Enigmo 85 : Un nouvel élève

Posté par piolo07 piolo07

Ma réponse va sembler bête mais me parrait tout de même possible :

x=0 et y<0

Ainsi on aura 60-(x*y)=60+x/y
60-0=60+0
Le résultat sera alors 60.

Bon, on va bien voir ce que cela va donner !

Posté par ISsamAY ISsamAY

exemple: y=1 , x quelconque

le résultat c'est x

Posté par Pseud Pseud

Nous avons le système d'équation suivant
60-X*Y=Z
60+X/Y=Z

Donc 60-X*Y=60+X/Y
      -X*Y=X/Y      => une division de nombre positif ne peux donner un nombre négatif.
Multiplions par Y les deux côtés de l'équation
     -X*Y²=X
Divisons par X les deux côtés de l'équation
     -Y²=1
Y² est forcément positif donc -Y² est fatalement négatif et ne peux donc pas être égal à 1

Le problème n'est donc pas soluble.
        

Posté par atomium atomium

Bonjour à tous,

Voici, entre autres, une solution

- les 2 nombres: 25 et 5;

- le résultat: 65.

Posté par caylus caylus

Bonjour Jamo,

Voici les possibilités que j'ai trouvé:


Merci pour cette énigme.

Posté par Nanou2b Nanou2b

Salut,

Voilà les couples de nombres que j'ai trouvé :
(11,11) (25,5) (45,3) (80,2)
Je ne suis pas sure que la liste soit exhaustive...

Merci

Posté par Wasiwasa1729 Wasiwasa1729

x=80   y=2  et la réponse donnée par Igor est 100. Merci pour cette énigme sympathique.

Posté par Wasiwasa1729 Wasiwasa1729

Il existe toutefois 3 autres réponses x=45 et y=3
                                      x=32 et y=4
                                      x=25 et y=5
                                      

Posté par laotze laotze

Bonjour:
L'énoncé peut être traduit par:
pour (n;m)*²

i.e.

'

donc:


les carrés les plus évidents que peut être ' sont:

70²;80²;90²;100² etc (je n'ai pas cherché plus loin...)

il se trouve que 100²=60²+80² avec donc m=80 (coup de bol!)
et avec m=80, n=2 (n>0)

Donc je m'en tiens à la réponse:

les deux nombres que vous lui a donné est 80 et 2
sa réponse a été 100

Merci

Posté par louchris louchris

bonjour
je propose la solution suivante:
puisque les operations sont inversees,on peut ecrire ;(x*y)-60=(x/y)+60.ou xy^2-60y=x+60y.
ou xy^2-120y-x=0. equation du 2nd degre ou a=x,b=-120,c=-x.le discriminant est positif,et x et y sont positifs ,donc delta = 120^2+4x^2.
une seule racine=y=(120+racine carree(120^2+4x^2))/2x
je remplace y par sa valeur en fonction de x .je resouds l'equation a une inconnue .
ce qui donne x^2= :x^2=(120^2)-(240/239)^2=3599,747904

donc x=59,99789916 et y=2,414273337

Posté par pierre-remy pierre-remy

c'est impossible

Posté par lo5707 lo5707

Bonjour,

On ne demande pas à ce que les deux nombres soient différents.
11 et 11 marchent.

En effet:



Merci pour l'énigme.

Posté par lo5707 lo5707

Sinon, avec des chiffres différents, il y a 25 et 5
25/5+60=25*5-60=65

Posté par lo5707 lo5707

Les seules solutions sont:

11 11
25  5
32  4
45  3
80  2

Posté par programaths programaths

Formuler le problème :
A*B-60=A/B+60
A*B-A/B=120
A(B-1/B)=120
A(B^2-1)/B=120

Ce qui revient à:
A=120*B/(B^2-1)

et donc :
Il suffit que l'on puisse exprimer B/(B^2-1) en tant que quotient de deux entiers dont le diviseur est un diviseur de 120.

Soit : B/(B^2-1) = Q/P et 120/P=Z
avec  Q,P et Z entiers

Finalement quelques solutions :
A=80
B=2
,
A=11
B=11

Posté par MatheuxMatou MatheuxMatou

Bonjour à tous,

Le problème posé revient à chercher deux entiers strictement positifs n et p tels que
n*p - 60 = n/p + 60
il est clair que n/p doit être un entier et que donc p divise n
posons n = k*p, avec k entier 1
En remplaçant on obtient : k*p³ - 120*p = k*p
En simplifiant par p et en réarrangeant cela donne k*(p²-1) = 120
On doit donc avoir (p²-1) divise 120
Les carrés diminués de 1 susceptibles de convenir sont :
0 , 3 , 8 , 15 , 24 , 35 , 48 , 63 , 80 , 99 , 120
Parmi eux, seuls 3 , 8 , 15 , 24 et 120 sont des diviseurs de 120
( correspondant aux valeurs de p : 2 , 3 , 4 , 5 et 11 )
Et la division de 120 par ces nombres donnent pour valeurs de k :40 , 15 , 8 , 5 et 1
et donc aux valeurs de n=k*p : 80 , 45 , 32 , 25 et 11

Le couple (n,p) cherché vaut donc : (80,2) (45,3) (32,4) (25,5) ou (11,11)

Cordialement,
Alain

Posté par tech tech

Bonjour tout le monde !


