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fonction Gamma et convergence uniforme

Posté par
robby3 10-01-09 à 19:02

Bonsoir tout le monde, voilà un exercice qui me pose pas mal de soucis:

on sait que la fonction
\large \Gamma:\mathbb{R+*}\longrightarrow \mathbb{R} \\ x\longrightarrow \Bigint_0^{\infty} t^{x-1}exp{-t} dt

j'ai montrer que \large \Bigint_{1/n}^n t^{x-1}exp{-t} dt était de classe C^1 pour tout n\ge 1

voilà les question que je n'arrive pas à faire:

.Montrer que \(\Gamma_n\)_n converge uniformément sur tout segment [a,b]\subset \mathbb{R+*} vers \Gamma
.Montrer que \(\Gamma_n'\)_n converge uniformément sur tout segment [a,b]\subset \mathbb{R+*} vers une fonction F à préciser et en déduire que \Gamma est de classe C^1 sur \mathbb{R+*} de dérivée F.


pour la convergence uniforme:
je regarde \large |\Bigint_{1/n}^n t^{x-1}exp{-t} dt-\Bigint_0^{\infty} t^{x-1}exp{-t} dt| mais je vois pas quoi en faire!

pouvez-vous m'aider à faire ces questions?!

Posté par
ottore : fonction Gamma et convergence uniforme 10-01-09 à 19:14

Bonjour,
que vaut cette différence en terme d'une seule intégrale ?

Posté par
robby3re : fonction Gamma et convergence uniforme 10-01-09 à 19:20

salut otto

Citation :
que vaut cette différence en terme d'une seule intégrale ?

>je comprend pas ce que tu me dis?
tu veux que j'écrise sous la forme d'une seule integrale?? c'est pas les meme bornes déjà!
tous ce que je vois c'est ça:

\large |\Bigint_{1/n}^n t^{x-1}exp{-t} dt-\Bigint_0^{1/n} t^{x-1}exp{-t}dt-\Bigint_{1/n}^n t^{x-1}exp{-t}dt-\Bigint_n^{\infty} t^{x-1}exp{-t}dt|=|\Bigint_{1/n}^0 t^{x-1}exp{-t}dt-\Bigint_n^{\infty} t^{x-1}exp{-t}dt|

et je sais pas si ça sert vraiment à quelque chose!

Posté par
H_aldnoerre : fonction Gamma et convergence uniforme 10-01-09 à 19:22

Bonsoir,


je crois qu'on a \Large \Gamma_n(x)=\Bigint_{0}^{+\infty}t^{x-1}exp(-t)\mathbb{1}_{[\frac{1}{n},n]}(t)dt.

Posté par
robby3re : fonction Gamma et convergence uniforme 10-01-09 à 19:24

salut!
hum hum...oui, mais tu t'en sers comment?

Posté par
ottore : fonction Gamma et convergence uniforme 10-01-09 à 19:24

Presque, je dirais plutot l'indicatrice du complément, ou alors 1-l'indicatrice, ce qui revient au même.

Posté par
ottore : fonction Gamma et convergence uniforme 10-01-09 à 19:26

Oups pardon, ce que tu as dit est bon, je parlais de mettre tout ce qu'il y'a dans la valeur absolue comme une seule intégrale, ce qui reveint à dire ce que j'affirme à 19h24.

Posté par
robby3re : fonction Gamma et convergence uniforme 10-01-09 à 19:29

oui donc tu veux faire \large |\Bigint_0^{\infty} t^{x-1}exp{-t}(\mathbb{1}_{[\frac{1}{n},n]}-1) dt|
non?

Posté par
H_aldnoerre : fonction Gamma et convergence uniforme 10-01-09 à 19:37

Oui, après \Large |\mathbb{1}_{[\frac{1}{n},n]}(t)-1| vaut 0 ou 1 !
Et bien je pense que c'est terminé, car si c'est 0, c'est en particulier finie pour tout x de \Large [a,b] et donc aussi pour le sup. Si c'est 1, on retombe sur la fonction Gamma qui est une intégrale impropre convergente!

