Enigmo 88 : La course de la Saint-Valentin

Posté par jamo jamo

Bonjour,

Demain, c'est la Saint-Valentin, alors Bonne fête à tous les Valentin et à toutes les Valentine !

Après la fabuleuse énigme "La course de la Saint-Sylvestre" (ici : ), voici une nouvelle course avec un nageur qui veut rattraper une nageuse.

Ce coup-ci, ça se passe entre Lorie et Philou. L'action se déroule dans une piscine carrée qui mesure 120 mètres de côté.

Lorie nage à la vitesse constante de 6 km/h sur un cercle de centre O et de rayon 50m. Elle part du point B situé sur l'horizontale (voir dessin).
Au même moment, Philou part du point A au bord la piscine et nage à la vitesse de 5 km/h selon une droite inclinée d'un angle (voir dessin).

L'objectif de Philou est de rattraper Lorie le plus vite possible au point M. Bien entendu, pour que les deux trajectoires se croisent exactement au même endroit et au même moment, il faut que Philou choisisse le bon angle ...

Question : déterminer la valeur de l'angle pour que les deux trajectoires se croisent au même moment. L'angle sera donné en degrés, avec une précision de 0,1 degré.

Remarque : il est possible qu'il existe plusieurs solutions à ce problème, mais celle que je veux, et qui est unique, correspond à la première rencontre possible qui demande le moins de temps de nage. C'est la solution qui se trouve dans le cadran où j'ai placé le point M (enfin, maintenant que j'écris ça et que j'y réfléchis, il n'est pas évident que plusieurs solutions existent, je dois dire une bêtise !).

Bonne recherche !

Posté par Nofutur2 Nofutur2

Je dirai 50,97° soit 51,0°.

Posté par plumemeteore plumemeteore

bonjour Jamo
l'angle alpha mesure 16,4 degrés, arrondi au dixième de degré le plus proche
tableur (longueurs en décamètres)
A : ligne()/1000 ; angle BOM en radians
B : 5*A ; distance parcourue par Lorie
C : 5*sin(A) ; distance de M à la médiane horizontale
D : 6-cos(A) ; distance de M au bord droit
E : racine(C²+D²) ; distance parcourue par Philou
F : E/B ; rapport des distances de Philou et de Lorie
G : atan(C/D) ; angle en radians de la trajectoire de Philou par rapport à l'horizontale
F est le plus proche de 5/6 quand A = 2,511 : pi/2 < 2,511 < 2pi

Posté par maher_91 maher_91

AM= 10.  (alkashi)
[BM] (arc) = (--BOM).50 (je calcule avec la formule du périmétre du cercle)
...
l'angle qui convient est celui dont cette égalié est vraie :

=

10. =...
mais je trouve pas un bon compilateur pour réaliser ce programme vu que la fonction cos en PASCAL se fait en radians...
bon essai comme même  

Posté par manpower manpower

Bonsoir,

on dirait que j'ai manqué de finesse sur ce coup... j'ai fait bourrin (analytique)
et les calculs ne sont pas beaux !

Il s'agit de résoudre où est l'angle au centre ... beurk ! _{C'est vraiment laid... m'enfin ! J'ai la flemme de chercher mieux...}


On trouve une valeur approchée de 143,86° pour finalement obtenir un angle 16,368283158...°.
soit, au dixième près, 16,4°.

Merci pour l'Enigmo.

Posté par yoyodada yoyodada

Bonsoir Jamo, et merci pour l'énigme !

Voici ma réponse:

l'angle vaut degrés, en arrondissant à 0,1 degré près.
Les deux nageurs se rejoindront au bout de t = 7,20189571 secondes, au point situé aux coordonnées (49,99956112;0,2094940413)

En espérant ne pas avoir fait d'erreurs...

