Enigmo 76 : A la recherche d'impair

Posté par jamo jamo

Bonjour,

Bon, je sais que ce n'est pas bien de dévoiler la fin d'un film ... mais c'est à ce moment-là qu'il apprend que c'est son père ! (désolé, je manquais d'inspiration pour une image qui aille avec le titre)

Voilà le problème du jour.

Je prends 10 entiers consécutifs, par exemple de 3 à 12, et je les multiplie entre eux :



Je trouve que le premier chiffre non-nul par la droite est un 8, qui est pair.

Recommençons avec une autre suite, par exemple de 22 à 31 :



Le premier chiffre non-nul par la droite est un 2 : encore pair.

J'ai recommencé cette expérience avec pas mal de nombres entiers, et je trouve toujours que le premier chiffre non-nul à droite est pair.

Question : trouver la suite de 10 entiers positifs consécutifs les plus petits possibles, de telle sorte que le premier chiffre non-nul par la droite soit impair.

Si vous pensez qu'on trouve toujours un chiffre pair, alors oser le dire !

Et si vous avez une explication ou démonstration pour justifier votre réponse, ne vous privez pas de nous la faire connaitre (mais cela est facultatif).

Bonne recherche !

Posté par akub-bkub akub-bkub

Bonjour à tous,

Je croyais que c'était sa soeur...?!? Enfin bref.

Je trouve : 51*52*53*54*55*56*57*58*59 = 273589847231501000

Merci pour l'énigme. A+

Posté par akub-bkub akub-bkub

Oups j'ai oublié *60

Posté par 1emeu 1emeu

Bonsoir,

voici ma proposition :
78117,78118,78119,78120,78121,78122,78123,78124,78125,78126.

Merci pour l'énigme

1emeu

Posté par lo5707 lo5707

Bonjour,

J'ose dire que le problème est impossible.
On trouvera toujours un chiffre pair.


Merci pour l'énigme.

Posté par boby6 boby6

On obtiendras toujours un chiffre pair !

Explication :
Parmi les 10 nombres consécutifs, on trouveras nécessairement : un multiple de 2, de 3, de 4, .... de 10.
Il en résulte que leur produit sera nécessairement un multiple du produit de 2, 3, 4, ..., 10 c'est-à-dire un multiple de 3628800.
Ainsi, le produit sera de la forme 3628800*k avec k entier;
Il suffit maintenant de s'attarder sur la table de 8 pour trouver le dernier chiffre non nul (dcnn).
Si k finit par 1, le dcnn sera 8.(1*8=8)
Si k finit par 2, le dcnn sera 6.(2*8=16)
Si k finit par 3, le dcnn sera 4.(3*8=24)
Si k finit par 4, le dcnn sera 2.(4*8=32)
Si k finit par 6, le dcnn sera 8.(6*8=48)
Si k finit par 7, le dcnn sera 6.(7*8=56)
Si k finit par 8, le dcnn sera 4.(8*8=64)
Si k finit par 9, le dcnn sera 2.(9*8=72)

Il reste alors deux cas :
Si k finit par 0, il faut s'intéresser à l'avant dernier chiffre de k, et on se retrouve dans les cas précédents.
Si k finit par 5, on s'intéresse à l'avant dernier chiffre noté n de k, et le dcnn sera alors la somme de 4 (5*8=40) et du dcnn obtenu dans les cas précédents en remplaçant k par n ! Dans tous les cas, cette somme sera paire......

Voilà, je suis pas sûr d'avoir été clair et rigoureux, mais c'est ma réponse !

Posté par Francois86 Francois86

Parmi 10 nombres consécutifs, il y a toujours 5 pairs et 2 multiples de 5.
Parmi les pairs y'en a qui sont multiple de 4, de 6 et de 8...

Donc la décomposition en facteurs premiers du gros nombre n(n+1)(n+2)...(n+9) utilise beaucoup de puissances de 2, et peu de puissances de 5.
Il faut qu'il y ait autant de puissances de 5 que de puissance de 2, ce qui correspondra aux 0 à la fin du nombre, et s'il ne reste plus de puissance de 2 disponible, le chiffre d'avant sera impair.
Il faut donc essayer les puissances de 5.

