Forum des énigmes mathématiques :
Le duel

L'énigme est la suivante :

Clemclem et Puisea s'affrontent dans un duel d'énigmes de la manière suivante :
Clemclem propose une énigme à Puisea. Celui-ci réfléchit et donne sa réponse. Si celle-ci est fausse, Clemclem a gagné, sinon c'est au tour de Puisea de poser son énigme à Clemclem. Si la réponse de Clemclem est fausse, Puisea a gagné, sinon Clemclem pose de nouveau une énigme, etc...
Le duel s'arrête quand l'un des duellistes gagne (c'est-à-dire que l'autre n'a pas répondu correctement).
On considère que Puisea et Clemclem sont de même niveau et qu'ils ont chacun 50% de chances de répondre correctement à chaque énigme posée.
Quelle est la probabilité que Clemclem gagne ce duel ?

Question culturelle : plus tragiquement, un célèbre mathématicien du XIX ème siècle a été tué très jeune au cours d'un duel (au pistolet celui-là). Quel est son nom ?

Bon courage
Clôture de l'énigme : mardi 11/01.

@+

Si on désigne par l'événement Clemclem gagne à la 2n-1° énigme et par l'événement Clemclem gagne à la 2n° énigme on a



la probabilité que Clemclem gagne vaut donc


Clemclem gagne avec une probabilité de

Evariste Galois n'a quant à lui pas eu l'heur de gagner son duel sûrement lié à un échec amoureux.

salut.
pour clemclem je dirais 1/2 (hum ca sent le poisson ca et meme tres fort...)

pour l'enigme culturelle je dirais Galois.
celui qui est a l'origine de "la theorie de Galois".

Je dirai 50%...

Pour la question subsidiaire... Evariste Galois...

Ah, l'amour...

1 chance sur 3

1) Question culturelle : Evariste GALOIS

2) Clemclem a la probabilité de gagner.
  C'est en fait 1/2 + 1/2.1/2.1/2 + 1/2.1/2.1/2.1/2.1/2 + ..... =
  Et Puisea gagne avec la probabilité 1/2² + 1/2⁴ + 1/2⁶ + ..... = 1/3.
  On remarque Que Clemclem a 2 fois plus de chances de gagner.

A l'issue du 1er tour , la probabilité que Clemclem gagne est de 0,5 et celle que Puiséa gagne est de 0.
A l'issue du 2ème tour , la probabilité que Clemclem gagne est de 0,5 et celle que Puiséa gagne est de 0,5².
A l'issue du 3ème tour , la probabilité que Clemclem gagne est de 0,5 + 0,5³ et celle que Puiséa gagne est de 0,5²
A l'issue du (2n+1)ème tour , la probabilité que Clemclem gagne est de 0,5 + 0,5³...+0,5²ⁿ⁺¹= 0,5*(1-0,25ⁿ)/(1-0,25) et celle que Puiséa gagne est de 0,25*(1-0,25ⁿ)/(1-0,25).
Si on fait tendre n vers l'infini pour prendre en compte tous les cas d'issue du duel, on voit que Clemclem a 2/3 de probabilité de gagner, contre 1/3 pour Puiséa.

Question culturelle : Evariste Galois

Arrgg des probas !
On modélise via un pile ou face...
A l'étape 1, C (pour Clemclem) possède illico une probabilité de 1/2
A l'étape 2, P (pour Puisea) possède une probalité (conditionnelle) de 1/4
...
Les probabilités succéssives à chaque étape sont:
Pour C: 1/2 - 1/8  - 1/32 ...
Pour P: 1/4 - 1/16 - 1/64 ...

Par sommation à l'infini, on obtient les probas suivantes:
    et    
On montre que p(C)=     et    p(P)=
( par exemple via p(C) + p(P) = 1  et  p(C) = 2 p(P) )
( technique un peu lourde et balourde... )

On peut plus facilement constater qu'à rang de probabilité égal, la probabilité de C et toujours double de celle de P ( 1/2 contre 1/4, 1/8 contre 1/16... ) donc p(C) = 2 p(P)
(avec bien sûr p(C) + p(P) = 1). Clemclem possède donc deux fois plus de chance que Puisea de gagner. Ainsi, sans l'utilisation des séries, p(C)=     et    p(P)=

Verdict :
Clemclem vs Puisea : vs

Côté culture (ce n'était pas trop dur...):
Il s'agit d' Évariste Galois (1811-1832) (image ci-dessous)
Il est mort la nuit du 29 mai 1832, lors d'un duel qui l'opposait à un officier pour défendre l'honneur d'une femme !
Aussi beau que la théorie qui porte son nom.

Clemclem peut ne peut gagner qu'après un nombre impair de jeux, soit n :
La probabilité qu'il gagne est P_clem = (1/2) + (1/2)³ + (1/2)⁵ + (1/2)⁷ +...= 1/2 * 1/(1-1/4) = 1/2 * 4/3 = 2/3

On vérifie que la probabilité que ce soit Puiséa qui gagne est complémentaire (elle ne peut gagner qu'apres un nombre pair de jeux) :
P_puiséa =  (1/2)² + (1/2)⁴ + (1/2)⁶ +...= 1/4 * 1/(1-1/4) = 1/4 * 4/3 = 1/3.

