Le champ triangulaire.

Posté par J-P J-P

Un père veut partager un de ses champs entre ses 4 fils. Le champ est en forme de triangle isocèle.

Chaque enfant recevra, une partie ayant un aire représentant exactement le quart de l'aire totale du terrain.

Le plus vieux reçoit une parcelle rectangulaire, le plus jeune reçoit lui une parcelle en forme de triangle isocèle (en vert sur le dessin).

Question: Quel est le périmètre de la parcelle du plus jeune ?
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Bonne chance à tous.

Clôture de l'énigme dimanche.

Posté par PolytechMars (invité)

L'aire du champ etant egale a 10800m² chaque enfant aura 2700m².

En notant x la longueur de la base du triangle vert et est egalement la longueur du rectangle,y la larguer du rectangle et z la hauteur du triangle vert,on a un systeme a trois equations et trois inconnues :
y+z=90
xy=2700
(x+z)/2=2700

qui donne x = 90, y=30 et z=60.

donc le triangle vert a une base de 90m et une hauteur de 60m.
Donc en ramenant à un triangle rectangle en se servant de la hauteur on trouve la longueur du dernier coté :

par consequent le perimetre du triangle vert est :
90+2*75=240m!!

Voila voila, un petit exo pour bien debuter la journee!!

Miaouw

Posté par pietro (invité)

Le périmètre cherché vaut 240 m

Preuve
L' aire de la parcelle du plus jeune = m² = 2700 m²
Appelons 2.a la longueur de la base du triangle isocèle-parcelle et b sa hauteur
On a donc a.b = 2700
Or, par Pythagore, la hauteur du champs vaut 90 m
la hauteur du rectangle est alors de 90 - b
L'aire du rectangle est de 2.a.(90 - b)
2.a.(90 - b) = a.b
2.(90 -b) = b d'où on tire b = 60
de là, a = 45
Le périmètre cherché vaut 2.a + 2.x où x est la longueur des côtés égaux de la parcelle du plus jeune
Pythagore : x = [60² + 45²] = 75
Donc le périmètre = 90 m + 150 m = 240 m

Posté par franz franz

Avec les notations de la figure ci-dessous
en applelant l'aire du rectangle IJKL, chaque fils a une parcelle d'aire et l'aire du triangle initial vaut


CIB est un triangle rectangle en I donc              
L'aire de ABC vaut                                         (1)

L'aire de IJKL vaut
L'aire de CJK vaut
Donc
Donc

L'aire du rectangle IJKL vaut
En combinant l'équation précédante avec l'équation (1) on aboutit à  

La distance

Le périmètre de la parcelle du plus jeune fils vaut donc

Posté par Lopez Lopez

Ma réponse est : périmètre de la parcelle du plus jeune = 240 m
Voilà comment:
On calcule la surface totale, pour cela il nous faut la hauteur h. On sais que   + = donc h = 90 m
Surafce totale = ()/2 = 10800
Donc surface de chaque part est 10800/4 = 2700
D'après le dessin, la base du triangle du plus jeune = longueur du rectangle du vieux = x
hauteur du triangle du plus jeune = 90 - largeur du rectangle du vieux = 90 - y
On = 2700
et /2 = 2700
   - = 5400
d'où x = 90 m et y = 30 m
La parcelle du plus jeune est un triangle isocèle de base 90 m et de hauteur 60 m. Donc le côté isocèle c = = 75 m
D'où périmètre = 75 + 75 + 90 = 240 m

Posté par gilbert (invité)

Soit S la surface du grand triangle. Son demi périmètre est égale à P=540/2 = 270
D'après Héron.
S = (270*(270-240)*(270 -150)²) = 10800
La hauteur du grand triangle est donc égale à H = 2*S/240 = 90.
Soient L et l les dimensions du rectangle et h la hauteur du petit triangle .L*h/2 = L*l donc h= 2*l et comme h+l = H=90, on a h = 60.
L = (S/4) * 2/h = 90
Soit a la longueur du côté égal du petit triangle, et p' son demi périmètre, ona :
p' = 1/2 (2a + 90) = a + 45