Le plus petit n possible répondant à la question est 15625 = 5^6
le produit est : 869862832804313000000000000000000000000000
Avec un "3" comme premier chiffre non nul en partant de la droite.

Posté par matovitch matovitch

Bonjour à tous !

Il me semble que cette énigme n'a pas de solution, car le nombre obtenu est divisible par 5²*2⁵=800.

MV

Posté par Daniel62 Daniel62

Bonjour Jamo,

le dernier chiffre non-nul est toujours un chiffre pair

la suite est un multiple de 2⁵.3³.5².7 = 151200

facile à prouver
si n est pair, n+2 l'est aussi ainsi que n+4,n+6,n+8
si n+1 est pair, n+3 l'est aussi ainsi que n+5,n+7,n+9

si n est divisible par 3, n+3,n+6,n+9 l'est aussi
si n+1 est divisible par 3, n+4,n+7 l'est aussi
si n+2 est divisible par 3, n+5,n+8 l'est aussi

etc..

le dernier chiffre non-nul ne peut être que 2,4,6,8

note: si n est le premier entier:

Posté par Nofutur2 Nofutur2

Chaque groupe de 10 nombres consécutifs comporte a minima : 3 multiples de 2, 2 multiples de 4 et 1 multiple de 8. Leur produit est donc multiple de 2⁸ a minima.
Chaque groupe de 10 nombres consécutifs comporte a minima : 2 multiples de 5. Pour annuler les 2 précédents par des 0, la suite doit être multiple de 5⁸, soit 5 et 5⁷=78125.
Il suffit de trouver une suite de 10 nombres englobant 78125 avec 3 multiples de 2, 2 multiples de 4 et 1 multiple de 8.
La suite de nombre 78117-78118-78119-...-78126 vérfie cette propriété et les nombres la constituant sont les plus petits possibles (du moins je crois).

Posté par rogerd rogerd

Bonsoir Jamo!
Merci pour cette énigme qu'on doit pouvoir résoudre par le raisonnement.
Pressé d'aller au dodo, j'ai préféré faire cela avec un petit programme maple.
Mais, c'est promis, dès demain je me mets à chercher une solution "raisonnée".
Pour l'instant, mon programme trouve que

le plus petit nombre demandé est 78117

Le produit des entiers de 78117 à 78126 se termine par un 9 suivi de huit zéros.

Posté par Youpi Youpi

la suite de 10 entiers positifs consécutifs les plus petits possibles, de telle sorte que le premier chiffre non-nul par la droite soit impair est:
51*52*53*54*55*56*57*58*59*60=273589847231501000

J'hésite car il y a 3 étoiles et je vois pas trop la difficulté (résolu en quelques secondes avec Excel)...encore un poisson en perspective ???

Posté par yoyodada yoyodada

Salut jamo,

on ne trouve que des pairs selon moi

Posté par Nyavlys Nyavlys

Problème impossible !
J'en suis convaincu mais incapable de le justifier

Posté par link224 link224

Salut jamo!

Alors le premier chiffre non nul en partant de la droite sera toujours pair (on peut en effet écrire la multiplication comme le produit de 100 (10x2x5) par un nombre pair (produit de 5 ou 6 facteurs impairs par 3 ou 4 facteurs pairs)).

@+ et merci pour l'énigme

Posté par gloubi gloubi

Bonjour,

Le produit de 10 entiers consécutifs est multiple de 10! (3 628 800),

Posté par gloubi gloubi

Zut, trompé de bouton.

Juste pour dire que le dernier chiffre non nul du produit de 10 nombres consécutifs est toujours pair.

gloubi.

Mais je n'en suis pas sûr du tout. J'étais loin de m' apprêter à poster !

Posté par rogerd rogerd

Bonjour à toutes et à tous.

En essayant d'oublier la solution obtenue par programmation, j'ai trouvé ce qui suit:

Dans une suite de 10 entiers consécutifs, il y a au moins un multiple de 8 et encore un autre multiple de 4 et encore trois multiples de 2.
Le produit N de ces 10 nombres est donc divisible par 2^8. Si ce produit est  divisible par 10^q avec q<8, il est aussi divisible par 2.10^q. Le q+1 eme chiffre à partir de la droite est donc pair . S'il est non nul, c.a.d. si N n'est pas divisible par 10^(q+1), ce nombre N ne nous intéresse pas.