Posté par Daniel62 Daniel62

Bonjour Jamo,

ma réponse: angle = 16,4 degrés

je ne détaille pas les calculs mais le résultat:

la rencontre a lieu au bout d'un temps égal à:
  t = 1,25546.. minutes  (soit 75,328.. secondes)

le point M a pour coordonnées:
  y =  29,48368.. mètres
  x = -40,38208.. mètres

la distance parcourue par Lorie:
  1,25546.. minutes * 100 mètres/minutes = 125,54689.. mètres
  qui est est bien l'arc de cercle ayant pour angle 2t
  puisque la vitesse de Lorie est de 2 radians par minute
  on retrouve les coordonnées
     y = 50*sin(2t)
     x = 40*cos(2t)

la distance parcourue par philou:
  1,25546.. minutes * 500/6 mètres/minutes = 104,62241.. mètres
  qui est bien les 5/6 de la distance parcourue par Lorie
  et aussi l'hypoténuse d'un triangle rectangle
  ayant pour côté y et (60-x)
  x étant négatif

sauf erreur bien entendu

Posté par Poldenys Poldenys

Enigmo 88

Je trouve pour 11,079degrés soit 11,1degrés à 0,1près

Posté par torio torio



pour Lorie :

Elle nage à 6km/h donc elle fait un tour (100 m) en /60 h

(Pour la suite : distance en mètres  et angles en radians)

x(t) = 50*cos(120t)      
y(t) = 50*sin(120t)


Pour Philou :

x(t) = 60 - cos()*5000*t
y(t) = sin()*5000*t

En égalant les x(t)  et les y(t) entre eux, et en posant  T = 100t
on trouve :

T² = 2,44 - 2,4*cos(1,2T)

On trouve (graphiquement) : T = 2.09244831

et par la suite :

= 0.285680431 radians = 16.368283 degrés = 16.4° (arrondi à o,1°)

A+
Torio

Posté par rogerd rogerd

Bonjour à tous et merci à Jamo

J'encadre à l'aide de la calculette la racine de l'équation qui donne la valeur optimale de l'angle au centre. J'en déduis l'encadrement de la valeur correspondante de alpha par

14,96874662 et 14,97797293.

alpha vaut donc 15 degrés à 0,1 degré près

Posté par 13or 13or

16,4 degrés

Posté par castoriginal castoriginal

considérons le trajet de Lorie: elle parcourt l'arc AM=50 * angle b (rad)
Philou se déplace en ligne droite de B à M.

On peut définir OX =ABS(50 cos(Pi - b)) et XM = 50 sin(Pi-b)
il vient la condition géométrique tg a =MX/OX
tg a = 50 sin (Pi-b)/(50cos(P-b)+60) d'où l'on peut trouver une valeur de l'angle a et de sin a

D'autre part, on doit calculer le trajet de Philou: MB= XM * sin a
soit MB= 50 sin (Pi-b)/ sin a
La condition de rencontre en mouvement rectiligne uniforme ( e=vt)
dit qu'au temps t, le rapport des espaces parcourus aux vitesses doit être
égal soit e(Lorie)/vitesse Lorie= e(Philou)/vitesse Philou
on a donc 50*b/6000 = 50 sin (Pi-b)/5000 sin a.
On cherche donc à égaler les 2 valeurs de sin a par itération en fonction d'une valeur de b variable.
On peut ainsi trouver un angle a (alpha) de 16,37° arrondi au dixième
soit 16,4°

Posté par castoriginal castoriginal

J'ai fait une petite erreur de frappe dans mon message précédent:

"la condition géométrique tg a = MX/AX" doit remplacer

"la condition géométrique tg a = MX/OX"

Bien à vous

Posté par castoriginal castoriginal

Toutes mes excuses, je deviens gâteux!