A vérifier quand même.

Posté par
robby3re : fonction Gamma et convergence uniforme 10-01-09 à 19:44

on dit ça:

5$ |\Bigint_{1/n}^n t^{x-1}exp{-t}dt-\Bigint_0^{\infty} t^{x-1}exp{-t}dt|=|\Bigint_0^{\infty} t^{x-1}exp{-t}(\mathbb{1}_{[\frac{1}{n},n]}(t)-1)dt\le \Bigint_0^{\infty} |t^{x-1}exp{-t}||(\mathbb{1}_{[\frac{1}{n},n]}(t)-1)|dt

si ça vaut à ok!
si ça vaut 1 le machin, je vois pas ce qu'on dit...

Posté par
H_aldnoerre : fonction Gamma et convergence uniforme 10-01-09 à 20:04

J'avoue, y'a comme un hic!
Dans ce cas peut-être reprendre l'idée d'otto en écrivant \Large |\mathbb{1}_{[\frac{1}{n},n]}(t)-1|=\Large |1-\mathbb{1}_{[\frac{1}{n},n]}(t)|=\Large \mathbb{1}_{[\frac{1}{n},n]^c}(t) ?

Posté par
robby3re : fonction Gamma et convergence uniforme 10-01-09 à 20:50

t'es sur que c'est le complémentaire?
si t'es sur alors c'est réglé, mais j'ai un petit doute!

Posté par
H_aldnoerre : fonction Gamma et convergence uniforme 10-01-09 à 21:18

Oui! \Large \mathbb{1}_A=1-\mathbb{1}_A^c

Posté par
H_aldnoerre : fonction Gamma et convergence uniforme 10-01-09 à 21:21

Et on a aussi \Large \Large |1-\mathbb{1}_{[\frac{1}{n},n]}(t)|=1-\mathbb{1}_{[\frac{1}{n},n]}(t) !

Posté par
robby3re : fonction Gamma et convergence uniforme 11-01-09 à 00:43

ok donc c'est bon pour le premier point!

par contre pour la dérivée,ça parait encore plus compliqué!
j'y réfléchis encore!

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : fonction Gamma et convergence uniforme 11-01-09 à 01:13

Bonsoir ;

Sauf erreur de ma part je crois que pour tout entier n\ge1 et tout x\in[a,b] on a 3$\fbox{0\le\Gamma(x)-\Gamma_n(x)\le\int_{0}^{\frac{1}{n}}t^{a-1}e^{-t}dt+\int_{n}^{+\infty}t^{b-1}e^{-t}dt}

Posté par
robby3re : fonction Gamma et convergence uniforme 11-01-09 à 12:35

oui Elhor, cf mon message de 19:20...mais je vois pas ce qu'on en fait!

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : fonction Gamma et convergence uniforme 11-01-09 à 12:55

Non robby3 ce n'est pas la même chose que ton message de 19:20 :

la majoration que je donne est valable pour tout x\in[a,b] et on a donc 3$\fbox{\sup_{x\in[a,b]}\left|\Gamma(x)-\Gamma_n(x)\right|\;\le\;\int_{0}^{\frac{1}{n}}t^{a-1}e^{-t}dt+\int_{n}^{+\infty}t^{b-1}e^{-t}dt}
et le membre de droite tend vers 0 quand n\to+\infty car les deux intégrales \int_0^1t^{a-1}e^{-t}dt et \int_1^{+\infty}t^{b-1}e^{-t}dt sont convergentes

Posté par
robby3re : fonction Gamma et convergence uniforme 11-01-09 à 13:05

alors là je ne comprend absolument pas!