Nous ne nous intéressons donc qu'aux suites telles que leur produit N soit divisible par 10^8.

Une telle suite contient deux multiples de 5. Si celui où 5 figure avec l'exposant maximal est de la forme b.5^q avec b non multiple de 5, l'autre est de la forme b.5^q + ou -5. Il n'est pas divisible par 25. L'autre doit donc être de la forme b.5^q avec q>=7.

La suite doit donc contenir un terme de la forme b.5^7=b.78125.

On cherche celle qui commence par le nombre le plus petit possible. On ne peut espérer mieux que celle qui commence par 1.78125-9 = 78116. Malheureusement, cette suite contient trois multiples de 4 et donne donc un produit divisible par 2^9.

On se rabat donc sur la suite commençant par 1.78125-8=78117 et
CELLE - CI CONVIENT.

Posté par Eric1 Eric1

allons, il n'existe pas de suites avec un chiffre impair en dernier

Posté par totti1000 totti1000

Bonjour Jamo, merci pour cette énigme,
je propose :
78117*78118*78119*78120*78121*78122*78123*78124*78125*78126
=8466535472635609758623586533222693974221900000000

Posté par Rodrigo Rodrigo

Bonjour
il suffit de prendre un premier n qui ait une valuation 5 adique enorme.
Par exemple si tu prends n=5^{11}, alors le produit des n+i de i=0 a 9 se termine par 5 suivi de 10 zeros.

Posté par Rodrigo Rodrigo

Peut etre devrais je un peu expliciter pourquoi un tel choix. il est assez facile de se rendre compte que la question revient a se demander si l'on peut dans le produit de 10 entiers consécutifs avoir une valuation 5-adique strictement superieure a une valuation dyadique. Donc on veut une tres grosse valuation 5-adique et un petit dyadique pour avoir un contre exemple la valuation dyaidqe vient du fait qu'il y aura 5 pairs parmi dix entiers onsecutif. Donc une valuation d'au moins 5. Si n est assez grand on peut esperer pas beaucoup plus que 5 (parce que si n eest grand alors our augmenter la valuation dyadique de n il faut passer de 2^k a 2^{k+1} et pour n grand donc 2^k grand...ben en ajoutant juste i pour i<10 on ne rencontrera qu'un seul des 2^k et 2^k+1 voir meme aucun). Par contre il n'y a que deux termes qui apportnent du 5 addique. Mais on peut en prendre un avec une valuation enorme... D'ou le choix de grosse puissance de 5 pour n

Posté par jandri jandri

La plus petite suite qui convient est formée des entiers de 78117 à 78126.

Voici une démonstration:
on recherche le plus petit n tel que f(n)=n(n+1)...(n+9) s'écrive 10^a(2b+1), c'est-à-dire v₂(f(n)) v₅(f(n)) en notant v_p(n) l'exposant de p dans la décomposition de n en facteurs premiers.
f(n) est divisible par 2⁸ car entre n et n+9 il y a 5 nombres pairs, au moins deux multiples de 4 et un multiple de 8.
f(n) doit donc être divisible par 5⁸, donc l'un dix des entiers doit être divisible par 5⁷.
La première valeur de n à essayer est donc n=5⁷-9; elle ne convient pas car f(n) est alors divisible par 2⁹ (4 divise n, n+4 et n+8).
La suivante n=5⁷-8=78117 convient: f(n)=8466535472635609758623586533222693974221900000000.

Posté par plumemeteore plumemeteore

bonjour Jamo
78117 * 78118 * 781119 * 78120 * 78121 * 78122 * 78123 * 78124 * 78125 * 78126
dans le produit, il doit y avoir autant de facteurs 5 que de facteurs 2
dans un produit de 10 nombres consécutifs, il y a au moins huit facteurs 2, (un nombre divisible par 8, un autre divisible par 4, trois autres divisibles par 2); il y en a huit exactement, si le premier ni le dernier nombre pair de la liste n'est divisible par 4 et si aucun nombre n'est divisible par 16
il y a deux nombres divisible par 5, dont au moins un n'est pas divisible par 25; la solution doit donc comprendre un nombre au moins divisible par 5 exposant 7
ma solution répond à ces exigences

j'estime que ce problème devrait céder sa troisième étoile à une des énigmes précédentes (celle des âges ou celle du 'pacman')

en Belgique, on ne comprendrait pas le jeu de mots; nous distinguons correctement les prononciations de 'in' et de 'un'