Pardon, j'ai oublié la question culturelle ... C'est Evariste Galois.!!!
Clémence please !!

     Bonjour

  1°)     Probabilité de gain pour Clemclem  : 2/3

  2°)     Il s'agit sans doute d' Evariste Galois

Clecmclem a une probabilité de 2/3 de gagner ce duel.

Bonne année
Evariste Galois, recalé à Polytechnique car incompris par l'interrogateur.

...et pour la question culturelle, il s'agit d'Evariste Galois.

La 1ere réponse est:
66,67%
La 2e réponse est:
Évariste Galois(1811-1832) un jeune mathématicien français
explications:
Qa = Question posée par Clemclem
Qb = Question posée par Puisea
F = une réponse fausse
V = une réponse vraie
Les points noires représentent les réponses fausses données par Puisea:
La probabilité que Clemclem gagne ce duel est=
P=0,5+0,5(0,5x0,5)+0,5(0,5x0,5)² +…..0,5(0,5x0,5)ⁿ
P=0,5(1+(1/4)²+(1/4)³+….+(1/4)ⁿ)
P=0,5(1-(1/4)ⁿ)/(1-(1/4))
avec n
P=0,5(1-0)/(3/4)=0,5(4/3)=2/3
donc P=66,67%

Il y a équiprobabilité: "On considère que Puisea et Clemclem sont de même niveau et qu'ils ont chacun 50% de chances de répondre correctement à chaque énigme posée"

Donc la probabilité pour que Clemclem gagne est de 1/2, 50%

Mais je sens qu'il y d'autres paramètres rentrant en jeux ...

Le mathématicien est Evariste Gallois, mort à 21 ans.

bonjour

la probabilité est 1/2
le matématicien est Evariste Galois

la probabilité que Clemclem gagne ce duel est p(X) = 1/2
car pr pouvoir gagné il faut que Puisea ne reponde pa a la premiere enigme de Clemclem : il a donc une chance sur 2 (p(X)=1/2) de gagner ce duel

alors la chance qua clemclem de gagner est de 1/2 (gagner au 1er coup) +1/8 (gager au 3e coup) +1/32 ...+1/(2^(2n+1))

la chance qua pusiea de gagner est de 1/4+1/16+1/64.. +1/2^(2n) (=1/4^n)

donc la chance qua pusiea a de gagner est de 1/(4*(1-1/4)) sois 1/3 et donc par deduction le chance qua clemclem de gagner est de 2/3


quand a ce malheureux mathemacien il s'agit de Galois (Evariste Galois il me semble).

Clemclem a deux fois plus de chances de gagner que Puisea en commençant la partie (il suffit de regarder seulement le "premier tour", le processus se répétant invariablement).
Donc la probabilité que ClemClem gagne ce duel est de 2/3.

A la première enigme clemclem à 1/2 de gagner (car son adversaire à 1/2 de perdre).
il à 1/4 (1/2 de 1/2) de perdre à la 1er enigme de puisea.
1/8(1/2 de 1/4) de gagner à la 2e enigme
il à 1/16 (1/2 de 1/8) de perdre, à la 2e enigme de puisea
il à 1/32 (1/2 de 1/8) chance de gagner à la 3e enigme.
Etc.
Il à donc (1/2)*(1/4)^n-1 chance de gagner à la n ieme enigme qu'il pose.

On doit donc prendre la somme de ces termes, de 1 à n.

(1/2)*(1/4)^n-1

Somme de 1 à n (je sais pas mettre les bornes sur ce forum).

Ce qui donne une probabilité de 66,6666... %

Soit 2 chance sur 3 de gagner.

etant donne que Clemclem commence, il a d'ores et deja une chance sur deux de gagner et il y a une chance sur deux pour que Puisea puisse poser sa question. Une fois cet evenement realisé, Puisea a 1/2 chance de gagner. Par consequent,sur ce premier aller retour d'echange d'enigmes, clemclem a eu 0.5 de chance de gagner tandis que puisea n'a eu que 0.5*0.5=0.25 chance de gagner puisqu'il fallait qu'il reponde juste des la premiere question et qu'ensuite Clemclem se trompe. Donc  clemclem a O.5-0.25=0.25 plus de chance de gagner que puisea, ce qui revient a resoudre x+x-0.25=1 soit x=0.625 donc Clemclem a 62,5 chance de gagner!!
Miaouw

Evariste Gallois

La reponse est 2/3
en effet celui qui commence a 2 fois plus de chance de gagner que celui qui ne commence pas ... =) CQFD

desolé j'ai oublié de poster pour la questio culturelle j'espere qu'il ne m'en sera pas tenu rigueur

il s'agit du mathematicien evariste galois

Bravo pour toutes les bonnes réponses.

Les deux réponses attendues :
- la proba que clemclem gagne est de 2/3. Je vous renvoie aux différents raisonnements.
- pour la question culturelle, le mathématicien à trouver était Evariste Galois.

@+

je propose cela
1: Evariste GALOIS
2: il a 2/3 de chance de gagner

C'est triste, tous ces verts...

Salut Bornéo !

Nostalgie ?


w@lid.