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une suite

Posté par
futuresight 16-12-08 à 21:15


Bonjour

Soit un la suite définie par récurrence par :
3$\rm u0=-1\\ \\ u_{n+1}=\frac{3+2u_n}{2+u_n}
Montrez que un est majorée par racine de 3.


Il faut utiliser la récurrence mais je ne vois pas par où commencer.

Merci

Posté par
cailloux Correcteurre : une suite 16-12-08 à 21:35

Bonsoir,

Peut-être démontrer que:

\sqrt{3}-u_{n+1}=\frac{(2-\sqrt{3})(\sqrt{3}-u_n}{2+u_n})

La propriété P_n étant:

\forall n\in\mathbb{N}\:\: -1\leq u_n\leq \sqrt{3}

Posté par
futuresightre : une suite 16-12-08 à 21:49

\sqrt{3}-u_{n+1}=\frac{(2-\sqrt{3})(\sqrt{3}-u_n}{2+u_n})

comment on fait pour trouver (2-\sqrt{3})(\sqrt{3}-u_n) à partir de 2sqrt{3}+sqrt{3}u_n-3-2u_n

et pour la récurrence je remplace n par racine de 3?

Posté par
cailloux Correcteurre : une suite 16-12-08 à 21:53

2sqrt{3}+sqrt{3}u_n-3-2u_n=(\sqrt{3}-2)u_n+\sqrt{3}(2-\sqrt{3})=(2-\sqrt{3})(\sqrt{3}-u_n)

Citation :
et pour la récurrence je remplace n par racine de 3?


Euh...je ne comprends pas trop...

Posté par
futuresightre : une suite 16-12-08 à 21:57

ah d'accors et
\sqrt{3}-u_{n+1}=\frac{(2-\sqrt{3})(\sqrt{3}-u_n}{2+u_n})

dois-je remplacer u_n par racine de 3 pour démontrer ma récurrence?
et ça donne \sqrt{3}-u_{n+1}=0

Posté par
jaberre : une suite 16-12-08 à 21:59

bs

oui ,en effet (Un) majorée par rac(3) necessite un plus

donc l'idée de changer la question serait mieux

montrer que :-1 < Un < rac(3)

la factorisation:

2( rac3 - Un) + rac3(Un - rac3) = (rac3 - Un ).(2 - rac3)

Posté par
cailloux Correcteurre : une suite 16-12-08 à 22:08

Ah mais pas du tout!

J'aurais du écrire: P_n est la propriété: \forall n\in\mathbb{N}^*\:\:0\leq u_n\leq \sqrt{3}

Initialisation:

u_1=1

On a bien 0\leq u_1\leq \sqrt{3} et P_1 est vraie.

Hérédité:

On suppose que P_n est vraie pour un certain rang n\geq 1 fixé, c' est à dire:

0\leq u_n\leq \sqrt{3}

démontrons d' abord que u_{n+1}\geq 0

u_{n+1}=\frac{3+2u_n}{2+u_n}\geq 0 car u_n\geq 0

Puis:

\sqrt{3}-u_{n+1}=\frac{(2-\sqrt{3})(\sqrt{3}-u_n)}{2+u_n}\geq 0 car \sqrt{3}-u_n\geq 0 et 2+u_n\geq 0 (hypothèses de récurrence)

de plus 2-\sqrt{3}>0

donc u_{n+1}\leq \sqrt{3} et l' hérédité est prouvée.


Posté par
futuresightre : une suite 16-12-08 à 22:12

ah c'est bon j'ai enfin compris la factorisation

2sqrt{3}+sqrt{3}u_n-3-2u_n=(\sqrt{3}-2)u_n+\sqrt{3}(2-\sqrt{3}) \\ =(2-sqrt{3})(\frac{sqrt{3}-2}{2-sqrt{3}}un+sqrt{3})
=(2-sqrt{3})(\frac{sqrt{3}-2}{2-sqrt{3}}un\time (-1)\time (-1)+sqrt{3})

=(2-\sqrt{3})(\sqrt{3}-u_n)

fallait le trouver quand même

pour ma récurrence comment puis-je montrer que :-1 < Un < rac(3)

On pose "hn:-1 < Un < rac(3)"
initialisation
u0=-1

on suppose que hn est vraie pour un certain entier n on montre hn+1

je suis bloqué

Posté par
futuresightre : une suite 16-12-08 à 22:13

ah merci


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