je rectifie

la condition géométrique est tg a = MX/BX;

la suite du calcul est d'ailleurs conforme à cette expression mathématique

Bonne saint Valentin

Posté par MatheuxMatou MatheuxMatou

Bonjour,
J'ai décidé d'exprimer les distances en dam et les temps en minutes... et pour l'étude du problème, les angles en radian. Je note "a" l'angle cherché, P et L les deux nageurs.
En considérant le cas où la trajectoire de P est tangente au cercle, on voit que l'angle a est compris entre 0 et une valeur maximale a_max dont le sinus vaut 5/6.
L avance à la vitesse de 10 dam/min sur le cercle et P à 25/3 dam/min sur la droite.
En "mettant les choses au pire", c'est à dire pour a=0, on voit que P dépasse le cercle (point diamétralement opposé à B) au bout d'un temps de 3*11/25 = 1,42 min et donc l'instant t de la rencontre (si elle a lieu) est compris entre 0 et 1,42.
Tout cela étant posé, j'utilise les nombres complexes dans le repère centré au milieu de la piscine et d'unité 1 dam.
Les relations géométriques traduites sur les affixes nous donnent :
L'affixe de L vaut 5*exp(2it)
L'affixe de P vaut 6-(25*t*exp(-ia))/3
On cherche donc a dans [0 ; a_max] et t dans [0 ; 1,42] tels que ces deux affixes soient égales.
En égalant parties réelles et imaginaires et en isolant ce qui dépend de a, on obtient :
cos(a)=(18 - 15 cos(2t))/(25t) et sin(a)=15 sin(2t) / (25t)
Une condition nécessaire pour que le problème ait une solution est que la somme des carrés de ces deux quantités vaille 1.
Cela nous conduit à annuler la fonction f(t) = 625 t² + 540 cos(2t) - 549
En étudiant cette fonction sur [0 ; 1,42] (il faut aller jusqu'à la dérivée seconde pour faire une étude mathématique rigoureuse), on voit qu'elle s'annule en une unique valeur t1,2554...
En remplaçant par cette valeur on obtient alors sin(a)0,28181...
qui est bien inférieur à 5/6... et donc qui convient
Cela nous fournit l'angle cherché (lui on le calcule en degrés), seule solution au problème :
a16,3683 degrés
soit 16,4 degrés à 0,1 degré près.

Cordialement à vous,

Alain

Posté par akub-bkub akub-bkub

Bonjour Jamo, bonjour à tous

Je propose : 16.3°

Merci pour l'énigme.

A+

Posté par geo3 geo3

Bonsoir
Réponse 16°3
Soit µ l'angle au centre ^MOB = ^MOA
Longueur de l'arc BM = Rµ = 50µ ;   µ en radian
On a bien  50 µ = 6t   et AM = x =5t  =>  50µ = 6x/5  => µ = 6x/250  (*)
Dans le triangle AOM  on a
AM² = x² = OM² + OA² - 2OM.OAcos(µ) = 50²+60²-2.50.60cos(µ) = 6100 - 6000.cos(µ) =>
x²=6100 - 6000.cos(µ)  (**)
(*) et (**) 2 équations à 2 inconnues =>
x² = 6100 - 6000.cos(6x/250)
=> x = 104,6224152 ; µ = 143,866148°
or x/sin(µ) = 50/sin() => sin() = 0.281810374  => = 16.3682832°
A+

Posté par evariste evariste

6,9 degrés

Posté par dpi dpi

dommage que les tableurs ne donnent pas les valeurs TRIGO pour les degrés!

Nous constatons qu'au point M LORIE aura fait un arc de cercle c au même point PHILOU aura fait une sécante x déterminant un triangle a (alpha ) un angle (beta) et c comme Lorie

nous avons 50/sin b = 60/sinb =x /sinc

nous savons aussi que la nageuse va 20% plus vite que le nageur et puisqu'au point de rencontre il sera écoulé le même temps l'arc de cercle fera 20 % de plus que la sécante.

En posant les données sur mon tableur je trouve a = 17°98
le temps sera de 73 s72/100

Posté par caylus caylus

Bonjour Jamo,

16,4° (16.3682832°)

Merci pour l'énigme

Posté par Sr-Jose Sr-Jose

A vue de nez...  39.2° à 0.1° près.