Posté par ludobm ludobm

on trouve toujours des chiffres pairs

Posté par veleda veleda

bonjour jamo
je pose p on a donc

on cherche  (s'il existe )le plus petit entier n tel que avec nombre impair
on doit donc avoir avec impair
on en déduit
a) p8
b)l'exposant de 5 dans la décomposition en facteurs premiers de doit être à celui de 2 donc à 8
dans une suite de dix entiers consécutifs il y a deux multiples de 5 l'un se termine par O et l'autre par 5 donc l'un est de la forme et l'autre donc la puissance de 5 dans la décomposition    de en facteurs premiers est( sauf cas
particuliers avec r=1)
aprés avoir éliminé il me semble que la suite suivante qui contient convient
avec impair donc est bien impair
si ce n'est pas" la plus petite"ce n'est pas grave c'est avec plaisir que j'ai cherché cet exercice
merci

Posté par torio torio

Les nombres :
1)    78117
2)    78118
3)    78119
4)    78120
5)    78121
6)    78122
7)    78123
8)    78124
9)    78125
10)   78126

Pour un produit :

8466535472635609758623586533222693974221900000000





Justification :

Sur 10 nombres consécutifs, il y en a 5 qui sont pairs.
parmi ceux-ci au moins deux multiples de 4
et parmi ces derniers au moins un multiple de 8.

ce qui amène au minimum 3 + 2 + 1 + 1 + 1 = 8 puissances de deux dans la décomposition
du résultat final.
il faut alors trouver 8 puissances de 5 qui vont absorber ces facteurs 2.
(Absorber = transformer en ZERO)

5^7 = 78125
et l'autre multiple de 5 (78120)  amènent ces puissances.

Posté par dpi dpi

Nous ferons simplement une constatation qu'une suite de dix nombres entiers se termine par tous les chiffres de  1 à 9 plus un  0.
on constate aussi que 4 x 5 donnera toujours un 0 et que la multiplication des derniers autre chiffres peut se décomposer en 2 x3 =6 6x7=42 8x9 =72 donc nous aurons en derniers chiffres au moins 00 mais juste avant nous retrouverons toujours les derniers chiffres des multiplication (autres que par 0, 4 ou 5) qui ne sont jamais impairs puisque il y aura en multiplicateur 2 6 et 8

Posté par Corrhan Corrhan

Soit X le résultat de la multiplication des 10 nombres de la suite.
Soit N le premier nombre de cette suite.

X s'exprime avec 10 ensembles fonction de N tel que:

X = N x (N+1) x (N+2) x (N+3) x (N+4) x (N+5) x (N+6) x (N+7) x (N+8) x (N+9)

De cette manière, il y'a toujours au moins un ensemble Pair.

Donc si un ensemble est pair alors le résultat X sera pair.

Il n'existe donc pas de suite de 10 entiers consécutifs tel que X soit impair.

Posté par n0un0urs_76 n0un0urs_76

il y aura toujours un chiffre pair en premier. =P . J'ai oser .

Posté par Daniel62 Daniel62

Bonjour Jamo,

J'avais expliqué dans mon message précédent que S_n était un multiple de 151200

c'est vrai S_n est bien un multiple de 151200, je peux même dire que c'est un multiple de 3628800 donc de S₁:
   S_n = S₁*k

mais ça ne prouve rien, on peut très bien se retrouver avec un nombre impair:
   151200 * 125 = 18900000
   3628800 * 15625 = 5670000000

ce qui gêne ce sont les zéros de la fin, faudrait pouvoir les enlever
or on connait ce nombre de zéros, il est lié à la puissance de 5 dans la décomposition en facteur:

  151200 = 2⁵*3³*5²*7¹
il y a 2 zéros à la fin parce que la puissance de 5 est 2
et 2²*5² = 100, ce sont les deux zéros de la fin
il reste 151200/100 = 2³*3³*7¹ = 1512

