probabilité

Posté par alex88 alex88

bonjour,

voici un exercice de probabilité que je n'arrive pas à résoudre:

Deux urnes A et B contiennent des boules blanches et noires: l'urne A contient 2 boules blanches et 3 boules noires, l'urne B contient 1 boule blanche et 4 boules noires.
On effectue une série de tirage avec remise de la boule dans l'urne d'où elle provient, de la façon suivante:
- On choisit une urne au hasard et on choisit la 1ère boule.
- Si elle est blanche, on tire la boule suivante dans l'urne B.
- Si elle est noire, on tire la boule suivante dans l'urne A.

Et on continue les tirages en suivant cette règle...

On définit alors pour tout entier n appartenant à N*, les évènements:
An " le nème tirage s'effectue dans A"
Bn " le nème tirage donne une boule blanche"

1. Calculer la probabilité des évènements suivants:
(a) Les trois premiers tirages s'effectuent dans l'urne A.
(b) Le deuxième tirage s'effectue dans l'urne A.
(c) Le deuxième tirage a donné une boule noire.


merci de m'aider pour ces 3 questions.
bonne journée!

Posté par Maque11 Maque11

1a) Quelle est la prob. de choisir la urne A au début ? Ensuite, quelle est la prob. de rester dans la urne A et finalement, quelle est la prob. de 3 événements indépendants (car avec remise).

b) Tu as deux cas à traiter, donc tu peux additionner les probs. de ces deux cas.

c) C'est équivalent à dire que le troisième tirage est dans la urne A, même principe qu'en b) sauf que tu as plus de cas à traiter.

Ça t'aide ?

Posté par alex88 alex88

pour la 1 (a) je trouve 9/50 mais je suppose que c'est faux car je n'ai pas très bien compris!

Posté par Maque11 Maque11

Excuse moi, je t'ai trompé avec mes 3 événements indep., j'aurais du dire 2. Là, tu as fait pour qu'on reste 4 fois dans l'urne A à partir du départ, quelle est la réponse en a) alors ?

pour b) et c) ?

Posté par alex88 alex88

pour la réponse (a) je trouve 3/10
pour la réponse (b) je trouve 12/25

Posté par Maque11 Maque11

a) Tu l'avais bon 9/50 excuse moi bordel, j'ai la tête encore dans la dinde de noël

b) Ce n'est pas ça , tu as deux cas donc tu dois faire une addition, quelles sont les deux cas possibles ?

Posté par alex88 alex88

mdr!

(b) les 2 cas sont : - la 2eme tirage s'effectue dans l'urne A sachant q'une boule noire a été tirée dans l'urne B
                     - la 2eme tirage tirage s'effectue dans l'urene A sachant qu'une boule noire a été tirée dans l'urne A

Posté par Maque11 Maque11

Ou, puisque c'est indépendant, tu as
-être dans l'urne A ET pigé une boule noire (donc rester dans l'urne A pour le deuxième tirage)

OU

-être dans l'urne B ET pigé une boule noire (donc aller dans l'urne A pour le deuxième tirage)

Posté par alex88 alex88

le résultat est donc 7/5

Posté par alex88 alex88

POur la question (c) je ne vois pas du tout ce qu'il faut faire par contre!

Posté par Maque11 Maque11

attention, une probabilité est tjrs entre 0 et 1 !
pour b), c'est 1/2*3/5+1/2*4/5

c) C'est équivalent à dire que le troisième tirage est dans la urne A, même principe qu'en b) sauf que tu as plus de cas à traiter.

Posté par alex88 alex88

je ne vois pas les différents cas qu'il y a à traiter pour la question (c)

Posté par Maque11 Maque11

En voici 3, tu seras capable de trouver le reste, il faut que le dernier soit "piger une boule noire"

-être dans l'urne A ET piger une boule noire ET piger une boule noire

OU

-être dans l'urne B ET piger une boule noire et piger une boule noire

OU

-être dans l'urne A ET piger une boule blanche ET piger une boule noire

Posté par alex88 alex88

je trouve 33/50 pour la (c)

Posté par Maque11 Maque11

ça ne serait pas 36/50 par hasard ? enumere donc tes cas

Posté par alex88 alex88

Mes cas sont les suivants:

-être dans l'urne A ET piger une boule noire ET piger une boule noire

OU

-être dans l'urne B ET piger une boule noire et piger une boule noire

OU

-être dans l'urne A ET piger une boule blanche ET piger une boule noire

OU

-etre dans l'urne B Et piger une boule blanche ET piger une boule noire

et je trouve 33/50

Est ce que j'ai oublié des cas?

Posté par alex88 alex88

Pouvez vous m'aider svp?

Posté par redeyef redeyef

bonsoir
a)
l'urne choisit  A -----1er tirage Noir P=3/5 ---------2eme tirage Noir P=3/5
P(a)= 1/2*3/5*3/5 =9/50

b)deux cas (l'urne choisit):
si l'urne choisit  A -----1er tirage Noir P=3/5
si l'urne choisit  B -----1er tirage Noir P=4/5
d'ou P(b)=1/2*3/5 +1/2*4/5 =7/10

c) quatre cas :
  l'urne choisit  A -----1er tirage en A Noir P=3/5 ---------2eme tirage en A Noir P=3/5  <-> 1/2*3/5*3/5
  l'urne choisit  A -----1er tirage en A Blanche P=2/5 ---------2eme tirage en B Noir P=4/5  <-> 1/2*2/5*4/5
  l'urne choisit  B -----1er tirage en B Blanche P=1/5 ---------2eme tirage en B Noir P=4/5 <-> 1/2*1/5*3/5
  l'urne choisit  B -----1er tirage en B Noir P=4/5 ---------2eme tirage en A Noir P=3/5 <-> 1/2*4/5*3/5
P(c)=32/50

Posté par alex88 alex88

p(c)=33/50 tu as fait une erreur d'etourderie dans la 3eme ligne mais merci beaucoup!

2. Sachant que le deuxième tirage a donné une boule blanche, calculer la probabilité que ce tirage ait eu lieu dans l'urne A:
J'ai trouvé 14/17 comme reponse en utlisant la formule de bayes, est ce juste?

Posté par redeyef redeyef

bonjour
c est juste .

Posté par alex88 alex88

Plus loin dans l'exercice, j'ai cherché l'expression en fonction de n de la probabilité p(An)
et j'ai trouvé p(An)= (-1/6)^n + 2/3.

Il est question alors de trouver une relation entre p(Bn) et p(An)
et j'ai trouvé p(Bn) = 1-p(A(n+1))

Est ce juste?

Merci d'avance!

Posté par alex88 alex88

personne ne peut me dire si c'est juste?