Enigmo 85 : Un nouvel élève

Posté par jamo jamo

Bonjour,

j'ai pris du retard ce mois-ci pour la correction des énigmes, et en voici une petite dernière juste à temps.

J'étais un peu pris ces derniers temps, car un nouvel élève, prénommé Igor (nom de famille Gozonla), est arrivé dans une de mes classes, et j'ai eu beaucoup de mal à évaluer son niveau en calcul mental.
En effet, j'ai compris après plusieurs essais que lorsque je lui donnait deux nombres à multiplier, il les divisait, et qu'au lieu de les soustraire, il les additionnait.

Ainsi, je lui ai demandé de soustraire 60 au produit de deux nombres entiers strictement positifs. Et oh miracle : il m'a quand même donné la bonne réponse !

Question : quels sont les deux nombres que je lui ai donnés, et quelle a été sa réponse ?

Si vous pensez que ce n'est pas possible, vous répondrez "problème impossible".
Par contre, si c'est possible, vous me donnerez au moins une solution (les deux nombres ainsi que le résultat).

Et de manière facultative, vous me donnerez toutes les possibilités.

Bonne recherche !

Posté par Labo Labo

Bonjour Jamo

les deux nombres donnés 80 et 2 réponse donnée 100

Posté par Nofutur2 Nofutur2

On a ab-60=(a/b)+60
Comme a et b sont entiers le résultat l'est aussi et a=kb
On a k(b+1)(b-1)=120
Les diviseurs de 120 sont :1,2,3,4,5,6,8,10,12,15,20,24,30,40,60 et 120.
Les cas où (b-1)(b+1) divise 120 sont :
b=2,3,4 et 5 ce qui donne respectvement a =80,45,32,25
Les couples (80;2), (45;3), (32,4)et (25;5) conviennent.
Prenons une solution : a=80, b=2 et donc le résultat=100.

Posté par akub-bkub akub-bkub

Bonjour jamo, bonjour à tous

Je propose : problème impossible.

Il faut à un certain moment résoudre y²-dy-1=0 ou d est un diviseur de 120 et avec y entier... Ce qui est impossible.

Merci pour l'énigme. A+

Posté par geo3 geo3

Bonjour
Si j'ai bien compris on a les 2 équations suivantes ( avec R = réponse)
a.b - 60 = R
a/b + 60 = R
=> a.b - 60 = a/b + 60  => a.b - a/b = 120  => a.b² - a = 120.b
d'une part a = 120.b/ (b²-1) => b²-1 doit diviser 120.b ;
c'est vrai pour les couples (a,b) suivants (80,2), (45,3), (32,4), (25,5), (11,11) et rien d'autre
*
si d'autre part on choisi l'équation du second degré a.b² - 120.b - a = 0  qui a un delta' = 3600 + a² et b = (60+3600 + a²)/a
ce delta' doit être un carré parfait et a doit diviser (60+(3600 + a²))/a
on obtient la même chose
a = 11  , b = 11 , R = 61
a = 25  , b = 5  , R = 65
a = 32  , b = 4  , R = 68
a = 45  , b = 3  , R = 75
a = 80  , b = 2  , R = 100
Je vais choisir celle du milieu ; ma réponse est donc
les 2 nombres sont 32 et 4 avec comme réponse = 68
A+

Posté par Nofutur2 Nofutur2

J'oubliais une 5ème solution où les deux nombres sont égaux : a=b=11 résultat = 61.
Heureusement qu'on ne les demandait pas toutes !!!.

Posté par jonjon71 jonjon71

Bonjour !

Voila ma réponse :

Les deux nombres donnés sont 80 et 2 et la réponse est 100.

Preuve :

Calcul du prof : 80 2 - 60
               = 160 - 60
               = 100

Calcul de l'élève : 80 : 2 + 60
                  = 40 + 60
                  = 100

Merci !

