Fonction-Tangente

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Fonction-Tangente

Posté le 14-01-09 à 18:24

Posté par lebigup

bonjour,
J'ai un Devoir a la Maison a faire en math biensure mais j'ai une petit problème, je n'arrive même pas a débuter l'exercie ci-dessous:

Soit la fonction f définie sur R -{3} par: f(x)=(2x+1)/(x-3).
1. Déterminer l'équation réduie de la tangente a la courbe C représentative de f en un point M0(x0;y0), ou x different de 3.
2. Existe-t-il des tangentes a la courbe C passant par l'origine O du repere ?
3. Si c'est les cas déterminer l'abscisse de chacun de ces points et l'équation réduite de la tangente a C en chacun d'eux .

Merci beaucoup pour votre aide ( en avance )

re : Fonction-Tangente

Posté le 14-01-09 à 18:52

Posté par pythamede

Une équation de la tangente au point d'abscisse a de la courbe représentative de la fonction f est :

y=f(a)+f'(a)(x-a)

L'équation réduite est donc :

y=[f'(a)] x + [f(a)-af'(a)]

C'est 100% du cours ! Une formule à connaître par coeur ! Donc, la prochaine fois, apprend ton cours avant de faire tes devoirs, car en général, les devoirs sont l'aplication du cours !

re : Fonction-Tangente

Posté le 14-01-09 à 18:53

Posté par pythamede

Désolé pour la faute d'orthographe : je voulais dire "l'application du cours", cela va sans dire !

re : Fonction-Tangente

Posté le 14-01-09 à 19:16

Posté par lebigup

Je suis bien d'accord je connais cette formule et moncours aussi ! Mais je ne sais pas vraiment commant l'appliquer.
Si c'était un point précis je "remplacerais" en calculant biensure le a de la formule par le chiffre donné mais c'est M0 je sais pas si je dois utiliser 0 (zéros) ou autre ?

re : Fonction-Tangente

Posté le 14-01-09 à 19:39

Posté par pythamede

L'abscisse de M0 est x0 ! C'est tout ce qu'il y a de plus précis ! C'est inconnu, certes ! Mais qu'importe ? C'est x0, voilà tout !
Donc l'équation de la tangente au point M0 est

y=[f'(x0)] x + [f(x0)-x0*f'(x0)]

Bien entendu, cela suppose que tu as déterminé la formule donnant la dérivée : f'(x)=... Lorsque ce sera fait tu pourras remplacer dans l'équation ci-dessus l'expressions de f'(x0) par ce que tu auras trouvé, et l'expression de f(x0) par la définition de la fonction : f(x0)=(2x0+1)/(x0-3)

On n'est pas obligé de te donner un nombre : 2, 10, ou 100 pour x0 ! Tu dois être capable de faire des calculs sur x0 même si tu ne connais pas la valeur de x0 ! C'est exactement ce que l'on te demande !

re : Fonction-Tangente

Posté le 14-01-09 à 20:01

Posté par lebigup

J'ai fais se que vous dit et je trouve pour y= -7/9x-1/3 se qui me parait un peu bizarre est se que sa pourrai être possible ??
merci

re : Fonction-Tangente

Posté le 15-01-09 à 07:57

Posté par pythamede

C'est impossible a priori que cela ne dépende pas de x0 ! L'équation de la tangente en x0 dépend évidemment de x0. Mais tu as quand même compris un peu, car l'équation que tu as trouvée (y= -7/9x-1/3) est bien celle de l'une des tangentes à la courbe. Je te donne la solution :

$f(x)=\frac{2x+1}{x-3}$

$f'(x)=\frac{-7}{(x-3)^2}$

Equation de la tangente en $(x_0, f(x_0))$ :

$y=[f'(x_0)] x + [f(x_0)-x_0f'(x_0)]$

$y=[\frac{-7}{(x_0-3)^2}] x + [\frac{2x_0+1}{x_0-3}-x_0\times \frac{-7}{(x_0-3)^2}]$

$y=[\frac{-7}{(x_0-3)^2}] x + [\frac{(2x_0+1)(x_0-3)}{(x_0-3)^2}-x_0\times \frac{-7}{(x_0-3)^2}]$

$y=[\frac{-7}{(x_0-3)^2}] x + [\frac{(2x_0+1)(x_0-3)+7x_0}{(x_0-3)^2}]$

$y=[\frac{-7}{(x_0-3)^2}] x + [\frac{2x_0^2+2x_0-3}{(x_0-3)^2}]$

Il ne faut pas confondre x et $x_0$ : x c'est la même variable que tu retrouves dans l'équation de droite y=ax+b. A et b étant constants, on fait varier x, et donc y avec lui selon la formule y=ax+b, pour obtenir tous les points (x,y) de cette droite-là. Par contre $x_0$ , c'est la valeur de l'abscisse du point de la courbe dont l'équation est celle de la tangente en ce point. C'est peut-être parce que j'ai appelé $x_0$ l'abscisse du point en question que tu fais la confusion. J'aurais pu l'appeler p, par exemple :

l'équation de la tangente au point d'abscisse p de la courbe est
$y=[\frac{-7}{(p-3)^2}] x + [\frac{2p^2+2p-3}{(p-3)^2}]$