J'utilise à nouveau la formule d'Héron dans le petit triangle s = 10800/4 = 2700 = [(a+45) (a-45) 45²] = 45 * (a²- 45²]
a²- 45² = 60²
a²= 15² (4²+3²).
a = 15*5 = 75
Le périmètre du petit triangle est donc égal à 2 p' = 2a +90 = 240

Posté par ericbfd (invité)

Le périmètre de la parcelle du plus jeune est de 240 m.

Posté par manpower manpower

On part avec la formule de Heron :
où a,b,c sont les longueurs des côtés du triangle, p le demi-périmètre et S l'aire.

Dans le grand triangle, p = 540/2 = 270 m (demi-périmètre) puis S = 10800
Ainsi, chaque parcelle aura pour aire 2700 ( en divisant par 4, avec des parts égales ).

D'autre part, l'aire du grand triangle se calcule aussi via S =
ce qui nous permet de trouver la hauteur h relative au côté mesurant 240 m. h =
( résultat qu'on peut aussi aisément trouver par Pythagore dans le demi-triangle ).

Notons enfin x la longueur du rectangle et y la largeur.
L'aire du rectangle est : xy = 2700
L'aire du triangle vert est :
D'où le système :
L'unique solution est x = 90 et y = 30.
Ainsi la base du triangle vert est x = 90 m et sa hauteur relative est 90-y=60 m.
Reste à appliquer une fois le théorème de Pythagore dans un demi-triangle vert pour prouver
que les deux autres côtés du triangle mesurent 75 m ( )

Les côtés du triangle vert ( parcelle du plus jeune ) sont donc : 90m, 75m et 75m.

Conclusion: Le périmètre vaut ( 90 + 75 + 75 )

Bon, c'est fort peu élégant mais ça marche.
Par contre, il existe peut-être une solution donnant directement le périmètre
(sans le calcul des trois longueurs des côtés, mais je n'ai pas trouvé l'astuce...)

Posté par DiabloBoss (invité)

Le perimetre est de 240m

Posté par isisstruiss isisstruiss

La hauteur du champs à partager vaut
L'aire totale à partager est donc 90*120=10800 et la part à chaque fils sera de 2700.
Si le champs rectangulaire a comme côtés x (sur la face du triangle de longueur 240) et y, on a xy=2700.
L'aire du triangle vert vaut (90-y)x/2=45x-xy/2=45x-1350=2700
D'où on en tire que la base du triangle vert vaut x=90 et que sa hauteur vaut 90-30=60. Par Pythagore on a son côté: c²=60²+45² => c=75

Finalement le périmètre du triangle vaut P=2c+x=240.

Mes calculs sont tout sauf beaux, mais je viens de rentrer de vacances et j'ai du retard sur les énigmes, alors je fais un peu à la va-vite...

Isis

Posté par daniel12345 (invité)



  Bonjour

    Périmètre du triangle : 2*75+90 = 240 m .

Posté par papé (invité)

Bonjour
J'ai trové:2*2925+60
A bientôt

Posté par AznViet (invité)

Etant donné que le périmètre de la parcelle totale du terrain est de 150m+150m+240m, ce qui est égal à 540m, et que le père donne 1/4 de cette parcelle de terrain à chacun de ses quatre fils, le calcul est donc de 540/(1/4)= 540/4=135m. Le périmètre que chacun des fils, le plus jeune y compris est de 135m

Posté par Nofutur2 Nofutur2

Je calcule la surface du grand triangle à l'aide de la formule de Héron
S= 10 800..Chaque part fera donc 2 700.
Le petit triangle et le rectangle ayant même surface, la hauteur du triangle est égale à deux fois la largeur du rectangle.
Comme la hauteur du grand triangle est égale à 90, la hauteur du petit triangle est égale à 60 et sa base 90.
Pour calculer les côtés égaux du petit triangle, j'utilise à nouveau la formule de Héron et je trouve que chaque côté est égal à 75.
Le périmètre de la parcelle du plus jeune (le petit triangle) est donc égal à :
90 + 75 + 75 = 240

Posté par geant (invité)

le périmètre de la parcelle du plus jeune est de 200 m.