Posté par veleda veleda

bonjour jamo

si x et y sont les deux entiers il s'agit de résoudre en nombres entiers

y est premier avec y-1 et y+1 donc y divise x
d'où une solution (y=4 x=32) résultat de l'opération68

*sont aussi solution
(y=3,x=45) => résultat de l'opération  75
(y=2,x=80) => résultat de l'opération  100

merci d'avoir pris le temps de nous proposer cet enigmo  aprés tes journées d'épreuves

Posté par pacou pacou

Bonjour, Jamo,

Pour les 2 nombres: 80 et 2 sont possibles

Posté par Daniel62 Daniel62

Bonjour Jamo,

au moins une solution: 80 et 2 réponse = 100

    

soit x et y les deux nombres entiers positifs

il faut que







y étant entier, 120 doit être divisible par (y-1)(y+1)

les diviseurs de 120 sont: 1,2,3,4,5,6,8,10,12,15,20,24,30,40,60,120

les possibilités pour (y-1) et (y+1) avec une différence de 2 sont:
  1,3   y=2 x=80  
  2,4   y=3 x=45  
  3,5   y=4 x=32  
  4,6   y=5 x=25  
  6,8   120 n'est pas divisible par 48
  8,10  120 n'est pas divisible par 80
  10,12 y=11 x =11  

soit 5 solutions possibles

Posté par plumemeteore plumemeteore

bonjour Jamo
les deux nombres sont 25 et 5
le professeur attendait : (25x5)-60 = 65
l'élève a effectué : (25:5)+60 = 65
soit a et b les deux nombres
ab-60 = a/b + 60
ab - 120 - a/b = 0
ab²-120b-a = 0
b = [60+(3600+a²)]/a
la racine carrée est un nombre entier quand a = 25; b = (60+65)/25 = 5

Posté par rogerd rogerd

Bonjour Jamo et merci.

Si on demande à Igor de calculer le produit de 80 et 2 et retrancher 60 ( la bonne réponse est 100) il fournit en fait 80/2 +60, soit 100, qui est quand même la bonne réponse.

Posté par rogerd rogerd

En fait, en partant de ab-60=a/b+60 , on tombe sur la relation

a = 120b/(b^2-1), où l'entier b doit être >=2.

b est premier avec b-1 et b+1 donc avec leur produit b^2-1.
b^2-1 divise 120b et est premier avec b donc b^2-1 divise 120. Cela nécessite b<12.
On essaie pour b toutes les valeurs de 2 à 11.

On trouve ainsi tous les triplets (a,b,ab-60) possibles:

(80,2,100)
(45,3,75)
(32,4,68)
(25,5,65)
(11,11,61)

On vérifie à chaque fois que ab-60=a/b + 60.

Posté par albatros albatros

80 et 2
45 et 3
32 et 4
35 et 5
11 et 11

x=120y/(y²-1)

Posté par dpi dpi

Si nous entrons dans le raisonnement du cancre au lieu de :
    M x N -60 =  A   il répond
    M / N +60 =  A
je trouve M=25 et N=5
on oublie une solution Négative

Posté par Eric1 Eric1

Je propose: a=11; b=11.

Posté par torio torio

Voici quelques possibilités :
11  et 11
25  et 5
32  et 4
45  et 3
80  et 2

Posté par sanantonio312 sanantonio312

a et b étant les entiers positifs on a:
Question posée: ab-60
Calcul fait: a/b+60
Et ab-60=a/b+60
Soit ab-a/b=120
J'ai un peu honte, C'est pas élégant, mais j'ai utilisé un tableur.
Ca m'a donné:
11 et 11
25 et 5
32 et 4
45 et 3
80 et 2

Posté par link224 link224

Salut jamo.

Je trouve une solution : chacun des 2 nombres est égal à 11.
En effet : 11*11-60=61 et 11/11+60 = 61.

@°+ et merci pour l'énigme.

Posté par yoyodada yoyodada

Bonjour Jamo

si les deux nombres sont a = b = 11

alors a*b - 60 = 121-60 = 6

l'élève comprendra ainsi de calculer: a/b + 60 ce qui vaut 1 + 60 = 61, ce qui est bien la bonne réponse.

En espérant ne pas avoir commis d'erreur !