J'ai trouver les couples suivant pour solutions :

(11,11) (25,5) (32,4)

Les resultats étant respéctivement : 61 65 et  68

Posté par Bubulle60 Bubulle60

5 solutions :
(80;2), (24;3), (32;4), (25;5), (11,11).
Explications :
Les données se réecrivent
Nécessairement, est entier, et vaut par exemple .
Du coup, et .
On teste pour les différentes valeurs de possibles (limitées) (ou inversement on teste les valeurs de y qui pourraient satisfaire aux conditions sur k).

Posté par jeremoi jeremoi

Bonjour et merci pour l'énigme,

si je ne me suis pas trompé, les deux entiers (je les note a et b) sont égaux:

a=b=11

et le résultat

a*b-60=a/b+60=61

voilivoilou, bonne continuation,

Ned

Posté par Sr-Jose Sr-Jose

Problèmes impossible.

Posté par Sr-Jose Sr-Jose

Désolé je me suis planté.

Ca marche pour 80 et 2

80*2-60=100
80/2+60=100

Comment je sais pas j'ai esayer avec tout les niombres de 0 jusqu'à 80 ^^
Je crois que je vais pas faire le facultatif...

Posté par Sr-Jose Sr-Jose

Yahou j'ai toutes les valeurs. Et je sais pourquoi. J'y ai passé la nuit mais je crois que c'est juste.

On demandes à Igor de faire:
M*N - 60 = R

Mais lui ferat:
N/M + 60 = R'

Or R=R'
Donc:
M*N - 60 = N/M + 60
N*M - N/M = 120
N (M - 1/M) = 120
(M²-1)/M = 120/N
(120M)/(M²-1) = N

On pose la fonction f(M) = N = (120M)/(M²-1)

M différent de 0 (car M-{0})
M différent de 1 (car M=1 N)

On étudie donc f(M) sur [2;+[ où l'on cherche tout les M entier non nuls tels que f(M) entiers naturel non nul.

On essaye alors tout les entier entre 2 et 120 ( f(M) est décroissante sur [2;+[  et N=1 M 120 )

On obtient

M	N	M*N	N/M	R=R'
2	80	160	40	100
3	45	135	15	75
4	32	128	8	68
5	25	125	5	65
11	11	121	1	61

Simplissimo ^^

Posté par ThierryMasula ThierryMasula

Bonsoir Jamo,

Plusieurs solutions possibles:
1° couple 11 et 11, réponse  61
2° couple 25 et  5, réponse  65
3° couple 32 et  4, réponse  68
4° couple 45 et  3, réponse  75
5° couple 80 et  2, réponse 100

Posté par Supernick Supernick

Soient a et b les deux nombres choisis au départ.

On a la relation suivante

a/b + 60 = ab - 60
120 = a(b - 1/b)
120 = a(b²-1)/b
120 = a(b+1)(b-1)/b

b est premier avec b+1, b est premier avec b-1
Or b divise le produit a(b+1)(b-1) car a(b+1)(b-1)/b est un nombre entier.
Donc b divise a, on peut donc écrire a/b = k avec k entier, donc k diviseur de 120

k(b+1)(b-1) = 120, b+1 ainsi que b-1 sont des diviseurs de 120.


Diviseurs de 120 :
1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60 et 120


Donc b = 2 ou b = 3 ou b = 4 ou b = 5. Ce sont les seules possibilités pour que b-1 et b+1 divisent 120

Pour b = 5, ça marche, on a   a = 25
Vérifions : 25/5 + 60 = 65
25*5 - 60 = 65 k:


Pour b = 4, on a a = 32
32/4 + 60 = 68
32*4 - 60 = 68

b = 3 => a = 45 et le nombre cherché est 75

b = 2 => a = 80 et le nombre cherché est 100



Solutions sous la forme (a, b, résultat)
(2,80,100)
(3,45,75)
(4,32,68)
(5,25,65)


Voilà je pense que j'ai pas fait trop d'erreurs

Posté par fennec fennec

bonsoir

les deux nombres sont 11 et......11 !!!

le résultat est 61.

Posté par jamo jamo

Clôture de l'énigme

Il y avait 5 couples de nombres qui convenaient à ce problème : (2;80) (3;45) (4;32) (5;25) (11;11)

Heureusement que je n'avais pas demande toutes les réponses, car beaucoup ont oublié la réponse (11;11) !

Et c'est donc yoyodada qui remporte le mois de janvier !

Posté par veleda veleda

bonjour à tous
bravo à Yoyodadaet encore merci à Jamo

Posté par pacou pacou

Bonjour à tous,

Félicitation Yoyodada,
_{puisque tu es devenu un grand sage tu peux écrire Yoda maintenant.}

Posté par matovitch matovitch

Bonjour à tous, et bravo à yoda (faut pas lui en vouloir la vieillesse le fait bégayer )

13 personnes sans fautes je crois que c'est un record !

Posté par yoyodada yoyodada

Salut tout le monde, et merci à tous !!





Et Bravo également aux 12 autres sans-fautes !

Posté par Finalys Finalys

Voilà ma réponse, je ne suis pas sûr d'avoir raison, mais voici ma réponse :
80 : 2 + 60 = 80 x 2 - 60 = 100
Donc les 2 chiffres sont 2 et 80 ou alors, on peut faire :
11 : 11 + 60 = 11 x 11 - 60 = 61
Donc on peut aussi dire que les 2 chiffres sont égaux, ce qui fait que les 2 chiffres = 11