  3628800 = 2⁸*3⁴*5²*7¹
il y a 2 zéros à la fin parce que la puissance de 5 est 2
et 2²*5² = 100, ce sont les deux zéros de la fin
il reste 3628800/100 = 2⁶*3³*7¹ = 36288

il faut autant de 2 que de 5 pour faire les zéros à la fin
comme il y a plus de 2 que de 5, il restera toujours des 2, même après avoir enlevé les zéros de la fin.
donc S_n éliminé des zéros de la fin sera toujours un nombre pair.

exemple:
S₂₈₅ = 4133061898279540632806400
S₂₈₅ = 2¹⁰*3⁵*5²*7³*11*13*17²*19*29*41*73*97*293
S₂₈₅/100 = 2⁸*3⁵*7³*11*13*17²*19*29*41*73*97*293
S₂₈₅/100 est bien un multiple de 2
et ce sera vrai pour tous les S_n

Posté par Daniel62 Daniel62

"il y a plus de 2 que de 5"

je voulais le prouver de façon plus rigoureuse

c'est fait:

S₃₉₀₆₂₅:
= 390625×390626×390627×390628×390629×390630×390631×390632×390633×390634
= 82727590847600438131421503402203857016720058735500000000

Bonjour le poisson !

Posté par sanantonio312 sanantonio312

Bonjour,
J'ose le dire: à mon avis, le résultat est toujours pair.
Je le sens comme ça, mais suis bien en peine pour le montrer.

Posté par Nokturnus Nokturnus

Bonsoir, la plus petite suite que je trouve est la suivante:

51*52*53*54*55*56*57*58*59*60 = 273589847231501000

Posté par evariste evariste

78 117 à 78 126
Le produit des 10 nombres se termine par 9 suivi de 8 zéros.

Posté par lexou1729 lexou1729

BONJOUR,

51525354555657585960 = 27 358 984 723 150 100

Ce qui semble répondre à la question ...

Posté par Kayus Kayus

kikoulolptdr

alors si le nombre se finit par plein de zéro c'est que sa forme factorisée est du type
2^a x 5^a x p avec p un produit de nombres premiers autres que 2 et 5
si on multiplie des nombres impairs entre eux, on obtient des nombres impairs donc p est impair (puisque tout les nombres premiers autres que 2 sont impairs)

(ce qui suit est tres difficile a expliquer)
il faut donc trouver une suite de 10 nombres consécutifs dont la somme des exposant sur le nombre premier 2 de leur formes factorisées respectives soit egale a la somme de leurs exposants sur le nombre premier 5 de leurs forme factorisée.

en regardant un peu les valeurs des exposants sur le nb premier 2 de chiffres consécutifs, on remarque que la plus petite valeur d'exposant totale pour un produit de nombre consécutif est 8
(mieux explicité : tout produit de 10 nombres consécutifs (entier relatifs non nuls) est divisible par 2⁸)

donc il faut que le 5 ait pour exposant 8
parmis les 10 nombres consécutifs, on trouve forcément deux nombres divisible par 5
anticipons et pensons logiquement : la suite de nombre doit donc contenir un nombre divisible par 5⁷, et le plus petit est 5⁷ (5⁷ = 78125)

dans la suite l'autre nombre divisible par 5 que l'on pourra rencontré sera divisible par 5 puissance 1 et avec aucun autre exposant : 5⁷-5 ou 5⁷+5 ne seront divisible que par 5

on établi donc une sorte de diagrame des valeurs entourant 5 puissance 7 et observé leurs valeurs en exposant de 2

78116 : 2²
78117 : 2⁰
78118 : 2¹
78119 : 2⁰
78120 : 2³
78121 : 2⁰
78122 : 2¹
78123 : 2⁰
78124 : 2²
78125 : 2⁰       => 5⁷
78126 : 2¹
78127 : 2⁰
78128 : 2⁴
78129 : 2⁰
78130 : 2¹
78131 : 2⁰
78132 : 2²
78133 : 2⁰
78134 : 2¹

on repere la suite aux plus petits nombres avec la somme des exposant de 2 qui fait 8

la plus petite suite est donc
78117 x 78118 ... x 78116 = 879839921232697713977652723785834630721900000000
9 est impair, ce qui confirme mon raisonnement.