Posté par albatros albatros

L'angle est de 27,3°

Posté par matovitch matovitch

Bonjour à tous !
Je trouve un angle d'environ 24.1°.
Sauf erreur !

Posté par veleda veleda

bonsoir jamo,
je suis en retard
lorie a une vitesse de 6km/h donc de 100m/minute
philou a une vitesse de 5km/h donc de m/minute
le départ des deux nageurs se faisant à l'instant 0 je note t le temps en minutes au bout du quel les nageurs se rencontrent en un point M du second quadrant
philou a alors parcourumètres entre A et M
Lorie a parcouru l'arc  de cercle BM soit 100t mètres ce qui correspond à un angle au centre= tel que 100t=50 donc =2t
*dans le triangle OAM

**M étant par hypothèse dans le second quadrant donc

(1)et (2)=>
à la calculatrice je trouve radians soit 143°,9 par excés
j'en déduis  et=16°,4 à 0,1 degré prés par excés
merci pour ce petit problème j'espère ne pas m'être trompée

Posté par gloubi gloubi

Bonjour,

16,4°.
Merci pour l'Enigmo

Posté par pacou pacou

Bonjour, Jamo

Je trouve =16,4° avec une précision de 0,1°

C'est un peu râlant de ne pas avoir les connaissances mathématiques suffisantes pour proposer un raisonnement élégant alors voilà un raisonnement un peu bourrin:
Soit le cercle de centre O et de rayon R=50m représentant la trajectoire de Lorie.
Soit M(x,y) le point de concours (rencontre) de Philou et Lorie.
Soit d₁= la longueur de l'arc de cercle BM représentant la course de Lorie
Soit d₂  la distance parcourue par Philou.
Soit D, le point de coordonnées(x,0)

M est sur le le cercle :
x=R cos   y=R sin
L'arc de cercle BM=R ( en radian)
d₂

MDA est un triangle rectangle en D:
MA²=y²+(60-x)²
MA
sin

A partir d'un tableau excel, on cherche les valeurs pour lesquelles d₂-AM est le plus petit possible.
Ce qui donne =16,366.. soit =16,4°

Merci pour l'énigme, Jamo.

Posté par fifredo fifredo

Bonsoir!
je pense que la réponse est 22,4°. Je ne suis pas certain de ma réponse.
En tout cas, merci beaucoup pour cette énigme.

Posté par fifredo fifredo

Bonsoir!
En relisant mes calculs, il se trouve que je me suis aperçu que j'avais fait une erreur de calcul.
Je pense que la réponse est 21,1°. Je sais que c'est la premère réponse qui sera prise en compte, mais je préférais quand-même le signaler.
Merci, et bonne fin de semaine.

Posté par infophile infophile

Bonjour ;

Ma réponse : Un angle de 16,4°

L'équation de la trajectoire rectiligne :

Distance parcourue par Philou :

Et comme on a .

Or donc

Equation du cercle :

Intersection des deux trajectoires :

On résout cette équation on obtient 2 solutions pour mais une seule conviendra.

On regarde le temps qu'il a fallu à Philou pour arriver à ce point en utilisant .

Sur la trajectoire circulaire on a le paramétrage : où est la pulsation. On trouve avec les bonnes unités : .

Puisque l'on veut que les trajectoires se coupent à une même date t, on reporte dans et on résout l'équation en .

Supplément : On peut également déterminer le point de rencontre et la date correspondante

Sauf erreur

Posté par Wasiwasa1729 Wasiwasa1729

L'equation m'a rendu très paresseux alors je m'en suis remis a GeoGebra.
Voila ce que je trouve avec une rapide construction :

16,4°

et ils se rencontreront apres 1min15 sec de nage. Lorie a parcouru 125,5 m et Philou 104,6 m.