Par exemple, pour obtenir l'équation de la droite tangente au point d'abscisse 0 (et d'ordonnée f(0), bien sûr), il n'y a qu'à remplacer $x_0$ par 0 dans cette formule :

$y=[\frac{-7}{(x_0-3)^2}] x + [\frac{2x_0^2+2x_0-3}{(x_0-3)^2}]$

En remplaçant $x_0$ par 0, on obtient :

$y=[\frac{-7}{(0-3)^2}] x + [\frac{2\times 0^2+2\times 0-3}{(0-3)^2}]$

$y=[\frac{-7}{9}] x + [\frac{-3}{9}]$

$y=[\frac{-7}{9}] x + [\frac{-1}{3}]$

Tu vois donc que la droite que tu as trouvée n'est pas l'équation de la tangente en $x_0$ quelconque, elle est l'équation de la tangente au point d'abscisse 0. A quoi cela sert-il d'avoir fait tous les calculs avec $x_0$ au lieu de 0 ? Pour avoir l'équation de la tangente au point d'abscisse 0, j'aurais pu dès le début calculer f(0) et f'(0) et faire les mêmes calculs ; je serais parvenu directement à l'équation que tu as trouvée : $y=[\frac{-7}{9}] x + [\frac{-1}{3}]$ . Seulement, si ensuite je veux savoir l'équation de la tangente au point d'abscisse 1, je dois tout recommencer. Et si ensuite je veux savoir l'équation de la tangente qu point d'abscisse 2, je dois tout recommencer encore une fois. En faisant les calculs avec une variable $x_0$ , les calculs restent valables quelle que soit la valeur de $x_0$ . Pour avoir l'équation de la tangente au point d'abscisse 0, je remplace $x_0$ par 0 dans l'équation :

$y=[\frac{-7}{(x_0-3)^2}] x + [\frac{2x_0^2+2x_0-3}{(x_0-3)^2}]$

Pour avoir l'équation de la tangente au point d'abscisse 1, je remplace $x_0$ par 1 dans cette même équation.
Pour avoir l'équation de la tangente au point d'abscisse 2, je remplace $x_0$ par 2 dans cette même équation.

A présent, quel que soit le $x_0$ que tu vas choisir, tu auras immédiatement l'équation de la tangente au point d'abscisse $x_0$ . Et surtout, tu peux désormais répondre à la question suivante.

"2. Existe-t-il des tangentes a la courbe C passant par l'origine O du repere ?"

Comment sait-on si une droite d'équation y=ax+b passe par l'origine ? Il suffit de regarder la valeur de la constante b ! Si b=0, la droite passe par l'origine. Si b n'est pas nul, la droite ne passe pas par l'origine !

Comme l'équation de nos tangentes est :

$y=[\frac{-7}{(x_0-3)^2}] x + [\frac{2x_0^2+2x_0-3}{(x_0-3)^2}]$

le coefficient directeur a vaut $a=[\frac{-7}{(x_0-3)^2}]$ et le coefficient b que l'on appelle l'ordonnée à l'origine vaut $b=[\frac{2x_0^2+2x_0-3}{(x_0-3)^2}]$

La question "la tangente en question passe-t-elle par l'origine ?" se traduit par "b est-il égal à 0", c'est à dire $[\frac{2x_0^2+2x_0-3}{(x_0-3)^2}]$ est-il égal à 0.

Pour trouver les valeurs de x_0 pour lesquelles la tangente en x_0 passe par l'origine, il suffit de résoudre l'équation :
$[\frac{2x_0^2+2x_0-3}{(x_0-3)^2}]\,\,=\,\,0$
Ceci se ramène à :

$2x_0^2+2x_0-3\,\,=\,\,0$

Ceci est un trinôme du second degré dont il est facile de trouver les racines.

re : Fonction-Tangente

Posté le 15-01-09 à 19:35

Posté par lebigup

Merci beaucoup de votre aide j'ai presque tout compris comme j'ai trouvé la reponse a la 2 mais par contre moi j'ai trouvé a l'équation -12x0 la ou vous vous avez trouvé 2x0 et j'ai refait mon calcul mais je ne trouve pas d'erreur ? et a la fin j'ai exactement le même resultat que vous.

Merci encore pour votre aide, mais je vais peut être encore vous embéter un peu plus tard car j'ai un autre exercice pas similaire mais dans le même contexte donc si j'ai un probleme. LOL

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