Problème de proba

Posté par dark7rider dark7rider

SAlut à tous!
Alors voila, je bloque sur un exo de proba, qui pourtant à l'air tout con!
Je vous donne l'intitulé
ON dispose d'une unre contenant a boules blanches et b boules noires;
1.montrer que sigma(variant de k=A à B) de A parmi k vaut A+1 parmis B+1.
Ca j'ai réussi, c'est assez simple avec la formul de pascal.

2.ON effectue dans l'urne n tirages avec remise. Si aucune boule blanche est tirée, on pose X:=0. Sinon, on note X le numéro de tirage de la PREMIERE boule blanche.

a)Quel est l'ensemble X(omega) des valeurs prises par X.
J'ai répondu assez logiquement (o,1,2,...,n) puisqu'on procède avec remise

b)Calculer la loi de X. Vérifier que la somme des probas de [X=k] à la valeur attendue.

C'est là que je bloque un peu, pour la loi de X je toruve un truc bizarre...
Déja, pour X=0, la probabilité vaut (b/(a+b))^n puisqu'il ne faut tirer que des boules noires (et encore une fois, on tire avc remise)
Ensuite, pour le reste, j'avais pensé à cette formule : p[X=k]=(b/(a+b))^(k-1) x (a/(a+b)) car il faut rier des boules noires aux k-1 premiers tirages puis, au Kieme, tirer une blanche.

Par contre, je galère un peu pour prouver que la somme de tout cela vaut un...
J'obtiens sigma de ce que je viens de montrer (k allant de 1 à n) +
(b/(a+b))^n
Mais là je suis bloqué, j'ai essayé de me servir de la somme des termes d'une suite géométrique pour le sigma et au final, j'obtiens : (a/(a+b)) fois [(b/(a+b))^n - 1]/[(b/(a+b)) - 1] +(b/(a+b))n


L'expression assez longue (le produit) je l'ai obtenu en faisant la somme des termes d'une suite géométrique de premier terme (a/(a+b)) et de raison (b/(a+b)) (j'ai du changer l'indice dans la somme pour bien obtenir Un=Uo x q^n)

Voila.
Merci d'avance à celui qui pourra m'aider!
Bonne année !!

Posté par kervad22 kervad22

bonjour
tu y est presque: le dénominateur b/(a+b) - 1 = -a/(a+b) et il y a une simplification......
OK?

Posté par yaya0 yaya0

salut
∑ = (b/a+b)^n + (a/a+b)(1+(b/b+a)+....(b/b+a)^(n-1))
  =(b/a+b)^n + (a/a+b)(1-(b/a+b)^n)/[1-(b/a+b)]
  =(b/a+b)^n + 1-(b/a+b)^n =1

Posté par dark7rider dark7rider

merci bcp kervad22!! c'était le petit truc q'il me manqait!!

Posté par dark7rider dark7rider

Encore un ptit soucis, ensuite je dois calculer l'esperance de cette loi mais en appliquant la formule sigma des k x p[X=k] je n'obtiens rien de bon...

Posté par dark7rider dark7rider

aucune idée? si vous trouvez rien pour l'esperance, ya peu de chances que vous puisssiez me dire quelque chose pour la variance, mais je demande quand meme. lol

Posté par kervad22 kervad22

pourquoi pense-tu que je puisse faire mieux que toi?
je retrouve l'exercice seulement maintenant, je croyais que c'était fini et j'ai jeté tous mes calculs; je vais regarder mais ne garantis rien.
eh eh!!

