Aire d'une partie hachurée d'un cercle

Posté par toupie37 toupie37

Bonsoir, Je sais qu'il est tard mais j'essaye jusqu'au dernier moment. Alors voilà je n'y arrive pas toute seule, ça me pose beaucoup problème. Pourriez vous m'aidez s'il vous plait.

Soit AB un segment de longueur 10 cm et C est un point de AB tel que AC=x.
On considère d'un même coté de la droite (AB) les demis-cercles de diamètres AB, AC et CB.
On note S(x) l'aire de la partie hachurée.

1)Déterminer S(x) et l'ensemble D_S.
2) Existe-t-il une valeur de x pour laquelle S(x) est maximale? Justifier.

J'ai trouvé S(x)= (pie(10-x))/(4). Deja je ne sais pas si c'est ça, mais surtout je ne comprend qu'est ce qu'il faut expliquer concernant l'ensemble D_S.
J'ai écrit que la perpendiculaire à AB au point C coupe le grand demi-cercle en un point D. L'aire calculée précedemment correspond alors à l'aire du cercle de diamètre CD.

Après je dois me servir de f(x)=10x-x², non?
C'est une fonction trinome mais je ne vois pas comment faire en sachant ça pour trouver son maximum. Voila j'espère que vous pourrez m'aider.

Posté par toupie37 toupie37

Je précise que j'ai un peu inventé mon point D. Il n'est pas dessiné sur mon polycopié.

Posté par gaa gaa

bonjour,
tu parles de surfce hachurée mais sans schéma annexé.
Il faut que tu nous décrives la partie hachurée.
ce qui est étonnant, c'est que tu puisses trouver ne aire sans qu'il y ait des termes en x²....???

Posté par toupie37 toupie37

Oui je suis désolée.
Cette surface hachurée correspond au demi-cercle de diamètre AB où on enlève à cette surface le demi cercle de diamètre AC et le demi-cercle de diamètre CB.
Oui, je pense que je me suis trompée.

Posté par darialine darialine

Bonjour,
j'essaie de te répondre.

Pour moi tu as commis une petite erreur, tu as simplifié un x de trop, le résultat que je trouve pour S(x) est :
S(x) = (pi / 4) * (10x - x²)

Pour Ds je pense qu'ils demandent le domaine de définition de S, non ? je dirais que c'est l'intervalle [0,10], du coup...

Ensuite pour trouver la valeur maximale il suffit de dériver et de trouver la valeur de x quand la dérivée S'(x) s'annule.

Posté par toupie37 toupie37

Est ce que tu peux me détailler ton calcul que je retrouve mon erreur, car je retombe toujours sur mon meme résultat.

Oui je crois que c'est bien ça pour DS, il faut définir l'ensemble de définition. Ah moi j'aurais dit défini sur car il n'y a pas de valeurs interdites. Enfin je ne sais pas.

Posté par toupie37 toupie37

Ah ça y est je pense avoir trouvé le bon résultat, celui que tu as trouvé.
L'aire d'un demi-cercle est (pie*R²)/(4)= (pie*D²)/(8)
Enfin je ne vois pas comment on peut dévelloper en passant du rayon au diamètre??
Donc S(x)= (pie(AB²-AC²-CB²))/(8)
=(pie(10²-x²-(10-x)²))/(8)
=(pie(-2x²+20x))/(8)
=(pie)/(4)*(10x-x²)

Tu crois que je peut dire que S est définie sur ?
Encore une question je dérive donc uniquement la fonction 10x-x², non? Sinon je ne vois pas comment je peux dériver la fonction avec (pie)/(4)...
Donc je calcule S'(x)= -2x+10 (dérivée de S(x)= 10x-x²)==> je peux laisser tomber comme ça mon (pie)/(4)?