Posté par niparg niparg

bonjour
soit la propriété donnée:"le premier chiffre non nul par la droite est pair"
soit

comme 10!=3628800, alors b={0,1, 2,......,9}, b*10!posséde la propriété
on vérifie aussi que (avec a et b )possède aussi cette propriété
par suite A*10!posséde cette propriété où A
en effet avec
la propriété me semble toujours vérifiée

Posté par piepalm piepalm

Dans une suite de 10 nombres consécutifs, il y a 5 nombres pairs, avec au minimum un multiple de 4 et un multiple de 8: le produit est donc au minimum divisible par 2^8. De même il y a au moins deux multiples de 5, dont un seul divisible par 5^2; pour que le premier chiffre non nul soit impair, il est donc nécessaire que le nombre soit divisible par 5^8, donc que le multiple de 25 soit divisible par 5^7=78125. 78128 est un multiple de 16 et ne doit pas figurer dans les 10 nombres consécutifs. La plus petite séquence admissible va donc de 78117 à 78126.
Sauf erreur, le premier chiffre non nul est alors un 3

Posté par kurtgodel kurtgodel

Salut.

Je dirais que c'est impossible.

Posté par jonjon71 jonjon71

Bonjour !

Allez, j'ose dire que l'on trouve toujours un chiffre pair.

Mais je sais pas pas le démontrer (a vrai dire je ne sais même pas si c'est vrai !).

Merci.

Posté par Pseud Pseud

J'ose le dire, Il n'y a jamais de chiffre impaire.

Posté par diffenbeck diffenbeck

Question: S'il existe, quel est le plus petit entier naturel n tel que, en multipliant les 10 entiers consécutifs à partir de n, le premier chiffre à droite non nul soit impair.
Réponse: n=5⁸

Démonstration:
Soit p = _i=0..9(n+i).
Le principe est de voir qu'un zéro à droite de p veut dire que p est divisible par 10=2*5. Par conséquent, s'il y a k 0, alors p est divisible par 10^k. Si le chiffre d'après est pair, alors est divisible encore une fois par 2. Sinon il ne l'est pas. On cherche donc un entier p construit comme dit tel que (k,k'),
kk',
2^k' divise p mais pas 2^k'+1 et
5^k divise p.

Dans un premier temps, on remarquera que p est au moins divisible par 2⁸. En effet, sur 10 nombres consécutifs, 5 sont pairs, dont au maximum 3 sont uniquement divisible par 2, un par 4 et un par 8. Donc 2⁸ divise p (on peut passer en binaire pour s'en rendre compte et le montrer) Ceci nous indique que la puissance nécessaire de 5 doit être au moins égal à 8.

Dans un second temps, on remarquera que seulement 2 nombres (et exactement 2) parmi les 10 sont divisible par 5. Si l'un est divisible par une puissance de 5, alors le suivant (ou le précédent) n'est divisible qu'une fois par 5. On le démontre facilement : k2, a*5^k+5 = 5*(a*5^k-1+1) non divisible par 5² (et de même si on retranche 5)
Par conséquent, résoudre ce problème consiste à trouver la plus petite suite d'entiers consécutifs contenant 5^k avec k 7 et non divisible par 2⁹

Comment faire ?

Et bien on travaille en binaire... le but du jeu est de trouver k tel que l'écriture binaire de 5^k se termine par l'une des 10 fins possibles qui minimise la puissance de 2... En le faisant, on comprendra mieux:
- pour minimiser la puissance de 2, on remarque qu'en binaire, un nombre est divisible par 2 s'il finit par 0, par 4 s'il finit par 00, etc... Donc pour minimiser, la suite de 10 nombres doit se terminer par:
0001
0010
0011
0100
0101
0110
0111
1000
1001
1010
En multipliant les nombres entre eux, on arrive à une puissance de 8, donc p sera divisible par 2⁸ mais pas par 2⁹.
- maintenant, on doit exprimer les puissances de 5 en base 2 et voir si elles se terminent par l'une de ses fins:
5⁷ = 78125 = 10011000100101101 n'est pas correct.
5⁸ = 390625= 1011111010111100001 est correct.