Posté par yoyodada yoyodada

** il faut lire 121-60 = 61 bien sûr. J'espère que cela ne rendra pas ma réponse fausse...

Posté par yoyodada yoyodada

Pour la solution générale:

et sont les deux nombres entiers positifs donnés:

le calcul demandé par le professeur est:



la réponse de l'élève est:



l'équation est donc

on en déduit que est entier, soit

donc d'où comme

on a donc est un carré parfait, compris entre et , soit :

, d'où et , d'où et

, d'où , d'où et

, d'où et , d'où et

, d'où et , d'où et

, d'où , impossible
, d'où , impossible
, d'où , impossible
...
, d'où et , d'où et

Posté par xtasx xtasx

bonsoir,

Je propose comme solution 11 pour les deux nombres ;
en effet, on a bien

11 * 11 - 60 = 11/11 + 60 = 61

Merci pour l'énigme !

++

Posté par boby6 boby6

Une réponse possible : 80 et 2 pour les nombres entiers positifs, et la réponse de l'élève est 100.

Vérification :
80*2-60=160-60=100
80/2+60=40+60=100

Posté par Louisa59 Louisa59

bonjour

pour moi c'est impossible, mais si vous avez posté cette énigme, c'est qu'il y a une solution

Posté par 13or 13or

5 solutions : 11-11, 25-5, 32-4, 45-3, 80-2

Explication :
(1): mn -60 = m/n +60
Donc m/n est un entier. Soit p=m/n.
(1) devient :
(2): pn² = p + 120
n² = 1 + 120/p
p est un diviseur de 120, et (1 + 120/p) est un carré.
Parmi les diviseurs de 120 (1,2,3,4,5,6,8,10,12,15,20,24,30,40,60,120),
les valeurs qui conviennent sont :
p=1 : 1+120/p = 121 = 11²
p=5 : 1+120/p = 25 = 5²
p=8 : 1+120/p = 16 = 4²
p=15 : 1+120/p = 9 = 3²
p=40 : 1+120/p = 4 = 2²
L'équation (2) devient :
p=1 : n²=121, n=11 et m=pn=11
p=5 : 5n²=125, n²=25, n=5 et m=25
p=8 : 8n²=128, n²=16, n=4 et m=32
p=15 : 15n²=135, n²=9, n=3 et m=45
p=40 : 40n²=160, n²=4, n=2 et m=80

Posté par Nokturnus Nokturnus

Bonsoir, les 2 nombres sont 25 et 5, le résultat est 65.

25 * 5 - 60 = 65

25 / 5 + 60 = 65

Posté par Poldenys Poldenys

Enigmo 85

Soient x et y les 2 entiers et N le résultat

4 solutions et 4 seulement : y=2 ,x=80 ,N=100
                             y=3 ,x=45 ,N=75
                             y=4 ,x=32 ,N=68
                             y=5 ,x=25 ,N=65
x et y devant être solutions entières de l'équation :

    

Posté par jandri jandri

Bonjour,

a*b-60=a/b+60 donne a=k*b et k*(b²-1)=120.
Il y a 5 solutions:
(11,11) , résultat : 61.
(25,5) , résultat : 65.
(32,4) , résultat : 68.
(45,3) , résultat : 75.
(80,2) , résultat : 100.

Posté par Francois86 Francois86

Il faut résoudre dans +* l'équation
AB-60 = A/B + 60

AB²-120B-A=0

J'ai pour l'instant trouvé deux solutions :
(11;11) --> on obtient 61
(25;5)  --> on obtient 65
Il y en a peut-etre d'autres...

Posté par castoriginal castoriginal

je demande de soustraire 60 du produit de deux nombres soit A et B :

il vient AxB-60 = m
comme Igor comprenait mal, il interprétait qu'il fallait diviser au lieu de multiplier donc il prenait A/B et ajoutait au lieu de soustraire.Il arrivait avec A/B+60 au même résultat que moi précédemment.

