Diagonalisation par blocs

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Diagonalisation par blocs

Posté le 03-12-08 à 00:43

Posté par matix

Bonsoir,

Je cherche à trouver une matrice semblable à A, qui soit diagonale par blocs, avec des blocs triangulaires supérieurs.

$A= \begin{pmatrix} \\ 2 & 0 & 0 & 1\\ \\ 0 & 2 & 0 & 1\\ \\ 0 & -1 & 3 & 1\\ \\ 0 & -1 & 1 & 3 \\ \end{pmatrix}$

Voici comment j'ai procédé:

On a $P_A(X)=(2-X)^2(3-X)^2$ .
De plus, par le lemme des noyaux, on trouve que $\mathbb{R}^4 = Ker(A-2I_4)^2 \bigoplus Ker(A-3I_4)^2$ .

Ensuite, je trouve que $E_2$ , le sous-espace propre associé à la valeur propre $2$ , est égal à $Vect\{(1,0,0,0),(0,1,1,0)\}$ , et puisque $dim \, E_2 = m_2 = 2$ , alors $E_2 = N_2$ ( $N_2$ étant le sous-espace caractéristique de la valeur propre $2$ ).
De même, je trouve $E_3 = Vect\{(1,1,1,1)\}$ , et $N_3 = Vect\{(1,1,0,0),(0,0,1,1)\}$ .

Ceci étant fait, je montre, sauf erreur, qu'on a, en appelant $V_1 = (1,0,0,0)$ , $V_2=(0,1,1,0)$ , $V_3 = (1,1,0,0)$ et $V_4=(0,0,1,1)$ :

$AV_1= 2V_1$ , $AV_2 = 2V_2$ , $AV_3=2V_3 - V_4$ et $AV_4 = V_3 + 4V_4$ .

Donc, il me semble qu'à partir de là, on peut établir que $A'= \begin{pmatrix} \\ 2 & 0 & 0 & 0\\ \\ 0 & 2 & 0 & 0\\ \\ 0 & 0 & 2 & 1\\ \\ 0 & 0 & -1 & 4 \\ \end{pmatrix}$

On a bien une matrice par blocs, mais à priori, ce ne doit pas être ça, puisque d'une part, les blocs ne sont pas triangulaires supérieurs, et surtout, on ne retrouve pas les valeurs propres $2$ et $3$ sur la diagonale! En effet, il me semble que l'on devrait retrouver deux fois $2$ et deux fois $3$ .

Qu'en pensez-vous? J'ai pourtant refait mes calculs, et je retrouve toujours les mêmes résultats. Où est le problème? On a pourtant bien $(V_1,V_2)$ qui est une base de $N_2$ et $(V_3,V_4)$ qui est une base de $N_3$ .

Merci d'avance!

re : Diagonalisation par blocs

Posté le 03-12-08 à 14:29

Posté par Camélia

Bonjour

je n'ai pas refait tes calculs, mais ils sont probablement vrais (la petite matrice en bas à gauche a bien 3 valeur propre double). Simplement n'importe quelle base de N₃ ne convient pas!

Cherche une base de N₃ formeée d'un vecteur propre et de l'un de ses antécédents. Pour plus amples informations regarde ici:

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