Problême de convexité dans les ensembles vectoriels

Posté par Carlos51 Carlos51

Bonjour à tous !

Je sèche sur une des questions d'un DM sur les sous espaces vectoriels. Si vous pouviez m'aider

PARTIE B :

Dans cette partie on s'intéresse aux fonctions convexes de E, avec E ensemble des fonction de classe C³ sur et vérifiant l'équation différentielle y'''(x)-3y''(x)-y'(x)+3y = 0. On pose H l'ensemble des fonctions convexes de E. Enfin on considère une fonction f de la forme f(x)= ae^-x+be^x+ce^3x avec (a,b,c)³

1) H est-il sous espace vectoriel de E ?
En fait c'est sur cette question qu'on sèche vraiment. Là on a bien besoin d'un peu d'aide.

2) Montrer que si a, b et c sont positifs, fH
Réussie

3) Montrer que si a<0, f"pas" à H
Notre résolution à vérifier :
f''(x) = ae^-x+be^x+9ce^3x
On cherche s'il existe des solutions pour f''(x)<0
ae^-x+be^x+9ce^3x < 0
ae^-4x+be^-2x+9c < 0
On pose e^-2x=X
aX²+bX+9c < 0
Le signe de a étant négatif, il existera, quel que soit le signe du discriminant, une infinité de valeurs de x vérifiant l'équation ( si <0 et l'intervalle extérieur des racines si >0).

4) Question et résolution semblable à 3)

5) Dans cette question, on suppose que a=0, montrer que fH <==> b0 et c0
Solution à vérifier :
f''(x) = be^x+9ce^3x > 0
b+9ce^2x > 0
On pose e^x=X
b+9cX² > 0
Pour que le polynome soit positif, il faut que que le polynome soit du signe de b avec b positif et que le discriminant soit négatif.
=-4*b*36c
Or b>0 donc pour <0, il faut c>0

6) Question et résolution semblable à 5)

Posté par Carlos51 Carlos51

J'ai pas trouvé la fonction "éditer" alors je poste ici pour corriger les erreurs dans l'énoncé. Désolé.

2) Montrer que si a, b et c sont positifs, fH *

3) Montrer que si a<0, fH *

Posté par Nightmare Nightmare

Salut

Pour la 1) tout ce qu'il faut vérifier, c'est que la loi + est interne, ie que si l'on prend deux fonctions convexes de H alors leur somme est dans H. On sait déjà qu'une somme de deux fonctions convexes est convexe, il suffit alors juste de vérifier que la somme de deux solutions de E est encore une solution de E. L'équadiff étant linéaire, ça ne me semble pas difficile