Un théorème classique, avec calcul d aire de triangle

Posté par Tyto (invité)

Bonjour,

J'ai un exercice que je n'arrive pas du tout à résoudre, voici donc l'eononce :

ABC est un triangle. I est le milieu de [AB] et la parallèle à (BC) passant par I coupe (AC) en M.
1. Demontrer successivement que :
a) les triangles BMA et CAI ont la même aire ;
b) les triangles CAI et CIB ont la même aire ;
c) les triangles CIB et MBC ont la même aire ;
2. En déduire que M est le milieu de [BC]. Quel théorème vient-on de démontrer ?

Je pense que le théorème c'est "tout triangle inscrit dans un demi cercle possède un angle droit". Mais le reste je ne trouve vraiment pas.

Merci à vous et bonne soirée

Posté par dolphie (invité)

Non le théorème  c'est le théorème des milieux:

dans un triangle, toute droite passant par le milieu d'un côté et parallèle à un deuxième côté passe par le milieu du troisième côté.

(cas particluier de Thalès...cf 4ème)

Posté par Tyto (invité)

Ha ouais merci, j'avais completement oublié ce théorème.

Par contre pour demontrer que les triangles ont la même aire, j'en ais aucunes idées...

Vous ne voyer pas comment résoudre ce problème ?

Merci à vous et surtout à dolphie déjà

Posté par Tyto (invité)

Re-bonjour,

Ce serait pas par hasard les symetries centrales qui faut utiliser pour démontrer les aires ?

Merci

Posté par Dasson (invité)

Bonjour,

d est la distance entre les parallèles.
1a
Aire(BMA)=Aire(AIM)+Aire(IMB)
Aire(AIC)=Aire(AIM)+Aire(IMC)
or Aire(IMB)=Aire(IMC) (IM*d/2) donc...
1b
Aire(CAI)=0.5*Aire(ABC)
Aire(CIB)=0.5*Aire(ABC) donc...
1c
Aire(CIB)=BC*d/2
Aire(MBC)=BC*d/2 donc...
2
On en déduit que Aire(BMA)=Aire(MBC) puis que M est milieu de [AC]
Le théorème démontré :
Si une droite est parallèle à un côté d'un triangle et passe par le milieu d'un autre côté alors cette droite passe par le milieu du troisième côté.

A détailler.

Voir un exercice où ce théorème est utilisé

Posté par Tyto (invité)

Merci infinniment Dasson pour ce bon beau de chemin. Maintenant je vais peaufiné tout cela, mais meci pour la grosse piste.

--> Et bravo pour ton site, vraiment formidable.