Posté par mani (invité)

Réponse =240m
explications:
AL=240/2=120
AL²+CL²=AC²
Donc
CL=(150²-120²) ^ 0,5=(22500-14400)^0,5= 90
CL=90 m
L'aire GEFH=L'aire CEG
EF*FH=EG*CK
Ou
EF*FH=FH*(90-KL)/2=FH*(90-EF)/2
Donc
2EF=90-EF
ou
EF=30m
Donc
CK=90-30=60
L'aire ACEF=L'aire ACL/2=L'aire ACL-L'aire CKE -L'aire EFKL
L'aire ACL=90*120/2= 5400 m²
L'aire CKE=EK*CK/2=EK*60/2=30EK
L'aire EFKL=EF*EK=30EK
Donc:
5400/2=2700=5400-30EK-30EK
donc EK=45
FH=EG=45*2=90
CE²=CK²+EK²
CE=(60²+45²)^0,5=75
Périmètre CEG=EG+CG+CE=75*2+90=240m

Posté par Fabien (invité)

Je nomme les trois sommets: B celui de gauche, A celui du haut, et C celui de droite

L'aire d'un triangle dont on ne connait que la mesure des trois cotés a, b et c est :



Ce qui donne pour le terrain du vieux:

= 10800

La hauteur issue de A va s'écraser en face sur [BC] en H

AH =
AH = 90m

Donc chaque parcelle a une aire de A/4 = 2700

Je nomme ensuite x la largeur du rectangle et y sa hauteur
h est la hauteur du triangle inscrit dans le premier

Les quatres parcelles ont la même aires:
Ce qui donne le système d'équation suivant:

(1) x*y = 2700
(2) = 2700
(3) y+h = 90

de (3), on tire: y = 90-h
En remplacant dans (1): x(90-h) = 2700
Et enfin en remplacant dans (2):

= 2700

Ce qui donne h = 60m

De la on en déduit y et x;
y = 90-h = 90-60
y = 30m
x = 2700/30
x = 90m

la base de la parcelle du plus jeune vaut donc:
= 75m

il ne reste plus que le coté du triangle:
Avec ce brave Pythagore qui ne c'était pas lever pour rien ce matin la:

= 75m


Et voila, le périmère final est donc:

150+75+30+75 = 330 mètres

Je suis désolé j'aurais bien utiliser LATEX pour le système d'équations mais je n'ai absolument pas compris les exemples !

Posté par gwa (invité)

Aire du grand triangle = 18000 m², donc chacun aura 2700 m².

En exprimant l'aire du petit triangle en fonction de x (base) et y (hauteur) :
At =  1/2*x*y = 2700

Aire rectangle = x(90-y)=2700

=> x = 90 m, et y = 60 m.

Le perimètre est donc de 240 m.

Posté par xWiBxRaYmAn0o7x (invité)

j'ai trouvé un perimetre de 180m...
g droit a 1 smyley ? =)

Posté par H_aldnoer H_aldnoer

voila la reponse
posons x hauteur du triangle isocele en vert
       y le plus petit coté du rectangle
       z le plus grand coté du rectangle

