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Enigme de clemclem 13

   
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2 *Enigme de clemclem 13**

#msg112224 Posté le 12-01-05 à 12:26
Posté par Profilclemclem clemclem Posteur d'énigmes

Bonjour à tous,

Ce mercredi vous aurez droit à deux énigmes pour le prix d'une (Bande de chanceux et de chanceuses ).Il faudra bien sûr répondre correctement aux deux énigmes pour avoir droit à son smiley.

1ère Partie :

Soit ABC un triangle rectangle en B tel que AB = 4 et BC =3. I est un point de [AB] tel que \widehat{ACI}=45°.
Déterminer la valeur exacte de AI (sous forme d'une fraction de deux entiers )

2ème Partie :

O est le centre du cercle inscrit du triangle ABC.
I est le point appartenant à [AB] tel que (OI) et (AB) soit perpendiculaires.
AI = 6 ; BI = 8 et OI = 4.
Calculer les valeurs exactes de BC et AC.


Bonne chance à tous

Clôture Samedi dans la journée

A plus
re : Enigme de clemclem 13**#msg112285 Posté le 12-01-05 à 14:27
Posté par pietro (invité)

1) AI = \red\frac{25}{7}

Preuve
    tg\widehat{ICB} = \frac{IB}{3}
et  tg(45° + \widehat{ICB} ) = \frac{4}{3}
On développe la 2e relation en posant t=IB/3 :
\frac{1 + t}{1 - t} = \frac{4}{3}
d' où on tire t = 1/7
Donc IB = 3/7
Enfin AI = 4 - \frac{3}{7} = \frac{25}{7}

2) \red AC = 13 et \red BC = 15

Preuve
\widehat {OAI} = arctg(2/3)
\widehat {OBI} = arctg(1/2)
Posons arctg x = arctg(2/3) + arctg(1/2)   On égale la tg des 2 membres
         x = \frac{2/3 + 1/2}{1 - 2/3 . 1/2}
        x = \frac{7}{4}
On en déduit que \widehat {C} = 180° - 2.arctg(7/4)
Donc \widehat {C}/2 = 90° - arctg(7/4) = arctg(4/7)
Soit H le pied de la \perp abaissée de O sur AC
   4 = CH . tg\widehat {C}/2
   4 = CH . \frac{4}{7}
   CH = 7
AC = AH + CH = 6 + 7 = 13
et BC = 8 + 7 = 15
re : Enigme de clemclem 13**#msg112345 Posté le 12-01-05 à 15:27
Posté par Profilmanpower manpower

gagné1ère Partie :
Posons x = AI ( avec 0 < x < 4 )
La formule des sinus ( \frac{a}{sin {\widehat{A}}} = \frac{b}{sin {\widehat{B}}} = \frac{c}{sin {\widehat{C}}} = 2R = \frac{abc}{2S} a,b,c:longueurs des côtés et S l'aire du triangle ) dans le triangle ACI donne :
\frac{x}{sin {\widehat{C}}} = \frac{x \times CI \times CA}{2S}
Donc, CI = \frac{2S \times \sqrt{2}}{5} = \frac{3sqrt{2}}{5}x  avec S=\frac{x \times 3}{2}

Puis, par le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle BCI, CI^2 = CB^2 + BI^2 = (4-x)^2+ 3^2

Soit finalement, l'équation
(\frac{3sqrt{2}}{5}x)^2 = (4-x)^2+ 3^2 à résoudre.
Après simplification, cette équation s'écrit 7x^2 - 200x + 25^2 = 0.
On obtient 2 solutions : 25 et \frac{25}{7} dont seule la seconde est comprise entre 0 et 4.

