Uniforme continuité

Posté par Barth Barth

Bonjour à tous, premier message sur le forum, j'espère que ça portera ses fruits !^^

Alors voici mon problème: je dois démontrer si: (f uniformément continue sur tout segment de R => f uniformément continue sur R) est vraie ou fausse (si c'est faux, il faut juste un contre-exemple bien sûr).

J'ai déjà montré que l'implication était vraie pour la continuité (avec la contraposée) et je ne trouve pas de contre-exemple, j'ai donc l'intuition qu'elle est vraie !^^

Cela dit, je n'y arrive vraiment pas alors si quelqu'un pouvait juste me donner une piste ce serait super! (sachant que ça fait 1h que je planche sur cette question !^^)

D'avance merci,

Bart.

Posté par antho07 antho07

La fonction carrée est continue sur tout segment de R donc uniformement continue sur tout segment de R.
(A justifier)


Cependant, est-elle uniformement continue sur R?

Posté par carpediem carpediem

salut

essaie avec e^x sur R
ou plus simplement x² sur R⁺...

Posté par Barth Barth

merci Antho, tu as parfaitement résumé la question que je me pose !^^

Carpediem, c'que tu dis en gros c'est que ma suite d'implications serait:

f u.c. sur tout segment => f continue sur tout segment =>  f continue sur R (déjà prouvé) ≠> f u.c. sur R (cf e^x) ?

Ca a l'air de marcher... Donc j'peux conclure que f u.c. sur tout segment ≠> f u.c. sur R ?

Posté par Barth Barth

Et j'oserais pas vous demander pour la croissance (pour celle-là on s'y est mis à plusieurs et rien n'est ressorti... ) ?

Posté par Nightmare Nightmare

Bonsoir,

je comprends pas beaucoup ta suite d'implication...

Tout ce qu'il faut retenir c'est :

Une application continue sur un segment est uc sur ce segment (Heine)
Une application continue sur tout segment est continue sur R.
Une application uniformément continue sur tout segment n'est pas forcément u.c sur R.

Posté par Barth Barth

merci Nightmare mais ta dernière phrase, c'est précisément ce que je dois montrer !^^ et c'est ce que montrent mes implications en fait !^^
mais j'avais pas d'exemples pour justifier que f continue sur R ≠> f uc sur R (ce sont des "n'implique pas", attention !^^)

Et pour la croissance personne n'a d'idée ?

Posté par 1 Schumi 1 1 Schumi 1

La fonction carrée est un exemple parmi tant d'autres de fonctions continues non uniformément continue.

J'ai pas compris ta question avec la croissance, tu cherches quoi exactement?

Posté par Barth Barth

La fonction carrée ça marche que sur R⁺ !^^

Je dois montrer: f croissante sur tout segment => f croissante sur R

Enfin j'dois dire si c'est vrai ou faux !

Posté par Nightmare Nightmare

Ce n'est pas difficile ! On prend x et y deux réels. f est croissante sur le segment [x,y] donc f(x) > f(y).

Posté par Barth Barth

je suppose que c'était un "<" si tu considères [x;y], mais effectivement ça parait extrêmement simple... Et dire qu'on était 4 dessus, dont 2 très forts...
On devait être trop concentrés sur les trucs difficiles qu'on venait de faire !^^

Le pire c'est que ta preuve me paraît parfait et elle prend une ligne !^^

Merci beaucoup Nightmare !!

Bon puisque les gens de ce forum ont l'air extrêmement sympathique, comme d'habitude je vais abuser de leur sympathie !

Comment feriez-vous avec f k-lipschitzienne (même problème)? Là j'ai fait quelque chose, mais ça me paraît pas super ! :s

Posté par Nightmare Nightmare

.

Il me semble que personne n'avait compris que tu parlais de croissance ...

Sinon oui c'était bien un "<", erratum.