Premierement, sachant que la base du grand triangle isocele vaut 240 (donc 1/2*base = 120) et que les cotes de ce meme triangle vallent 150, en utilisant Pythagore on en deduit que la hauteur du grand triangle isocele est 90 (120²+ x² = 150², soit x=90).
Puis, avec les inconnus ainsi posés on doit resoudre le systeme suivant :

x+y (hauteur du triangle isocele en vert+le plus petit coté du rectangle)= 90
xz (hauteur du triangle isocele en vert*le plus grand coté du rectangle)= 5400
yz (le plus petit coté du rectangle*le plus grand coté du rectangle) = 2700

le systeme alors resolu donne :
x = 60
y = 30
z = 90

cherchant le perimetre du triangle vert, on utilise une nouvelle fois Pythagore (z/2)²+x² = w² avec w cote du triangle isocele vert
l'application numerique donne w = 75 soit le perimetre du triangle isocele : 2w + z = 240
voila ciao

Posté par simonosaxo (invité)

hauteur du grand triangle isocèle,Pythagore:
150²-120²=90
Aire totale du champ:b*h/2=90*240/2=10800u²
Aire de la parcelle de chacun des frères:10800/4=2700u²
Soit x la longueur du rectangle
soit y la largeur du rectangle
xy=2700
aire du triangle vert=(x(90-y))/2=90x/2-xy/2
45x-xy/2=2700
or xy=2700 donc 45x-2700/2=2700
45x=4050
x=90
xy=2700
90y=2700
y=30
Donc la hauteur du traingle vert h=90-30=60
la moitié de la longueur du rectangle est égale à 45.
D'après pythagore dnas le trinagle formé par la hauteur du traingle vert,l'un des ses 2 côtés j et de la moitié de la longueur du rectangle
j=45²+60²=75
Donc le périmètre du rectangle P=2*75+90=240

Posté par DivXworld (invité)

grace a pythagore on trouve que l'aire totale du champ est de 10800m²
il faut donc partager le champ en 4 parties de 2700m²

le seul cas permettant au rectangle et au triangle isocèle d'avoir une aire égale de 2700m² est une largeur de 30m pour le rectangle (et donc une hauteur de 60m pour le triangle) et une longueur de 90m pour le rectangle (une base de 90m pour le triangle)

avec ces dimensions, le triangle isocèle a pour périmètre : P=90+(60²+45²)+(60²+45²)
P=240m

en espérant ne pas m'etre trompé

Posté par jetset (invité)

H= hauteur du grand triangle isocèle = 90 (via Pythagore)
Surface d'une part = (240.90/2).4=2700 m²

S(rectangle) = L.l
S(petit triangle) = L.h/2
Or, h=90-l
D'où 2.L.l = L.(90-l) <=> l=30m
D'où h= 60m et L=90m

Par ailleurs, si on note c côté du petit triangle isocèle alors h²+(L/2)² = c² d'où c=75m

Le périmètre du petit triangle isocèle est donc de 2.75+90=240m

Posté par André (invité)

240 mètres = (2*75)+ 90    60 mètres de hauteur

Posté par fanpsg (invité)

le perimetr de la parcelle du jeune est 240m

Posté par Poussin (invité)

Le périmètre de la parcelle du plus jeune est : 240 m

Posté par Florus (invité)

le perimettre du champs du plus jeune et de 240 m

Posté par J-P J-P

Bravo, beaucoup de bonnes réponses.

La réponse attendue était 240 m.

Certaines réponses sont assez détaillées pour m'exempter d'explications complémentaires.

Posté par Fabien (invité)

Je me suis trompé de parcelle a calculer !!!

J'ai calculé celle en forme de faucille, l'une des deux extremes, ca revient au même et il y avait quelques calculs suplémentaires même.

Vous pouvez pas faire un petit geste ... mais je pense que ca sera
Mais si ca pouvait être le cas, ca serait

Je suis dégouté, mais peut importe remarque ...

Posté par J-P J-P

Tu as bien deviné Fabien, je ne peux pas t'accorder un Smiley puisque tu n'as pas répondu à la question posée.

C'est clair que cela est du uniquement à la distraction, mais ...

Posté par geant (invité)

moi j'ai jamais eu de smiley 'mais je collectionne les poisson.mais je garde espoire.