Conclusion: AI = \red \frac{25}{7}

-----------------------------------------------

2ème Partie :
Notons J et K les projettés orthogonaux respectifs de O sur les côtés [AC] et [BC].
On montre aisément que AJ = AI = 6 et que BK = BI = 8
( propriété de distance ou de symétrie des bissectrices intérieures concourrantes en O, centre du cercle inscrit ou même 2 fois Pythagore )
Reste à calculer CJ = CK = x > 0 ( même argument ).

Rappel: Formule de Héron S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=pr où a=BC, b=AC, c=AB et où S est l'aire du triangle, p le demi-périmètre du triangle et r le rayon du cercle inscrit.

On a donc S=\sqrt{(14+x)(x)(6)(8)}=4(14+x) avec p=14+x
soit 48x(14+x)=4^2(14+x)^2 en élevant au carré.
Cette équation se ramène à x^2+7x-98=0 et dont les deux solutions sont : -14 et 7.
Ainsi x = 7 ( solution positive )
puis AC = AJ + JC = 6 + x = 13  et  BC = BK + KC = 8 + x = 15

Conclusion: AC = \red 13 et  BC = \red 15


N.B: Plusieurs méthodes possibles bien sûr mais, sauf astuce qui m'aurait échappée, il n'y a pas plus rapide !
re : Enigme de clemclem 13**#msg112381 Posté le 12-01-05 à 16:12
Posté par gilbert (invité)

gagné1ere énigme :
  Soient a=\widehat{ACB} et b=\widehat{ICB}
Sin 45° = 2 /2 = sin (a-b)= sina * cosb -cosa * sinb
Si je pose x= AI et y=CI
2 /2 = (4/5) * (3/y) -(3/5) [(4-x)/y]
4-(4-x) = 5y*2 /6.
y2 = 36 x2/50 = 18 x2/25 .
J'applique Pythagore dans CBI, ce qui donne :
32 + (4-x)2 = 18 x2/25 .
J'obtiens une équation du second degré : 7 x2 - 200 x + 625 = 0
Donc la seule solution comprise entre 0 et 4 est x = AI = 25/7

2ème énigme

Soit J le point de tangence du cercle inscrit avec AC et K avec BC.
Le rayon du cercle inscrit est égal à  r = OI = 4.
Par propriété de la tangente à un cercle , on a AJ = AI = 6 et BK = BI = 8.
Soit p le demi périmètre de ABC et x = CJ = CK, on a p = 1/2 (8 + 6 + 8 + x + 6 + x) = 14 + x
D'après la formule de Héron : S2 = p ( p - a) (p - b) (p - c) = (14+x)(x) (6)(8) = 48x (14 + x)
On sait aussi que S2 = p2* r2 = 16 * (14 + x)2.

48 x (14 + x) = 16 * (14 + x)2.ou
48 x = 16 (14 + x)
3 x = 14 + x
x = 7,
AC = 6+7 = 13  et  
BC = 8+7 = 15


ma solution#msg112544 Posté le 12-01-05 à 17:41
Posté par rachmaninof (invité)

gagné1ere partie :
AI=25/7
2eme partie :
AC=13 et BC=15
ah les formules de trigo avec les tangentes!!!!#msg112563 Posté le 12-01-05 à 18:01
Posté par PolytechMars (invité)

gagné1ere partie

AI=25/7 grace a la formule tan(45+c)=(1+tan c)/(1-tan c) puisque tan45=1

2eme partie

AC=13 et BC=15 garce a la formule : tan(2alpha)=(2*tan alpha)/(1-tan²(alpha))

Miaouw

PS : comment fait on pour pouvoir ecrire des fractions comme on peut le faire avec Word et son editeur d'equation!!!
re : Enigme de clemclem 13**#msg112975 Posté le 12-01-05 à 22:58
Posté par Profilfranz franz

gagnéEnigme 1

En appelant \theta l'angle \hat{BCA}, on a
\large \array{c20c20l350$ \frac {BI}{BC} & = & \tan( \hat{BCI} ) = \tan(\theta - 45^\circ) \\ & = & \frac {\tan \theta - \tan 45^\circ}{1+\tan \theta \tan 45^\circ} \\ & = & \frac {\frac 4 3 - 1}{1+\frac 4 3} \\ & = & \LARGE \frac 1 7 }

