Entrainement sujet de bac

Posté par evolutor evolutor

Bonjour, je suis en terminale S

Récemment notre professeur de math a prévu de nous faire un devoir sur a peu près tout ce qu'on vu, un genre de bac blanc (mais pas la même durée), et en guise de préparation, j'ai décidé de faire chaque jour un exercice de Bac, intégrant donc toutes les notions de mathématique

Mais le dernier que j'ai fait me pose problème, et ne parvenant pas à arriver jusqu'au bout, je vous demande de l'aide

***

J'ai réussi à faire les premiers exercices sans trop de difficulté mais le problème me cause quelques souci, alors je me demander où je pourrais trouver le corrigé de ce bac ou si vous pourriez éventuellement m'aider à en venir à bout.

Merci d'avance

Posté par evolutor evolutor

up

Posté par abdel01 abdel01

bonsoie,

Si tu veux des réponses tu fais l'effort de recopier l'énoncé

Posté par evolutor evolutor

Ok, je pensais que ce serai plus lisible mais si tu insiste..

Donc au problème j'ai deja plus ou moins avancé..

2.a. Démontrer que, pour tout réel t, . Interpréter graphiquement ce résultat.
2.b. En déduire que, pour tout réel t, e^-t+t>1 et que pour tout x de ]0;+infini[, 1/x+ ln x>1

Pour la 2.a je pense que je devrais faire basculer l'inégalité tel que e^t-t-1>0, après je pense que si je calcul la dérivée puis le sens de variation, je pourrais peut être arriver à quelque chose
donc f'(x)= e^t -1>0
et la e^t>1
ln e^t>ln 1
t>0
Mais j'arrive pas à avancer...

Pour la 2.b je pense qu'il suffit de prendre t=-t

Posté par abdel01 abdel01

on commence au milieu sans avoir les 1eres questions???


démontrer quoi? à partir de quoi?

Posté par evolutor evolutor

lol désolé

en fait les 1eres questions sont facilement faisables donc je les ai pas mis


2.a. Démontrer que, pour tout réel t, e^t>t+1. Interpréter graphiquement ce résultat.

...

Posté par abdel01 abdel01

si tu fais l'étude de la fonction h(x) = e^t - t- 1? tu verras qu'elle est >= 0

Posté par evolutor evolutor

Dans ce cas il suffit donc de prouver que la fonction est supérieur ou égale à 0(avec une étude de fonction),
h(t)= e^t-t-1>0
h'(t)= e^t-1>0
Puis on résout l'inéquation :

e^t>1
ln e^t>ln 1
t>0

après on fait un tableau de variation :

t___|0_______+oo
h'(t)|0____+_____
h(t)|strictement positif

ensuite on revient à la relation de base :

donc e^t-t-1>0 d'où e^t>t+1 dans

mais qu'entend t-on par interprétation graphique ? n'est-ce pas le fait de déduire que la fonction est strictement croissante ?

Pour la 2.b je pense que remplacer l'inconnu t par -t serait la solution

Posté par abdel01 abdel01

Puis on résout l'inéquation :

h'(t) > 0                h'(t) < 0
e^t>1             et     e^t < 1
ln e^t>ln 1              ln e^t< ln 1
t>0                      t<0


t___ |-oo            0_______      +oo
h'(t)|       -       0____+_____
h(t) |+oo  str décr  0  stri croi  +oo

h(t) est minimale à t = 0 , donc h(t) 0

e^t-t-1 >0

donc   e^t > t+1

Posté par evolutor evolutor

merci de ta réponse tout me paraît très clair maintenant.

Pour la 2.b, je pose t=-t, puis je refait exactement la même chose
et pour la 2eme partie de la question :
si je pose V = ln x

J'obtiens :
e^-V+V >1
e^-ln x+ln x >1
1/x +ln x > 1

Je vais donc continuer avec la partie B :
Soit g la fonction définie sur ]0;+infini[ par : g(x) = (x+1)ln x

1.a. étudier le sens de variation
b. étudier les limites en O et + l'infini


2. Pour tout n de N* (nombres naturels privés de 0), on pose Un = de n à n+1 de g(x) dx

a.Donner une interprétation géométrique de Un.
b.Montrer que, pour tout n de N*, g(n)<Un<g(n+1)
c.En déduire le sens de variation de la suite Un
d.La suite Un est-elle convergente ?

Donc la 1)a)

g(x) = (x+1)ln x
g'(x)= ln x + (x+1)/x
g'(x)=0 <=> ln x +(x+1)/x

x___|0_______      +oo
ln x |val.int.____+_____
x+1 |__________+_____
g'(x)|val.int.____+_____
g(x) |v.int.-00_strict. croiss._+oo

1.b)
la je mets uniquement les résultats :

lim g(x)= -oo
x->0
x>0

lim g(x)= +oo
x->+oo

Est-ce que c'est juste jusque la ?
Sinon je pense que donner une interprétation géométrique de cette intégrale, pourrait consister à dire que c'est une suite strictement croissante, vu qu'il s'agit en partie de g(x)...

Posté par abdel01 abdel01


Donc la 1)a)

g(x) = (x+1)ln x
g'(x)= ln x + (x+1)/x = ln x + 1/x + 1


g'(x)=0 <=> ln x +(x+1)/x   Non, pas possible, sers toi du résultat de la question précédente

x ]0;+

ln x + 1/x + 1

donc   g'(x)2 -----> positive ds cet intervalle

Posté par abdel01 abdel01

géométriquement: n[sub][/sub^](n+1)g(x) dx , c'est l'aire (surface) délimitée par la courbe de g(x) et l'axe des abscisses d'une part, et par les droites verticales x = n et x = n+1 d'autre part

Posté par evolutor evolutor

ce que je voulais dire, c'est :

g'(x)>0 <=> ln x +1/x +1 >0

et j'en arrive donc au même résultat...

Pour la 2.a, il suffit de dire que l'aire est positive (comme g(x)) et qu'elle est compris entre deux termes d'une même suite, je me trompe ?

Posté par abdel01 abdel01

Pour la 2.a, je t ai donné la réponse. tu peux rajouter qu'elle est positive.

ca veut rien dire!

Posté par evolutor evolutor

ok, en fait je voulais dire que l'aire est délimité par les 2 termes...

A la 2.b, je pense que je devrais majorer et minorer l'intégrale sur l'intervalle [n;n+1]
Si je comprends bien : le minimum de g(x) sur [n;n+1] est logiquement g(n) et le maximum est g(n+1) ?
Donc je peux écrire : g(n) étant le minimum de g(x) sur [n;n+1], donc
g(x)dxg(n)(n+1-n)
g(x)dxg(n)

Posté par zazou23 zazou23

Bonjour!
J'ai le même exercice à faire et je reste bloquée malgré les indications à la question :
2.b. En déduire que, pour tout réel t, e^-t+t>1 et que pour tout x de ]0;+infini[, 1/x+ ln x>1

"evolutor" a dit qu'il avait pris t=-t mais pourquoi aurait-on le droit de faire cela?
Idem pour la seconde partie de la question il prend V=lnx mais pourquoi cette valeur?

Merci