-Donc en prenant n=5⁸, on est sur d'avoir 2⁸|p mais 2⁹ ne divise pas p, et 5⁹|p. Alors, le premier chiffre à droite non nul ne peut être qu'un 5... cqfd

Posté par Wasiwasa1729 Wasiwasa1729

Pour commencer avoir un chiffre impair avant les zeros de la fin c'est avoir un ordre de multiplicité du facteur premier 5 à l'ordre de multiplicité du facteur premier 2. Ainsi tous les facteurs sont "mangés" par les cinq pour donner les facteurs dix c'est à dire les zeros de la fin du nombre.

Ensuite on remarque que dans la décomposition du produit de dix nombres consécutifs il y a en général beaucoup plus de 2, et que les quelques facteurs 5 viennent tous du nombre se terminant par 5 et de celui se terminant par 0.

remarque suivante : si le nombre se terminant par 5 admet plusieurs facteurs 5 dans sa décomposition alors celui se terminant par 0 n'en admet qu'un. Et vice versa. Un simple factorisation vous en persuadera.

Enfin pour trouver le premier nombre avec un chiffre impair devant les zeros il faut donc trouver celui qui dans son produit de 10 nombres consécutifs a suffsamment de facteurs 5 dans le nombre se terminant par 5, et qui a un minimum de facteurs 2 dans les autres nombres, pour que les 2 ordres de multiplicité de 2 et 5 soit égaux.

On remarque que pour 5 nombres pairs consécutifs, le minimum de facteurs de 2 est atteint pour 5 nombres :
de la forme :  16k+2 16k+4 16k+6 16k+8 16k+10 avec au mieux 8 facteurs 2 seulement.
ou
de la forme :  16k+6 16k+8 16k+10 16k+12 16k+14 avec aussi 8 facteurs 2.
Il faut donc 8 facteurs 5. Donc 7 pour le nombre se terminant par 5 et 1 pour celui se terminant par 0.
le nombre se terminant par 5 est donc 5⁷=78125=4882*16+13 donc se nombre est dans l'ensemble comportant 5 nombres pairs de la forme 16k+6...16k+14.
Donc le plus petit produit vérifiant l'égalité des 2 ordres de multiplicité est :

P=78117*78118*78119*78120*78121*78122*78123*78124*78125*78126

P=8466535472635609758623586533222693974221900000000

Le suivant est P=78118*78119*78120*78121*78122*78123*78124*78125*78126*78127
aprés pour le suivant il faut passer à 5⁷*2 , là il y a 4 candidats car  5⁷*2 = 16k +10 et donc est dans les deux ensembles et pour chaque ensembles on peut commencer le produit par le nombre pair ou par le nombre impair qui le précède.

De façon général, on calcul  5⁷*n et on trouve le reste de la division euclidienne par 16 pour determiner les différents produits (2,3 ou 4 possibilité) qui contiennent ce nombre.  

Merci pour cette enigme très intéressante. Ia orana.

Posté par rems910 rems910

Quoi qu'il arrive nous trouverons toujours un entier.

Démonstration enfin tentative de démonstration :
Si on prend 10 entiers consécutifs :
- on prendra forcément 5 entiers impairs dont les derniers chiffres sont : 1 ; 3 ; 5 ; 7 ; 9.
En les multipliant on aura un nombre se terminant par un chiffre pair et 5, exemple : ....85
- on prendra forcément 5 entiers pairs dont les derniers chiffres sont : 2 ; 4 ; 6 ; 8 ; 0.
En les multipliant on aura un nombre qui se terminera par un chiffre pair et 0, exemple : ....70

Si on multiplie ces deux nombres (ce qui revient au même que l'exercice proposé) on obtient :
....a5
x....b0          Avec a et b pair et appartenant a [0;8]
_______
dc00
Avec c forcement positif car un entier pair multiplié par un entier impair donne un entier pair.

Voili voilou.

Posté par xps1616 xps1616

On trouve toujours un chiffre pair !

Posté par Aurelien_ Aurelien_

Bonjour,

La suite recherchée est (64,65,66,67,68,69,70,71,72,73). Et dans ce cas, le premier chiffre non nul par la droite est 9.

Posté par masterfab2 masterfab2

la suite entre 51 et 60

Posté par rezoons rezoons

Bonjour,
j'ose dire que l'on trouvera toujours un chiffre pair.