Donc AI = AB-BI = AB - \frac 1 7 BC = 4 - \frac 3 7

          \red \LARGE \fbox{AI = \frac {25} 7}



Enigme 2

Le centre du cercle inscrit au triangle ABC est l'intersection des bissectrices internes des côtés du triangle.
En appelant :
\bullet J et K les projections orthogonales de O sur les côtés [AC] et [BC]
\bullet   \alpha = \hat{AOI}= \hat{JOA}
\bullet   \beta = \hat{IOB}= \hat{BOK}
\bullet   \theta= \hat{KOC}= \hat{COJ}
\bullet   \lambda= CJ = CK


On a

2\pi = 2(\alpha + \beta + \theta)
\magenta\theta = \pi - (\alpha + \beta )
\blue \tan \alpha = \frac {AI}{OI}= \frac 6 4 = \frac 3 2
\green \tan \beta= \frac {BI}{OI}= \frac 8 4 = 2

Donc
\large \lambda = OK \tan \theta = OI \tan [\pi - (\alpha + \beta)] = - OI \tan (\alpha + \beta) = -OI \frac {\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta} = -4\, \frac {\frac 3 2 + 2}{1 - \frac 3 2 \, 2} = \LARGE 7

Et par suite, comme AJ = AI = 6 et BK = BI = 8 (les triangles (AOJ et AOI (respectivement OIB et OBK) sont semblables)


                  \LARGE \red \fbox{ \array{AC = 13 \\ \vspace{10} \\BC = 15}}




Enigme de clemclem 13:*::*:
re : Enigme de clemclem 13**#msg112988 Posté le 12-01-05 à 23:28
Posté par daniel12345 (invité)



  1°)  AI=25/7

  2°) AC=13    BC=15



re : Enigme de clemclem 13**#msg113011 Posté le 13-01-05 à 02:32
Posté par ProfilLopez Lopez

gagnéSalut

1ere partie

tan\widehat{ACB}= \frac{4}{3}
J'utilise la formule suivante
tan(a - b) = \frac{tan(a)-tan(b)}{1+tan(a)tan(b)  avec
a = \widehat{ACB}
b = \widehat{ACI} = 45° donc tan(b) = 1
on remplace et on obtient
tan(a - b) = \frac{1}{7}
Dans le triangle IBC rectangle en B on a tan(a - b) = \frac{BI}{3}
d'où \frac{1}{7} = \frac{BI}{3}
BI = \frac{3}{7}
BI + IA = BA = 4 donc AI = BA - BI = 4 - \frac{3}{7}
AI = \frac{25}{7}

2ème partie

O est le point de concours de 3 bissectrices du triangle ABC
Soit P [AC] tel que (OP) perpendiculaire à (AC)
Soit Q [CB] tel que (OQ) perpendiculaire à (BC)
On a AP = AI = 6 et BQ = BI = 8 et CP = CQ = x
Je pose h la hauteur issue de C
= \widehat{BAC}
= \widehat{ABC}
sin = \frac{h}{6+x}
sin = \frac{h}{8+x}
sin()/sin() = \frac{8+x}{6+x}  "équation (1)"
Dans le triangle AIO rectangle en I on a tan(/2) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}

