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Montrer qu'une suite est décroissante


école ingénieurMontrer qu'une suite est décroissante

#msg2251009#msg2251009 Posté le 25-01-09 à 20:55
Posté par ProfilTheDoci TheDoci

Bonjour,

Je dois réviser pour un DS et j'ai un problème pour montrer qu'une suite est décroissante et minorée par 0.

Voici la suite
U0 = 1/2
Un+1 = (Un)^2  + 3/16

J'ai essayé Un+1 - Un mais ça ne me mène nulle part. Idem pour (Un+1)/Un

Pire, en posant Un+1 = f(Un) = (Un)^2  + 3/16
j'ai f'(x) = 2*Un
Et l'étude de signe montre que sur [0 ; +infini[ f(Un) est croissante !!

J'ai bien vérifié sur ma calculette, la suite est décroissante.

Quelqu'un a une idée svp ?
re : Montrer qu'une suite est décroissante#msg2251030#msg2251030 Posté le 25-01-09 à 21:05
Posté par Profilelhor_abdelali elhor_abdelali Correcteur

Essayes d'abord de montrer par récurrence que pour tout n , u_n\in[\frac{1}{4},\frac{3}{4}] sauf erreur bien entendu
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re : Montrer qu'une suite est décroissante#msg2251096#msg2251096 Posté le 25-01-09 à 21:28
Posté par ProfilTheDoci TheDoci

En fait je ne vois pas pourquoi cet intervalle. 1/4 voie peut-être (1/2² ?), mais pas le 3/4
re : Montrer qu'une suite est décroissante#msg2251103#msg2251103 Posté le 25-01-09 à 21:30
Posté par ProfilTheDoci TheDoci

et d'ailleurs, j'ai oublié de demander, pourquoi le raisonnement que j'ai fait avec f(x) est faux ? Ca marche bien pour d'autres exos d'habitude...

(Désolé pour le double post, j'ai pas trouvé de fonction éditer)
re : Montrer qu'une suite est décroissante#msg2251340#msg2251340 Posté le 26-01-09 à 00:53
Posté par Profilelhor_abdelali elhor_abdelali Correcteur

Allons y

\fbox{*} c'est vrai pour n=0 vu que u_0=\frac{1}{2}\in[\frac{1}{4},\frac{3}{4}].

\fbox{*} supposons u_n\in[\frac{1}{4},\frac{3}{4}] alors u_n^2\in[\frac{1}{16},\frac{9}{16}] et donc u_n^2+\frac{3}{16}\in[\frac{4}{16},\frac{12}{16}] c'est à dire u_{n+1}\in[\frac{1}{4},\frac{3}{4}] récurrence terminée avec succés

\fbox{*} pour tout n\in\mathbb{N} on a u_{n+1}-u_n=u_n^2-u_n+\frac{3}{16}=(u_n-\frac{1}{4})(u_n-\frac{3}{4})\le0

notre suite est donc bien décroissante et comme elle est minorée (par \frac{1}{4} par exemple)

elle converge vers un réel \ell\in[\frac{1}{4},\frac{1}{2}] et vérifiant \ell=\ell^2+\frac{3}{16} ... sauf erreur bien entendu
re : Montrer qu'une suite est décroissante#msg2252547#msg2252547 Posté le 26-01-09 à 21:15
Posté par ProfilTheDoci TheDoci

Merci pour tout
re : Montrer qu'une suite est décroissante#msg2252551#msg2252551 Posté le 26-01-09 à 21:17
Posté par ProfilTheDoci TheDoci

Désolé encore une fois du double post, mais pourquoi la méthode avec f(x) ne marche-t-elle pas ici ?
re : Montrer qu'une suite est décroissante#msg2252690#msg2252690 Posté le 26-01-09 à 22:01
Posté par Profilelhor_abdelali elhor_abdelali Correcteur

Si elle marche ! Il fallait tout simplement ( après avoir prouvé la croissance de f sur [0,+\infty[ )

justifier que tous les u_n sont dans [0,+\infty[

puis comparer u_0 et u_1 pour pouvoir déterminer la monotonie de la suite (u_n)

et comme u_1=u_0^2+\frac{3}{16}=\frac{1}{4}+\frac{3}{16}=\frac{7}{16}\le\frac{1}{2}=u_0 on a u_2=f(u_1)\le f(u_0)=u_1 ...

et une petite récurrence donne u_{n+1}\le u_n pour tout n sauf erreur bien entendu
re : Montrer qu'une suite est décroissante#msg2252730#msg2252730 Posté le 26-01-09 à 22:18
Posté par ProfilTheDoci TheDoci

Euh je ne comprends pas vraiment
Voila le tableau de signe que j'obtiens (image attachée)
J'ai u_{n+1} = f(u_n) qui est croissante sur [0 ; +infini[ alors que je dois montrer qu'elle est décroissante
Par contre je comprends bien que tous mes u_n sont sur [0 ; +infini[

Montrer qu'une suite est décroissante
re : Montrer qu'une suite est décroissante#msg2253058#msg2253058 Posté le 27-01-09 à 11:24
Posté par ProfilTheDoci TheDoci

up svp, je ne comprends toujours pas comment une suite peut être décroissante alors que la fonction est croissante
re : Montrer qu'une suite est décroissante#msg2253212#msg2253212 Posté le 27-01-09 à 14:58
Posté par ProfilCamélia Camélia Correcteur

Bonjour

Tout simplement, u_0=1/2 Il se trouve que u_1=f(u_0)=7/16 < u_0, ce qui n'a rien de contradictoire! A partir de là, la croissance de f impose u_1 < u_0\Longrightarrow u_2=f(u_1) < f(u_0)=u_1...
re : Montrer qu'une suite est décroissante#msg2253239#msg2253239 Posté le 27-01-09 à 15:23
Posté par ProfilTheDoci TheDoci

ah d'accord, je comprends mieux merci

Donc en fait cette méthode (de l'étude de signe par la fonction) n'est pas très utiles, puisqu'il faut quand même faire une récurrence après.
Mieux vaut faire la méthode de elhor_abdelali
re : Montrer qu'une suite est décroissante#msg2253244#msg2253244 Posté le 27-01-09 à 15:27
Posté par ProfilCamélia Camélia Correcteur

En fait elhor (que je salue ) utilise aussi la croissance de f qu'il redémontre implicitement. Ce qu'il faut retenir, c'est que si f est croissante, le sens de variation de la suite ne dépendra que de la position de u_1 par rapport à u_0.
re : Montrer qu'une suite est décroissante#msg2253254#msg2253254 Posté le 27-01-09 à 15:33
Posté par ProfilTheDoci TheDoci

D'accord, donc comme c'est vachement plus simple sans récurrence je vais étudier les signes alors^^

Merci pour votre aide
re : Montrer qu'une suite est décroissante#msg2253264#msg2253264 Posté le 27-01-09 à 15:40
Posté par ProfilCamélia Camélia Correcteur

re : Montrer qu'une suite est décroissante#msg2254042#msg2254042 Posté le 27-01-09 à 23:31
Posté par Profilelhor_abdelali elhor_abdelali Correcteur

Salut Camélia

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