Division euclidienne de polynomes

Posté par fade2black fade2black

Bonjour, ou re-bonjour !

Encore un exercice sur les polynômes, le dernier de la soirée...

On me demande de montrer que le reste de la division euclidienne de X^n-1 par X^m-1 est X^r-1, si r est le reste de la division euclidienne de m par n dans .

Je ne vois pas du tout comment commencer. Dois-je m'intéresser au racines énième de l'unité ? Ou trouver une solution plus "arithmétique" ?

Posté par fade2black fade2black

PS : et merci d'avance à tous ceux qui m'avançeront dans cet exo

Posté par 1 Schumi 1 1 Schumi 1

Salut

On écrit la division euclidienne de n par m: n=qm+r.
Alors X^n-1=(X^m)^q*X^r-1= (X^m-1+1)^q*X^r-1.

Je te laisse le soin de développer et de conclure.

Posté par fade2black fade2black

Pouh c'est rusé !

Merci en tout cas, ça marche nickel !

Posté par fade2black fade2black

Ensuite, je dois déduire que le pgcd de X^n-1 et de X^m-1 est X^d-1, où d est le pgcd de m et n. Pour ça, j'ai écrit l'algorithme d'Euclide pour m et n, et en prallèle j'ai écrit l'algorithme d'Euclide pour X^n-1 et X^m-1. Ca marche mais je ne trouve pas ça très satisfaisant. Y a t-il un autre moyen de faire ?

Posté par 1 Schumi 1 1 Schumi 1

Perso, j'aurai fait de la même façon, mais je ne sais pas s'il y a une autre méthode.

Posté par fade2black fade2black

Me voilà rassuré. Merci

Posté par maxx maxx

Bonjour,
J'aimerai effectuer la division euclidienne de (X^n)-1 par (X^m)-1.. Pour cela dois je effectuer la division de n par m ?
Merci d'avance.

Posté par jft91 jft91

Bonsoir,

On peut écrire: Xⁿ-1 = X^mq+r-1 = (X^mq-1)X^r+(X^r-1)
                                =(X^m-1)(X^m(q-1)+...+X^m+1)+(X^r-1).
Donc le reste de la division de Xⁿ-1 par X^m-1 est bien X^r-1 puisque :  deg(X^r-1)< deg(X^m-1).

Posté par maxx maxx

Merci,


Mais alors dans ce cas, on a que Xn-1 divise Xm-1 seulement si n divise m .. ?
C'est ce que je ne comprends pas,car n ne divise pas forcément m (ce n'est pas donné dans l'énoncé en tout cas)

Posté par rhomari rhomari


on a
.(bizout )....

Posté par jft91 jft91


Le résultat est général avec bien sûr des entiers 0 puisqu'on est en théorie des polynômes!

Posté par lolo271 lolo271

Bonjour,

Je connais un autre moyen  :

On va déterminer le pgcd  de  Xⁿ-1  et X^m-1  dans  C[X] :

les facteurs communs irréductibles sont les  X -a  où  a  est une racine  n  ième et  m -ième de l'unité.

nu + mv = d  montre que  a  est alors une racine  d ième de 1 et réciproquement , donc  X^d-1 est le pgcd cherché dans C,
mais comme il est à coefficients dans Z c'est aussi le pgcd sur Z .

Posté par lolo271 lolo271

(j'ai passé quelques détails laissés au lecteur scrupuleux)

Posté par jft91 jft91

Bonsoir,
Bravo lolo271, la méthode est astucieuse mais le réciproquement mérite un petit développement à mon avis.On peut s'en tirer en utilisant, grâce à la théorie des groupes, la propriété des racines nièmes de l'unité suivante:
Si on appelle U_n le groupe multipicatif des racines nièmes de l'unité on a :
U_mU_n= U_d où d=pgcd(m,n)

Posté par maxx maxx

Merci beaucoup pour toutes vos réponses!