Donc AxB-60 = A/B+60

Ce qui conduit à AB^2-120B-A=0
Si B=1 on a une indétermination pour A
si B= 2 A=80  m= 100
si B= 3 A=45  m=  75
si B=4  A=32  m=  68
si B=5  A=25  m=  65
si B=11 A=11  m=  61

entre autres

Bien à vous

Posté par billyboy9 billyboy9

a me demande x*y ; b me réponds x/y

a me demande x-y ; b me réponds x+y

en considérant les données du problème, on trouve cette equation:

*" xy-60=(x/y)+60"

en développant et réduisant, on trouve à la fin:

*"x(y-1)=120"

en décomposant 120 en produits de facteurs premiers on trouve aisément 120=2³*3*5

par exemple x=25  et y= 5

* "(25*5)-60=65 et (25/5)+60=65"

Posté par evariste evariste

5 solutions :
2 et 80 réponse 100
3 et 45 réponse 75
4 et 32 réponse 68
5 et 25 réponse 65
11 et 11 réponse 61

Posté par dpi dpi

Il se peut que le professeur n'ait pas précisé que les deux nombres choisis étaient différents et dans ce cas il y aurait une autre solution:
   11
en effet 11 x 11 -60 = 61 et
         11 / 11 +60 = 61  

Posté par abdeljalil abdeljalil

Salut, excusez moi mais mon fraçais n'est pas assez bien
donc ce que j'ai compris de
"je lui ai demandé de soustraire 60 au produit de deux nombres entiers strictement positifs " veut dire :
x.y - 60    et pas  60 - x.y  n'est ce pas ?
(x;y) £ IN*
donc si correct

x.y - 60 = x/y + 60  
( car il dévise au lieu de multiplier et additionne s'il on demande de soustraire )
donc c'est une équation de deux inconnus de deuxième degré :
x.y^2 - 120 y - x = 0  
on écrit maintenant y en fonction de x ou le contraire
en évitant d'utiliser le delta je choisis x en fonction de y
et il est clair que y # 1
x = 120 y / (y^2 - 1)

alors, pour que x soit entier il exige que  120 y / (y^2 - 1) >ou= 1

120 y >ou= y^2 - 1     y^2 - 120 y - 1 =ou< 0
(après le tableau de signe )
d'ou y  £ [60 - V3601 ; 60 + V3601 ]
60 - V3601 < 0  et 60+V3601 =approximentament 120
donc
y £ ]0 ; 120 ]
je prends un nombre de cette intervalle (:2 par exemple)
donc x = 120*2 / 2^2 - 1
     x = 80
je prends un autre nombre de cette intervalle (:3 par exemple)
     x = 45
véification :
3 * 45 - 60 = 75
45/3 +60 = 75.


(45, 3 ) est une solution de votre énigme
et merci pour vos efforts !

Posté par Drysss Drysss

J'ai fait moitié analyse/synthese,  moitié chance donc j'ai pas toutes les solutions.
Voilà la mienne :

11*11-60=61
11/11 +60=61.

Donc les entiers 11 et 11 marchent.
(11,11,61)

Posté par _Michel _Michel

Bonjour, et d'abord merci pour cette énigme.
J'ai trouvé 5 couples solutions : (80; 2); (43; 3); (32; 4); (25; 5) et (11; 11). Je suis pret à parier un smiley contre un poisson mort qu'il n'existe pas d'autre solution.

Posté par pythamede pythamede

Il y a cinq possibilités :
80 et 2
32 et 4
45 et 3
25 et 5
11 et 11

Posté par minkus minkus

Salut Jamo,

C'est pas plutot Gonzola son nom ?

Posté par matovitch matovitch

Bonjour à tous !
Je propose 11 et 11, pour un résultat de 61.

Posté par darialine darialine

Bonjour !

pour moi c'est tout à fait possible.
80 et 2 conviennent, dans ce cas le résultat est 100.

