Matrices

Posté par ceb ceb

Bonsoir, j'ai dans un DM un exercice sur les matrices.
Soit A=  0   1/2  1/2    et P= 1  1  1
         1/2   0   1/2          1 -1  0
         1/2  1/2   0           1  0 -1

On doit dans la première question montrer que P^-1AP est une matrice diagonale, pas de problème, mais la question deux demande d'en déduire pour tout n appartenant à N la matrice A^n par ses éléments.

Pour moi c'est A^n=P-1A^nP mais un problème se pose alors aux questions suivantes on pose u0, v0 et w0 trois nombres réels positifs ou nuls tels que u0+v0+w0=1.
On note X_0=(u0,v0,w0) et X_n=(u_n,v_n,w_n) la matrice colone définie par X_n+1=AX_n
On a montré que X_n=A^nX_0.

Il faut en déduire que pour tout n appartenant à N on a U_n = 1/3 + (U_0 - 1/3)(-1/2)^n
                                                        V_n = 1/3 + (V_0 - 1/3)(-1/2)^n
                                                        W_n = 1/3 + (W_0 - 1/3)(-1/2)^n

Je pars de X_n=A^nX_0 d'où U_n = A^n * U_0 = P^-1A^nP * U_0 ?

A partir de là je ne vois pas comment me servir de A^n en fait !

Si quelqu'un pouvait m'aider ce serait gentil !

Merci par avance !

Posté par Nightmare Nightmare

Salut

Bon c'est assez illisible donc j'explique la démarche sans avoir lu ce que tu as fait.

Tu as prouvé que où D est diagonale.
Ceci s'écrit encore
D'où :


Il te suffit donc de calculer D^n, rien de difficile

Posté par ceb ceb

Merci, mais ensuite je cherche à montrer les équations U_n, Vn_n et W_n n grâce à un système à trois équations sachant que Xⁿ=AⁿX₀, c'est ça ?

Posté par Nightmare Nightmare

C'est bien ça.