Posté par kervad22 kervad22

je te dis ce que j'ai fait mais c'est pas ben extra

E(X) = a/(a+b) + 2ab((a+b)^2 + 3ab^2/(a+b)^3 ....+ab^(k-1)/(a+b)^k +.......+ab^(n-1)/(a+b)^n
E(x) = a/(a+b)[1 + 2ba+b) + 3b^2/(a+b)^2 + ...+ kb^(k-1)/(a+b)^(k-1) +.........+nb^(n-1)/(a+b)^(n-1)]

dans le crochet on a un truc de la forme: 1+2x+3x^2 +....+nx^n-1
et c'est la dérivée de f tq: f(x) = x + x^2 + x^3 +...+ x^n

est-ce une bonne piste? moi ça m'a quand même donné une espérance un peu compliquée.

je me demande quand même à quoi sert la 1ère question; ça m'étonne qu'elle ne réapparaisse pas.

voili voilà, est-ce que ça t'avance à qq chose? si tu trouves, ça m'interesse.

Posté par dark7rider dark7rider

pour l'esperance, j'ai fait un truc bizarre: en fait j'ai posé une fonction g telle que g(z)= sigma de p(x=k)z^k
quand je dérive ca me fait g'(z)=sigma de p(x=k)kz^k-1
et donc g'(1)=E(X)
Ensuite j'ai explicité g'(1) et voila. J4ai trouvé E(X)=n
Sinon la question un réapparait dans la suite de l'exercice, là on tire sans remise et il y a le meme genre de questions.
justement, je seche sur une des questions suivantes. Donc on est dans le cas d'un tirage sans remises et on note Y la variable qui donne le numéro de sortie de la premiere boule blanche.
On a prouvé que p[Y=k]= (a/k) x  [(k-1) parmis b] / [k parmis (a+b)]   =   [(a-1) parmis(a+b-k)] / [a parmis(a+b)]
et je dois montrer que E(Y)= (a+b+1)/(a+1)    
il y a cette indication: remarquer que pour tout k, k=(a+b+1)-(a+b-k+1)
J'écris donc la formule de l'esperance en remplacant k par la formule ci dessus. Je peux donc séparer en deux sommes. Dans la premiere je peux sortir a+b+1 j'obtiens :
E(Y) = (a+b+1)sigma de p[Y=k] - sigma de(a+b+1 -k) p[Y=k]

là, si je continue à simplifier, je vais me retrouvr avec E(Y)=E(Y)... donc je sais pas torp quoi faire

Posté par kervad22 kervad22

je n'ai pas trop le temps de regarder l'exercice maintenant; je vais juste te dire qu'il n'est pas possible que E(X)=n; l'espérance en probas correspond à une moyenne en stats; je vois pas comment une variable qui prend les valeurs 0, 1, ...n pourrait avoir une moyenne égale au maxi, à priori on devrait tomber sur une valeur intermédiaire. A plus.

Posté par dark7rider dark7rider

ouais tu as raison... je n'y avais pas pensé... Merde ca veux dire que j'ai tout faux... ralala je sais pas ce que je vais faire

Posté par kervad22 kervad22

j'ai peut-être E(Y)
sigma de P(Y=k)=1
donc E(Y)= (a+b+1) - sigma de (a+b+1-k)P(Y=k)
la somme va de 1 à b+1 (Y prend les valeurs 1, 2, b+1); tu es d'accord?
E(Y)= (a+b+1) - sigma de (a+b+1-k)*[(a-1)parmi(a+b-k)]/[a parmi (a+b)]
E(Y)= (a+b+1) -
      {1/[a parmi (a+b)]}sigma de (a+b-k+1)*(a+b-k)!/[(a-1)!*(b-k+1)!]

dans le sigma ça fait: (a+b-k+1)!/[(a-1)!*(b-k+1)!]
                  ou : a*(a+b-k+1)!/[a!*(b-k+1)!]
                  ou : a*[a parmi (a+b-k+1)]
le a peut se mettre en facteur et la somme est:
[a parmi (a+b)] + [a parmi(a+b-1)] +...+[a parmi (a+1)] + (a parmi a)

d'après la première question, c'est égal à: (a+1) parmi (a+b+1)

Je te laisse finir?

Posté par veleda veleda

bonjour,
pour le calcul de E(X) les calculs seraient moins lourds si tu posais cela donne E(X)=
cependant le résultat final n'est pas trés joli