Posté par darialine darialine

Pour le calcul de S(x), j'ai commencé par calculer l'aire de chacun des 3 demi-cercles :

Aire du demi-cercle basé sur AB :
(1/2)*pi*(AB/2)² = (1/2)*pi*25 = pi*25/2

Aire du demi-cercle basé sur AC :
(1/2)*pi*(AC/2)² = (1/2)*pi*(x/2)² = (1/2)*pi*(x²/4) = pi*x²/8

Aire du demi-cercle basé sur AC :
(1/2)*pi*(CB/2)² = (1/2)*pi*((10-x)/2)²
                 = (1/2)*pi*(10-x)²/4
                 = (1/8)*pi*(10² - 20x + x²)

Donc S(x) :
S(x) = pi*25/2 - (pi*x²/8) - ((1/8)*pi*(10² - 20x + x²))
je factorise par pi :
     = pi*[25/2 - x²/8 - 10²/8 + 20x/8 - x²/8]
je factorise par 1/8 :
     = (pi/8)*[100 - x² - 100 + 20x - x²]
     = (pi/8)*(20x - x²)
     = (pi/4)*(10x - x²)

Enfin, pour le domaine de définition Ds... je reste sur mon segment [0,10], je trouve que ça n'a pas beaucoup de sens de mettre le point C à l'extérieur du segment AB.. ça fait une aire négative (bon, ok, les mathématiciens ne sont pas à ça près ... )

Posté par darialine darialine

Ah très bien tu as trouvé la même chose. (mais attention l'aire d'un 1/2 cercle est pi*r²/2 (pas sur 4 comme tu l'as écrit), ce qui fait bien pi*d²/8)

Pour dériver avec pi/4 ben... ça ne pose aucun problème, c'est une simple constante mais puisque tu n'as besoin que du signe de la dérivée, dériver 10x - x² donne le même résultat.
Ta dérivée S'(x) = (pi/4)*(-2x + 10)
Après tu cherches x tel que -2x + 10 = 0

Posté par toupie37 toupie37

Oui j'ai mal recopié désolé. C'est bon, pas d'erreurs alors finalement. Et on peut écrire comme ça, qu'on passe du rayon au diamètre, c'est à dire de la formule pi*R²/2 à la formule pi*D²/8?

Daccord merci, c'est vrai que c'est mieux que de balancer une formule avec le diamètre et de devoir simplifier ensuite.

Pour D_Sje comprend ce que tu veux dire.

Ok merci je vais chercher alors mais je suis pas sur d'avoir bien saisi, enfin on verra.

Posté par toupie37 toupie37

Donc avec -2x+10=0, x=5.
Donc on dit que lorsque x=5 S(x) est maximale? Ou il faut remplacer x par sa valeur, c'est à dire 5, dans l'expression de la dérivée S'(x)?

Posté par darialine darialine

Oui, tu dis que lorsque x=5, S(x) est maximale, et c'est bien de donner la valeur de S(5).
(tu as écrit "il faut remplacer x par sa valeur, c'est à dire 5, dans l'expression de la dérivée S'(x)?", mais dans la dérivée si tu remplaces x par 5, tu trouves 0, c'est de là qu'on vient...)

Tu calcules S(5) = (pi/4)*(10*5 - 5²)
                 = pi*25/4
(si tu veux frimer tu peux même faire remarquer que c'est la moitié de l'aire du grand demi-cercle basé sur AB)

Sinon, je pense qu'il faut montrer que S(5) est bien un maximum :
en effet, la dérivée s'annule en 5, ok, ce qui veut dire que ce point est soit un maximum, soit un minimum !
(pour montrer ça très simplement, je pense que tu peux juste calculer S(3) et S(7) par exemple et montrer que c'est plus petit que S(5)).

Posté par toupie37 toupie37

Ah ok génial.
Je vais calculer S(5) et comparer avec S(7) alors. Je rajouterai peut être cette histoire moitié de l'aire du grand demi-cercle basé sur AB
Merci beaucoup en tout cas.