J'ai posé a et b pour les deux nombres entiers positifs.
La réponse attendue par le professeur est a*b - 60
La réponse donnée par Igor est a/b + 60
Elles sont égales :
a*b - 60 = a/b + 60
a*(b - 1/b) = 120
a*((b² - 1)/b) = 120

120 se décompose comme suit : 120 = 2*2*2*3*5

Il faut que b² - 1 soit égal à un des diviseurs de 120, je pense que ce n'est possible que pour :
b = 2 (dans ce cas b² - 1 = 3),
b = 3 (dans ce cas b² - 1 = 8 = 2*2*2),
b = 4 (dans ce cas b² - 1 = 15 = 3*5),
b = 5 (dans ce cas b² - 1 = 24 = 2*2*2*3)

Cela donne les couples solutions suivants :
80 et 2, dans ce cas le résultat est 100.
45 et 3, dans ce cas le résultat est 75.
32 et 4, dans ce cas le résultat est 68.
25 et 5, dans ce cas le résultat est 65.

Posté par jamilhaddad jamilhaddad

Bonsoir
Les deux nombres que vous avez donnés sont:
Première solution: a=80;b=2 réponse:100
                   La question:80x2-60=100
       La réponse de l'élève80/2)+60=100
Deuxième solution: a=45;b=3 réponse:75
                   La question:45x3-60=75
       La réponse de l'élève45/3)+60=75
Merci pour votre attention
jamilhaddad

Posté par Flying101 Flying101

1ere sol:80 et 2
2eme sol: 45 et 3
3eme sol: 32 et 4
4eme sol: 25 et 5
5eme sol: 11 et 11

Posté par LEGMATH LEGMATH

Bonjour jamo,

Si tu as donné 11 et 11 la réponse est 61.
(11x11)-60 = (11/11)+60 = 61

Si tu as donné 25 et 5 la réponse est 65.
(25x5)-60 = (25/5)+60 = 65

Si tu as donné 32 et 4 la réponse est 68.
(32x4)-60 = (32/4)+60 = 68

Si tu as donné 45 et 3 la réponse est 75.
(45x3)-60 = (45/3)+60 = 75

Si tu as donné 80 et  la réponse est 100.
(80x2)-60 = (80/2)+60 = 100

Posté par torio torio

Complément :
J'ai donné les nombres possibles, mais pas les réponses qui vont avec !!!


Voici ma réponse complète :

11  et 11 pour un résultat de 61
25  et 5 pour un résultat de 65
32  et 4 pour un résultat de 68
45  et 3 pour un résultat de 75
80  et 2 pour un résultat de 100

A+
Torio

Posté par gloubi gloubi

Bonjour,

Une solution parmi d'autres: 25 et 5. Réponse: 65.

_{Je pense que le mois de janvier va avoir de nombreux premiers ex aequo !}

A+,
glouib

Posté par rezoons rezoons

Bonjour ,
Si j'ai bien compris l'énoncé cela revient a résoudre l'équation xy-60=(x/y)+60 avec x et y des entiers naturels. Après divers calculs je trouve y=(60+(3600+x²)^(1/2))/x et en faisant tourner un programme je trouve les solutions suivantes (11 ;11 ;61) (25 ;5 ;65) (32 ;4 ;60) (45 ;3 ;75) (80 ;2 ;100) avec en premier x en deuxième y et a la fin le résultat donné par l'élève. Comme il ne faut donner qu'un résultat je donne :
x=11
y=11
nombre dit par l'élève=61

Posté par comeia comeia

Toutes les solutions vont être :
(P,Q) = (11,11) ; (25,5) ; (32,4) ; (45,3) ; (80,2)

Posté par totti1000 totti1000

Bonjour Jamo,
je propose 11 et 11 pour les deux nombres.
On a bien 11/11+60=11*11-60=61.

Posté par manpower manpower

Bonjour à tous,

après une petite absence _{(je suis coutumier du fait)}, on recommence en douceur...

le couple (x,y) solution doit vérifier xy-60=x/y+60.

La division n'étant pas commutative, la solution la moins risquée est (11;11) pour un résultat de 61.

Maintenant, les autres couples solutions sont:
(25;5)
(32;4)
(45;3)
(80;2)

Merci, jamo, pour l'enigmo.