Dans le triangle BIO rectangle en I on a tan(/2) = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}
Maintenant j'utilise la formule
sin= \frac{2t}{1+t^2} avec t = tan(/2)
Après calcul on obtient
sin = \frac{12}{13} et
sin = \frac{4}{5}

sin()/sin() = \frac{15}{13}   "équation (2)"
On pose (1) = (2)
\frac{8+x}{6+x} = \frac{15}{13}
13(8+x) = 15(6+x) x = 7
Conclusion
BC = BQ + QC = 8 + 7 = 15
AC = AP + PC = 6 + 7 = 13



re : Enigme de clemclem 13**#msg113249 Posté le 13-01-05 à 19:19
Posté par Profilisisstruiss isisstruiss

gagné1ère partie:
Je pose \gamma=\widehat{ACB} et comme ABC est rectangle en B on a \tan{\gamma}=\frac{AB}{BC}=\frac{4}{3}
\tan(\gamma-45)=\frac{\tan(\gamma)-\tan(45)}{1+\tan(\gamma)\tan(45)}=\frac{1}{7}
\tan(\gamma-45)=\frac{IB}{3} \Rightarrow IB=\frac{3}{7}
Finalement j'obtiens AI=AB-IB=4-\frac{3}{7}=\frac{25}{7}

2ème partie:
I est le point de AB tangent au cercle inscrit. J celui de AC tangent au même cercle. JC=x
Le demi-périmètre de ce triangle vaut p=6+8+x.
L'aire du triangle ABC par la formule de Héron vaut S(\Delta_{ABC})=\sqrt{p(p-14)(p-x-8)(p-x-6)}=\sqrt{48a(x+14)}
L'aire du triangle ABC vaut aussi S(\Delta_{ABC})=2\(S(\Delta_{OIB})+S(\Delta_{OIA})+S(\Delta_{OJC})\)=8\cdot4+6\cdot4+x\cdot4=4(14+x)
En faisant une égalité de ces deux formules on obtient x=7

On a finalement AB=14 AC=13 BC=15

Enigme de clemclem 13:*::*:
re : Enigme de clemclem 13**#msg113448 Posté le 13-01-05 à 22:14
Posté par ProfilNofutur2 Nofutur2

gagnépartie 1.
En utilisant le développement de sin (a-b), je trouve facilement que IC2 = (18/25) * IA2.
En appliquant Pythagore dans ICB, et en remplçant la valeur de IC2, j'obtiens :
7 * IA2 - 200 * IA + 625 = 0, ce qui donne comme seule valeur acceptable :
IA = 25/7

Partie 2.
Soit J et K les deux autres points de tangence.
Soit a = CJ = CK
J'utilise la formule de Héron et je trouve S = [48a (14+a)].
J'utilise aussi la formule S = p * r = 4 * p.
En élevant ces deux valeurs de S au carré et en les égalant , j'obtiens a = 7.
On a donc BC = 15 et AC = 13
challenge#msg113477 Posté le 13-01-05 à 23:53
Posté par DiabloBoss (invité)

1ère Partie :
AI = 25 / 7


2eme Partie :AC = 13
BC = 15
re : Enigme de clemclem 13**#msg113793 Posté le 14-01-05 à 23:09
Posté par fanpsg (invité)

gagnébonsoir,
pour premiere partie la reponse est 25/7
pour la deuxieme partie la reponse est BC=15
                                       AC=13
                      voila
re : Enigme de clemclem 13**#msg113919 Posté le 15-01-05 à 13:27
Posté par mani (invité)

1ere réponse:
AI=25/7
2eme réponse:
AC=6+7=13
BC=8+7=15
re : Enigme de clemclem 13**#msg114446 Posté le 15-01-05 à 22:37
Posté par Profilclemclem clemclem Posteur d'énigmes

Bravo à tous.

C'est un sans faute...Je vous réserve plus dur pour mercredi prochain

A plus
re : Enigme de clemclem 13**#msg114460 Posté le 15-01-05 à 23:32
Posté par Fabien (invité)

Plus dur !!!!???

Bin mince !

J'ai cherché pas mal de temps et je n'ai rien pu commencer.
Je vais aller lire les solutions rapidement moi

Challenge (énigme mathématique) terminé .
Nombre de participations : 13
:)100,00 %0,00 %:(
13 0

Temps de réponse moyen : 22:05:11.

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