Enigmo 76 : A la recherche d'impair

Posté par kurtgodel kurtgodel

Bonjour.

Après maints essais, je conclus problème impossible.

Posté par Jau Jau

J'ose le dire, on trouve toujours un chiffre pair.

Jau.

Posté par programaths programaths

Ce n'est pas possible !
En effet, le problème se résume à déterminer le plus petit chiffre non nul de :
n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)(n+5)(n+6)(n+7)(n+8)(n+9) soit :


Prouver que le dernier chiffre est TOUJOURS pair ou nul est trivial.
Pour n>0
Pour n>0
D'autre part :



De plus :



(P est absorbant)

La premiere expression se résume donc en :

Ou

Soit, le chiffre des unités et toujours PAIR ou NUL
Pour le chiffre des dizaines celà se corse, cepandant, il ne faut en vérifier que 20, puisque la séquence formée par la suite des chiffres des dizaines de la somme des produit de 10 nombres consécutif se répète.

Celà vient du fait que le chiffre des unité de la suite des nombres formés par l'élévation à la nème puissance d'un nombre se répète tout les 10 termes !

On peut le prouver facilement :
Le chiffre des unité d'un produit est donnée par le produit des termes :
17*26=10*X+(6*7)=10*X+2
En effet : 17*46=7*6+10*26+20*17...

Pour le chiffre des dizaines, la séquence se répète tout les 20 termes.
Pour celui des centaine tous les 40 termes. etc.

Pour moi, il n'y a pas de plus petits entiers possible satisfaisant l'énnoncé : le chiffre le plus a droite non nul est un nombre pair !

Posté par keriatsu keriatsu

Ca finira toujours par un chiffre paire et même par un zéro.

Posté par jamo jamo

Clôture de l'énigme

La bonne solution consistait bien à prendre la suite de 10 nombres qui commence par 78117 et qui finit par 78126.

Je vais vous laisser lire les différentes explications qui ont été données par ceux qui ont trouvé, je ne ferais pas mieux.

Mais le principe consistait à dire que le produit de 10 nombres consécutifs est divisible par 2⁸, ce qui explique l'apparition de 78125 qui est égal à 5⁷ … bon je vous laisse lire la suite, ce n'est pas si difficile que ça à comprendre.

Beaucoup ont répondu : 51*52*53*...*60. A mon avis, ils ont pris Excel pour faire le calcul, mais cela dépassait sa précision et le résultat qu'il affiche est tronqué !

Sinon, pas mal ont fourni de magnifiques explications et même des démonstrations pour dire qu'on trouvait toujours un nombre pair !
J'invite ceux-là à revoir leurs démonstrations qui doivent être forcément fausses.

Posté par lo5707 lo5707

jolie énigme, je n'aurais pas su trouver...

par contre j'ai du mal à comprendre le calcul 51*52*53*54*55*56*57*58*59*60=273589847231501000

Excel donne : 2,7359E+17
La calculatrice Windows donne le bon résultat
...
273589847231500800
273589847231501000
En plus, il y a le même nombre de chiffres donc ce n'est pas une question d'arrondi

Posté par jamo jamo

C'est une question de précision.

A mon avis, Excel ne travaille qu'avec 15 chiffres significatifs, donc il ne "voit pas" le 8 qui est en 16ème position et arrondit à la valeur au-dessus.

Posté par programaths programaths

Dans mon cas, j'ai été trop fénéant que pour continuer la "démonstration" et j'ai considéré que la réponse était "impossible".
C'est celà la partie fausse de la démonstration...

Posté par castoriginal castoriginal

La solution est:

51,52,53,54,55,56,57,58,59,60 qui donne un produit de
    273589847231501000
Le premier chiffre non-nul à droite est le 1,impair
Bien à vous

Posté par utrooney utrooney

de 13 a 22

Posté par Francois86 Francois86

Désolé d'insister, mais 15625 est plus petit que 78117 et répond à la question. Revoir mon raisonnement plus haut pour les détails, et une bonne calculatrice (ou à la main ?!) pour en etre convaincu.

Posté par Francois86 Francois86

Y'a meme plus petit, de 15616 à 15625.

Posté par lo5707 lo5707

Francois86:
de 15616 à 15625, ca fait 864866824896136761034196910345838080000000
de 15625 à 15634, ca fait 869862832804312933000102940619286920000000

Posté par lo5707 lo5707

Question d'arrondis...

Posté par Francois86 Francois86

Bon et ben désolé, si on peut plus faire confiance à maple....

Posté par lo5707 lo5707

Voici l'adresse d'un site que jamo nous avait donnée, qui permet de faire toutes sortes de calculs assez importants:
->

Posté par Kasumi Kasumi

je survolais des yeux toutes les énigmes incompréhensibles présentent sur ce site quand mes yeux s'arrêtèrent sur celle là.
le nombre 66 m'est passée par la tête, je me suis dis pourquoi pas:
66x67x68x69x70x71x72x73x74x75 et comme résultat j'ai:3.008025199x10 puissance 18
est-ce une bonne réponse ?
si elle l'est je suis vraiment fière de moi !!

Posté par jamo jamo

Kasumi >> non, ce n'est pas une bonne réponse, car la calculatrice (ou le logiciel) que tu as utilisé n'affiche pas tous les chiffres, c'est la même erreur que beaucoup avait faite.

Posté par Kasumi Kasumi

moi qui avait un espoir d'être intelligente lol

Posté par Albertus Albertus

Bonjour,
Pourquoi avoir éliminé les candidats qui proposaient la suite commencant par 51?
merci a vous de bien vouloir me répondre

Posté par jamo jamo

Parce que les calculatrices n'affichent qu'une dizaine de chiffres, et qu'il y en a encore d'autres derrière, tout simplement.

Posté par Lepat5 Lepat5

Bonjour,

Soit je n'ai pas bien compris le problème, soit les réponses données ne sont pas satisfaisantes.
Pour moi, il s'agit de chercher dix nombres entiers consécutifs tel que le premier chiffre non nul par la droite de leur produit soit impair.
J'ai trouvé que :
51 x 52 x 53 x ... x 60 = 273 589 847 231 501 000

Si je n'ai pas commis d'erreur le 1er chiffre en question est 1 et est impair!

Merci de me donner votre avis.
@+
P.

Posté par jamo jamo

En quelques jours, 3 personnes viennent déterrer ce sujet en donnant un exemple faux.

Les explications ont déjà été données plusieurs fois, je dois visiblement mal m'exprimer, j'abandonne ...