Posté par jamilhaddad jamilhaddad

Bonjour
Soit b' la mesure de l'angle AOM en radians et b sa mesure en degrés.
• AM/longueur de l'arc BM=5/6
• longueur de l'arc BM=50*b' mètres=0.05*b*pi/180 Km
AM2=OM2+OA2-2*OM*OA*cosb=0.0061-0.006*cosb
De même:AM2=25/36(0.05*pi/180)2*b2
Cosb=0.0061/0.006-25*(0.05*pi/180)2b2/(36*0.006)
B=93,32 degrés
Donc : AM=80.296
Sin(alfa)=50*sinb/80.296=0.62 alfa=38,4367 degrés
alfa=38o 26' 12''
Réponse : alfa=38.4 degrés

Posté par jonjon71 jonjon71

bonjour !

Voici ma réponse :

Comme pour la course de la saint-sylvestre je pense que ce problème est impossible étant donnée que la distance parcourue par Lorie va s'exprimer en fonction de mais pas la distance parcourue par Philou, ( étant un irrationel non constructible).

Mais je sens le piège !

Merci.

Posté par ThierryMasula ThierryMasula

Bonsoir Jamo,

J'ai mesuré 16°4 pour que la rencontre puisse avoir lieu.

C'est un peu froid pour moi et me garderai de plonger dans l'eau...

Posté par totti1000 totti1000

Bonjour Jamo,
recheche d'un angle ca me rappel un mauvais souvenir (une histoire de tasse)...
Bon alors ici je propose un angle de 16,4°.
Merci pour cette enigme...

Posté par Rudi Rudi

Bonjour

Dans cette configuration, je pense qu’il n’y a qu’une seule solution :

alpha =  16,4° ( 16,3683°… )


#########################

Ce problème m’a fait pensé à celui-ci :

*** problème effacé car repris en topic séparé ***

Edit Coll

Posté par Labo Labo

bonjour jamo,
16,3°<<16,4°
D_P=AM
D_L=arc BM
t=AM/5=arcBM/6
AM=(5/6)arcBM
AM²=y²+(x+60)²=6100+120x
cosß=x/50
arcBM=50arccos(π-ß)
√(6100+120x)=(5/6)50arccos(π-ß)
un petit tour sur excel...
x...........AM.................ß............(5/6)arcBM.......AM-(5/6)arcBM
40,382...104,6223685....0,630657451.....104,6223001.....6,84301E-05
tan=
16,368°...

Posté par jamo jamo

Clôture de l'énigme

La bonne réponse était : 16,4° (16,37° en cherchant une meilleure précision).

Pour résoudre cette énigme, on pouvait par exemple exprimer la position des nageurs dans un repère en fonction du temps et de l'angle . Puis, en utilisant un tableur, on faisait varier l'angle en cherchant si la distance entre les deux nageurs s'annulait pour une certaine valeur du temps. L'utilisation du solveur du tableur permettait peut-être d'obtenir la réponse plus rapidement.
On pouvait aussi faire un petit programme qui faisait le même travail.

D'autres sont tombés sur une équation en qu'on ne pouvait pas résoudre de manière exacte, et là-aussi un petit coup de tableur ou de programmation permettait de s'en sortir.

Parmi les mauvaises réponses, peut-être quelques erreurs d'unités ?

Sinon, bravo à tous ceux qui ont trouvé !

Posté par ugalite ugalite

Salut Jamo, je n'ai pas osé répondre "problème impossible",
mais si je ne me trompe pas tu ne précise pas que le point O est situé à l'intersection des diagonales du carré, donc on ne connait pas la distance OA.
Voilà c'était juste une petite remarque.

Posté par jamo jamo

ugalite >> j'avais tracé 2 axes de symétrie du carré, et ces 2 axes se coupent en O.

Et même sans ça, vu la figure et la nature du problème, cette information était évidente, non ?

Posté par matovitch matovitch

Salut à tous !
Juste pour signaler mon erreur assez décevante : j'ai inversé les 2 vitesses !!
Jamo >> Pourquoi ne pas poser une autre énigme avec Lorie à 5km/h et Philou à 6 ?