Pour la lipschitzianité c'est faux puisqu'une application lipschitzienne est uniformément continue.

Posté par Barth Barth

Ben non parce que sinon tu dis que toute fonction uniformément continue est continue donc ça serait vrai, or c'est faux !

J'veux dire: j'ai déjà montré que c'est vrai pour f continue et là on vient de montrer que c'était faux pour f uniformément continue donc on peut rien prédire pour f k-lipsch (ni lipsch).

Posté par Nightmare Nightmare

Rien compris...

Posté par Barth Barth

Ok, alors on reprend:

on a: f lipsch => f u.c => f continue

Donc quand tu montres qu'une implication est vraie pour une fonction f continue, ça signifie pas qu'elle est vraie pour f u.c. (si elle est fausse c'est pareil).

Donc c'est pas parce que c'est faux pour f u.c. que c'est faux pour f lipsch., c'est mieux ou j'suis pas du tout clair ?

Posté par Nightmare Nightmare

Ben si justement, tu prends l'implication à l'envers ...

J'ai dit que f lip => f u.c donc si quelque chose est vrai pour une fonction u.c elle l'est pour une fonction lip.
De même si quelque chose est faux pour une fonction u.c c'est faux pour une fonction lip.

Posté par Barth Barth

Alors pourquoi c'est vrai pour f continue et pas f u.c. ?

Si c'est le fait que j'aie pu me tromper dans la preuve que c'était vrai pour f continue le problème (ce qui est possible), le prof nous a montré ce matin une propriété vraie pour une fonction continue mais pas pour f u.c.! Maintenant peut-être qu'ici c'est le cas, mais il faut le prouver quoi !^^

Posté par Nightmare Nightmare

Non en fait je me suis mal exprimé, dit comme ça ce que j'ai dit est effectivement faux.

Voyons ça plutôt comme ça :

On se donne une fonction lipschitzienne sur tout segment. Alors elle est uniformément continue sur tout segment. Supposons qu'elle soit lipschitzienne sur R, alors elle est uniformément continue sur R.

Ainsi, on aurait qu'une fonction uniformément continue sur tout segment serait automatiquement continue sur R, ce qui est faux.

Posté par Barth Barth

Alors là c'est moi qui suis un peu paumé ! Si tu supposes qu'elle est lipsch sur R, j'en déduis qu'tu va faire un raisonnement par l'absurde (sinon t'as pas le droit de supposer ça puisque c'est en gros ce que tu veux montrer), mais c'que j'comprends pas c'est ta conclusion: on a juste montré que si f est lipsch sur tout segment et si elle l'est sur R, alors elle est u.c. sur R, mais quel rapport avec une fonction continue ?

Posté par Nightmare Nightmare

Lire "serait automatiquement uniformément continue sur R".

Posté par Barth Barth

Ah ça me va beaucoup mieux !!^^

Donc tu fais bien un raisonnement par l'absurde, ça m'a pas l'air mal du tout !! merci beaucoup et bonne nuit!^^ (au moins on a eu une discussion intéressante j'trouve!^^)

Posté par frenicle frenicle

Bonjour




J'ai peut-être mal compris, mais j'ai bien peur que tu fasses une erreur de raisonnement.

Ce n'est pas parce que A B C > D, que l'on peut conclure A> D.

Exemple
(X est un carré) (X est un losange) (X est un quadrilatère) > (X est un rectangle)

Et pourtant on a bien

(X est un carré) (X est un rectangle)

Il faut un contre exemple direct d'une fonction uniformément continue sur tout segment de R et pas uc sur R. Bien sûr x² ou exp(x) conviennent très bien pour ça.

Cordialement
Frenicle

Posté par Barth Barth

Ah merci Frenicle, tu réponds parfaitement à ma question et en effet je me trompais ! Je peux donc simplement cité exp (x) comme contre-exemple ?

Posté par frenicle frenicle

Oui, c'est ça qu'il faut faire.