Approximation affine d'une fonction parabolique

Posté par anto2b anto2b

Bonjour je suis coincé sur un exercice

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A) Approximation affine d'une fonction parabolique au voisinage de 0 :

1. Tracer la courbe représentative de la fonction ¦ : x a(1 + x)2 sur
l'intervalle [-4 ; 2].

2. Développer f(x).

3. Lorsque x est voisin de 0, lequel des 3 nombres suivants est le plus petit : 1 ; 2x ; x² ? Calculer la limite de x² lorsque x tend vers 0.

4. On veut approximer la fonction ¦, au voisinage de 0, par une fonction affine(1) g. Que proposer pour g ?
Tracer la représentation graphique de g.

5. Démontrer que ¦(x) g(x) pour tout x.

6. Calculer l'erreur commise ( ¦(x) - g(x) ) lorsque x = 0,1 ; 0,01 ; 0,001.

7. Application : calculer (de tête) une approximation de 1,022. Quelle est l'erreur commise ?
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Merci de votre aie ...

Posté par anto2b anto2b

La 1 et la 2 pas de probleme

Mais sur la question 3) je bloque, pouvez vous m'aider ?
Merci

Posté par Nicolas_75 Nicolas_75

Bonjour,

3. Prend des valeurs proches de 0 (0,1, 0,01, 0,001) et regarde...
puis démontre.

Posté par anto2b anto2b

f(0.001) = 1.002
f(0.01) = 1.02
f(0.1) = 1.2

Et apres pour démontrer comme je fais ?

Posté par Nicolas_75 Nicolas_75

3. On ne te demande pas de calculer l'image par f !
As-tu lu l'énoncé ? ???

f n'intervient pas !

Posté par anto2b anto2b

Mais il faut faire intervenir koi alors ?

Posté par Nicolas_75 Nicolas_75

lequel des 3 nombres suivants est le plus petit : 1 ; 2x ; x² pour x = 0,1 ?
lequel des 3 nombres suivants est le plus petit : 1 ; 2x ; x² pour x = 0,01 ?
lequel des 3 nombres suivants est le plus petit : 1 ; 2x ; x² pour x = 0,001 ?
Donc quelle est la position relative de 1, 2x et x² quand x est proche de 0 ?
Démontre-le.

Posté par anto2b anto2b

- Si  x =0,001 alors  1 > 2x > 2x²
- Si  x =0,01 alors  1 > 2x > 2x²
- Si  x =0,1 alors  1 > 2x > 2x²

Posté par anto2b anto2b

Mais comment fait on pour la position relative pouvez vous me faire un exemle avec 2x svp ?

Posté par Nicolas_75 Nicolas_75

Montrons que, si 0 < x < 1/2, alors x² < 2x < 1

Pour cela, il faut montrer que :
(i) x² < 2x
(ii) 2x < 1

(ii) est évident.

Attaquons-nous à (i)
2x-x² = x(2-x) > 0
donc (i) est démontré.

Posté par anto2b anto2b

c'est tout ce que jai a faire pour la 3) ??

Posté par Nicolas_75 Nicolas_75

Il faut encore répondre à

Posté par anto2b anto2b

lim x² quand x tend vers 0  = 0 Est ce que c'est bon ??

Posté par Nicolas_75 Nicolas_75

Oui. car x² = x*x est le produit de deux expressions tendant vers 0.

Posté par anto2b anto2b

pour la

Posté par anto2b anto2b

pour la 4) mais fonction doit avoir la forme g(x) = ax + b ?

Posté par anto2b anto2b

pour la 4) ma fonction doit avoir la forme g(x) = ax + b ?

Posté par Nicolas_75 Nicolas_75

Ton cours sur la dérivation doit indiquer comment trouver ce genre d'approximation affine.

Posté par anto2b anto2b

Je naarive pas a trouve g(x) , quels sont les etapes svp ?

Posté par Nicolas_75 Nicolas_75

As-tu oui ou non un paragraphe "approximation affine" dans ton cours sur la dérivation (si "non", cela va être difficile de répondre à cette question)

Posté par anto2b anto2b

Si f est dérivable en x0, alors la fonction affine dont la courbe représentative est la tangente en M0 à F est une "bonne" approximation affine de f(x) au voisinage de x0

Posté par Nicolas_75 Nicolas_75

OK. Ton cours doit en donner l'équation.

Posté par anto2b anto2b

Equation de la tangente : y = f(a) + f'(a) (x-a)

Posté par anto2b anto2b

Je dois calculer la dérivé de f(x) ?

Posté par Nicolas_75 Nicolas_75

Oui.

Posté par anto2b anto2b

mais en a = ?

Posté par Nicolas_75 Nicolas_75

L'énoncé est clair : "au voisinage de 0", a=0

Posté par anto2b anto2b

Alors :

f(a+h) - f(a) / h =

(1+h)²-(1+0)²/h =

2h + h² / h = 2 +h

lim 2 + h quand h tend vers 0 = 2

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c'est bon ??  

Posté par Nicolas_75 Nicolas_75

Tu viens d'écrire que f'(0)=2.
Mais quel est le "a" présent dans l'expression de f(x) dans l'énoncé ?

Posté par anto2b anto2b

Pour la 4)

Posté par anto2b anto2b

Pour la question 5 quelle est la démarche pour démontrer svp ?

Posté par Nicolas_75 Nicolas_75

L'énoncé est illisible !

Posté par anto2b anto2b

5. Démontrer que f(x) >= g(x) pour tout x

Dsl ...

Posté par Nicolas_75 Nicolas_75

Etudie le signe de la différence entre ces deux fonctions.

Posté par anto2b anto2b

f(x) - g(x) ?

Posté par Nicolas_75 Nicolas_75

Oui.

Posté par anto2b anto2b

cela fait :

(1+x)² - 2x+1 mais egale à koi ?

Posté par Nicolas_75 Nicolas_75

Développe et tu verras...

Posté par sassOoOou sassOoOou

pourriez vous m'aider dans mon topic merci .

Posté par anto2b anto2b

(1+x)²-2x+1 = 1 + 2x + x²- 2x + 1
            = x² + 2

Mais apres ?

Posté par Nicolas_75 Nicolas_75

Non.
(1+x)²-(2x+1) = (1+x)²-2x-1 = ...

Posté par anto2b anto2b

(1+x)² -2x -1 = 1 + 2x - x² -2x -1
              = x²

Posté par anto2b anto2b

x² est toujour positif mais jarrive pas a conclure

Posté par Nicolas_75 Nicolas_75

Donc f(x) - g(x) >= x
donc f(x) >= g(x)

Posté par anto2b anto2b


Ce n'est pas :

Donc f(x) - g(x) >= 0
donc f(x) >= g(x) ???

Posté par Nicolas_75 Nicolas_75

Si. Faute de frappe.

Posté par anto2b anto2b

Ok merci beaucoup ...

Pour la 6 ... C'est à dire l'erreur commise ?

Posté par Nicolas_75 Nicolas_75

L'énoncé est clair. Je me demande si tu l'as lu. L'énoncé te dit à quoi correspond l'erreur commise.

Posté par anto2b anto2b

f(x) - g(x) on l'a vu est egale à x² mais lerreur ?

Posté par Nicolas_75 Nicolas_75

L'erreur commise en écrivant f(x) g(x) est évidemment f(x)-g(x). L'énoncé le dit en plus explicitement !