ma premiere question:

comment tu obtiens que 5$ 0\le \Gamma(x)-\Gamma_n(x)\le \Bigint_0^{1/n}t^{a-1}exp{-t}dt+\Bigint_n^{\infty} t^{b-1}exp{-t}dt \\ ??
par ailleurs,
je ne comprend pas pourquoi là,maintenant,on peut faire tendre n vers l'infini et conclure par la convergence des Deux integrales que tu rappelles...
en fait,je ne comprend pas en quoi la convergence de ces deux integrales permet de dire que le membre de droite tend vers 0

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : fonction Gamma et convergence uniforme 11-01-09 à 14:44

Je te laisse un peu chercher pourquoi

Posté par
robby3re : fonction Gamma et convergence uniforme 11-01-09 à 15:25

et bien, j'ai ça:

5$ \Bigint_0^{\infty} t^{x-1}exp{-t}dt-\Bigint_{1/n}^n t^{x-1}exp{-t}dt=\Bigint_0^{1/n}t^{x-1}exp{-t}dt+\Bigint_n^{\infty} t^{x-1}exp{-t}dt \le \Bigint_0^{1/n}t^{x-1}exp{-t}dt+\Bigint_n^{\infty} t^{b-1}exp{-t}dt
je comprend pas le a dans le membre de droite premiere integrale.

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : fonction Gamma et convergence uniforme 11-01-09 à 17:43

Et bien dans la première intégrale la variable d'intégration varie dans ]0,1] non ?

Posté par
robby3re : fonction Gamma et convergence uniforme 11-01-09 à 18:03

ah d'accord! je viens de comprendre!
ok pour cette majoration!
c'est vrai aussi pour le sup,je suis d'accord.
ensuite,je suis ok avec ton message de 12:55 donc c'est bon! tout roule!!
Merci Elhor!

c'est la meme histoire pour \large \Gamma'_n(x)=\Bigint_{1/n}^n t^{x-1}ln(t)exp{-t}dt non?

merci déjà de ton aide!

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : fonction Gamma et convergence uniforme 11-01-09 à 19:26

Tu commences par justifier la bonne définition de 3$\fbox{F(x)=\int_0^{+\infty}t^{x-1}\ell n(t)e^{-t}dt\;,\;x>0}

puis tu écris 4$\fbox{(\forall n\ge1)\;(\forall x>0)\;,\;F(x)-\Gamm_n^'(x)=\int_0^{\frac{1}{n}}t^{x-1}\ell n(t)e^{-t}dt+\int_n^{+\infty}t^{x-1}\ell n(t)e^{-t}dt}

et en justifiant que 4$\fbox{(\forall n\ge1)\;(\forall x>0)\;,\;\left|F(x)-\Gamm_n^'(x)\right|\le\int_n^{+\infty}t^{x-1}\ell n(t)e^{-t}dt-\int_0^{\frac{1}{n}}t^{x-1}\ell n(t)e^{-t}dt}

tu montres en t'inspirant de ce qu'on a fait ci-dessus que 4$\fbox{\sup_{x\in[a,b]}\left|F(x)-\Gamm_n^'(x)\right|\;\displaystyle\to_{n\to+\infty}\;0} sauf erreur bien entendu

Posté par
robby3re : fonction Gamma et convergence uniforme 11-01-09 à 22:09

alors pour justifier F(x), j'utilise un théoreme et des équivalent...donc y'a pas trop de problemes!

pour la 2eme ligne,pas de probleme non plus!
la 3eme, je pense que ça peut aller...
finalement,je crois que c'est bon!
Merci Elhor!!

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : fonction Gamma et convergence uniforme 11-01-09 à 22:44

Je t'en prie robby3

Posté par
robby3re : fonction Gamma et convergence uniforme 12-01-09 à 14:33

euhh je reviens là-dessus, en fait, est-ce qu'on avait besoin de la convergence uniforme de \(\Gamma_n\)_n pour montrer que \Gamma était C^1??

(parce que suite à ce qu'on vient de faire,j'en déduis que \Gamma est C^1 sur ]0,+\infty[ de dérivée F ...)


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