:45
Posté le 03-12-08 à 15:45Posté par deb753 deb753
b/ j'ai réussi à la faire en m'aidant de ce que vous m'avez montré dans le premier !! Merci beaucoup !
2/Est-ce que ce que j'ai fait (cf : message initial) est bon ? Et que faut-il faire ensuite ?
deb753 deb753b/ j'ai réussi à la faire en m'aidant de ce que vous m'avez montré dans le premier !! Merci beaucoup !
2/Est-ce que ce que j'ai fait (cf : message initial) est bon ? Et que faut-il faire ensuite ?
re : Problème d'équation différentielle Posté le 03-12-08 à 16:44
Posté le 03-12-08 à 16:44Posté par canto the king canto the king
une fois que tu as la solution de (E') (application directe du cours), tu te sers de ce que tu as démontrer à la question 1. pour trouver les solutions de (E).
si h est solution de (E') alors f(x)=xh(x) est solution de (E).
canto the king canto the kingune fois que tu as la solution de (E') (application directe du cours), tu te sers de ce que tu as démontrer à la question 1. pour trouver les solutions de (E).
si h est solution de (E') alors f(x)=xh(x) est solution de (E).
re : Problème d'équation différentielle Posté le 03-12-08 à 16:56
Posté le 03-12-08 à 16:56Posté par canto the king canto the king
ce que j'essayais de te dire c'est que les solutions de (E) découlent de celles de (E'), c'était l'objet de la première question.
(E') c'est une équation que tu sais résoudre, et grâce aux solution de cette équation, tu trouves celles de (E).
appelle h les fonctions solution de (E'), et reporte toi à la première question pour trouver f, les solutions de (E) (je te rappelle que tu as démontré que f(x)=xh(x)).
canto the king canto the kingce que j'essayais de te dire c'est que les solutions de (E) découlent de celles de (E'), c'était l'objet de la première question.
(E') c'est une équation que tu sais résoudre, et grâce aux solution de cette équation, tu trouves celles de (E).
appelle h les fonctions solution de (E'), et reporte toi à la première question pour trouver f, les solutions de (E) (je te rappelle que tu as démontré que f(x)=xh(x)).
re : Problème d'équation différentielle Posté le 03-12-08 à 17:18
Posté le 03-12-08 à 17:18Posté par deb753 deb753
y' = 2y + 8 donc l'ensemble des solution de (E') est l'ensemble des fonctions telles que
x -> Ke^(2x+8)
Donc l'ensemble des solutions de (E) est l'ensemble des fonctions telles que x-> Ke^(2x+8).
Mais alors là, j'vois pas vraiment ce que f(x) = xh(x) vient faire là-dedans !
deb753 deb753y' = 2y + 8 donc l'ensemble des solution de (E') est l'ensemble des fonctions telles que
x -> Ke^(2x+8)
Donc l'ensemble des solutions de (E) est l'ensemble des fonctions telles que x-> Ke^(2x+8).
Mais alors là, j'vois pas vraiment ce que f(x) = xh(x) vient faire là-dedans !
re : Problème d'équation différentielle Posté le 03-12-08 à 17:24
Posté le 03-12-08 à 17:24Posté par canto the king canto the king
là tu donnes la même solution pour les deux équations...
canto the king canto the kingCitation :
y' = 2y + 8 donc l'ensemble des solution de (E') est l'ensemble des fonctions telles que
x -> Ke^(2x+8)
Donc l'ensemble des solutions de (E) est l'ensemble des fonctions telles que x-> Ke^(2x+8).
y' = 2y + 8 donc l'ensemble des solution de (E') est l'ensemble des fonctions telles que
x -> Ke^(2x+8)
Donc l'ensemble des solutions de (E) est l'ensemble des fonctions telles que x-> Ke^(2x+8).
là tu donnes la même solution pour les deux équations...
re : Problème d'équation différentielle Posté le 03-12-08 à 17:33
Posté le 03-12-08 à 17:33Posté par deb753 deb753
Bon j'vais essayer de voir avec f(x) = xh(x) en reprenant mon cours mais je ne suis pas sûr d'avoir bien compris...
L'ensemble des solutions de (E) est de la forme x -> f(x)/x + Ke^(2x+8) ??
Mais je ne connais pas f(x)/x ...
deb753 deb753Bon j'vais essayer de voir avec f(x) = xh(x) en reprenant mon cours mais je ne suis pas sûr d'avoir bien compris...
L'ensemble des solutions de (E) est de la forme x -> f(x)/x + Ke^(2x+8) ??
Mais je ne connais pas f(x)/x ...
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