équiprobabilités et tirages aléatoires

Posté par omtioken omtioken

Bonjour à tous,

J'ai un problème qui va peut-être vous paraitre simple.
Je vais effectuer des appels téléphoniques sur un plateau d'appels de 60 téléacteurs.
Quelle est le nombre d'appels total que je dois effectuer pour optimiser la probabilité d'appeler au moins chaque téléacteur ? (c'est comme si vous tiriez une boule dans un chapeau qui en comporte 60, vous la remettez puis vous retirez une autre boule et ainsi de suite jusqu'à ce que vous ayez au moins tirer chaque boule une fois).
Un grand merci merci

Posté par carpediem carpediem

salut

la loi des grands nombres ou le théorème de la limite centrée doit probablement () te dire que tu en as pour l'éternité

Posté par carpediem carpediem

tout le pb est de modéliser la situation convenablement pour l'approcher par une loi normale et pouvoir calculer la probabilité d'un événement suivant ou déterminer un entier n tel que "si n>N alors la probabilité d'avoir appeler p des 60 téléacteurs" est (supérieur à )t%


mais pour l'instant je ne vois pas exactement comment moéliser la chose

Posté par omtioken omtioken

merci beaucoup

Posté par carpediem carpediem

en fait faire un arbre te permet de visualiser la situation:

au premier appel tu as eu un téléacteur sur 60
au 2e appel tu as 2 issues: soit tu rappelles le même soit tu en appelles un nouveau (à toi de calculer les probabilités)

supposons qu'après le n-ième appel tu as appelé p téléacteurs distincts parmi les 60 (certains ont été appelé peut-être plusieurs fois donc p=<n) alors au n+1-ième appel tu as toujours 2 issues:
soit tu appelles l'un des p soit tu appelles l'un des 60-p que tu n'as pas encore appelé

donc tu peux calculer ta probabilité en fonction de p et n
tu peux alors étudier cette fonction et en te fixant p et n tu peux obtenir ce que tu veux

Posté par carpediem carpediem

voila, je pense avoir trouvé la relation de récurrence:

notons P(p,n) la probabilité d'avoir appelé p des 60 au n-ième appel, alors:

P(p+1,n+1)=(1-p/60)P(p,n)+[(p+1)/60]P(p+1,n)

au n+1-ième appel soit j'appelle un nouveau parmi les 60-p restant soit j'en ai déja appelé p+1 au n-ième appel et je rappelle l'un de ces p+1

à toi d'initialiser et de calculer explicitement P(p,n) en fonction de p et n

évidemment P(1,1)=1

à mon avis un calcul informatique serait bien pratique car la récursivité semble de compléxivité élevée vu que pour tout n il faut calculer P(p,n) avec p=<Min(60,n)...