Enigmo 89 : Un problème d'abat-jour

Posté par jamo jamo

Bonjour,

Jamo l'écologiste a décidé de changer ses ampoules pour passer aux modèles "basse consommation" avant que cela ne devienne bientôt obligatoire. Et bien entendu, elles coutent plus chères, sont vilaines, plus grosses ... ce qui nécessite de changer l'abat-jour qui allait avec chacune de mes anciennes ampoules (bonjour les économies, ça devrait être amorti d'ici 20 ans à mon avis ).

Je suis donc allé voir dans la boutique de décoration du coin, et le vendeur peut me fabriquer un abat-jour sur mesure, de la taille et de la forme que je veux. Formidable, non ?
En fait, le vendeur propose de me faire l'abat-jour de mes rêves à partir d'une certaine quantité de tissu pour les contours.

J'ai décidé de m'orienter vers un abat-jour en forme de pyramide régulière à base carrée comme le montre la petite figure ci-dessous. Mais attention, contrairement à la photo, l'abat-jour est fermé en haut (les ampoules chauffant moins, j'espère que ça résistera).

L'abat-jour a donc une base carrée, et les 4 faces latérales sont des triangles isocèles identiques. En tout, j'ai choisi d'utiliser 1 mètre carré de tissu (attention : seules les 4 faces triangulaires sont en tissu, et pas la base de la pyramide). J'ai demandé au décorateur de me fabriquer un abat-jour de telle sorte que son volume soit maximal.

Question : quelles sont les dimensions de la pyramide afin que son volume soit maximal, sachant que ses 4 faces latérales font 1 mètre carrée au total ?
Vous me donnerez 3 nombres en réponse : la largeur de la base et la hauteur de la pyramide, avec une précision de 1 mm pour ces deux longueurs, ainsi que l'angle au sommet des 4 triangles avec une précision de 1 degré.

Comme cette énigme sent un peu le fait qu'il va falloir faire des maths, je mets 3 étoiles pour la difficulté !


Question subsidiaire : comment s'écrit le pluriel du mot "abat-jour" ? (sans utiliser de dictionnaire )

Bonne recherche !

Posté par matovitch matovitch

Salut à tous !
x760mm H760mm et =120°.
Sauf erreur !

Posté par manpower manpower

Bonjour,

pfff quelle truffe, j'ai foncé dans les calculs comme un âne...
^{(Comme cette énigme sent un peu le fait qu'il va falloir faire des maths, je mets 3 étoiles pour la difficulté !)}
En effet, sauf erreur, le volume est maximal lorsque les faces sont des triangles équilatéraux _{(ce que j'ai découvert seulement à la fin, alors qu'en utilisant cela dès le début cela devient expéditif)}. Bien joué, jamo, la petite phrase ajoutée !

Bon, avec les formules d'aire et de volume, une équation et l'étude du maximum par dérivation, j'obtiens :
x=76 cm
H=53,7 cm
= =60°

Le tout pour un volume maximal de 103400,54 cm³.

Merci pour l'Enigmo.

PS: Pour abat-jour, je mise sur invariant tant les autres me paraissent horribles...

Posté par MatheuxMatou MatheuxMatou

Bonjour Jamo... et tout le monde

Travaillons en mètres pour les distances... et on convertira à la fin pour le résultat arrondi.

Une section de la chose par le plan médiateur d'un des côtés du carré de base met en évidence un triangle rectangle dont les côtés de l'angle droit valent h et et dont l'hypoténuse n'est autre que la hauteur d'une face triangulaire isocèle et vaut en conséquence
L'aire de l'abat-jour vaut donc
ou encore
cette aire valant 1 m² , on a la relation {*}

Par ailleurs, le volume vaut
Et cette quantité étant positive, elle est maximale si et seulement si son carré l'est.
Au bout du compte, il faut rendre maximal
Avec la relation {*} trouvée précédemment, multipliée par x², on obtient :  
Et donc le problème revient à rendre maximal.

Une brève étude de cette fonction sur ]0 ; +[ nous montre qu'elle admet un maximum pour la valeur

En reportant cette valeur dans la relation {*}, on obtient

Puis en reprenant un demi triangle isocèle formant une face, c'est un triangle rectangle dont les côtés de l'angle droit valent et , et dont l'angle au sommet vaut
On en déduit que
On en déduit que vaut 30° et donc

Avec les arrondis demandés, les nombres cherchés sont donc :
x 760 mm
h 537 mm
= 60°

c'est déjà du bel abat-jour !

Cordialement à tous,

Alain

Posté par Nofutur2 Nofutur2

J'espère ne pas m'être planté comme pour l'énigme précédente...
je trouve donc x=75,9 cm, H=53,7 cm et alpha = 60°

Posté par plumemeteore plumemeteore

bonjour
le côté de la base est 760 millimètres
la hauteur de la pyramide est 537 millimètres
l'angle au sommet de chacun des triangles équilatéraux est 60 degrés

le pluriel de abat-jour est abat-jour, car abat est un verbe conjugué et jour désigne une chose qui n'est qu'en un seul exemplaire (la lumière)
la réforme propose probablement abat-jours

Posté par yoyodada yoyodada

Salut la bande,

bien qu'à au moins 45°C de fièvre je vais tenter de répondre à cette énigme !

Je trouve un angle de 60° exactement (ma grippe me trompe-t-elle ?)

un côté x de 53,72849665 cm et une hauteur de 37,9917842 centimètres.

Le volume sera V = 0,03655761147 m^3 soit 36,56 litres environ.
En espérant que ce soit la bonne réponse, de toute manière je ne me sens pas de vérifier !

Posté par Daniel62 Daniel62

Bonjour Jamo,

ma réponse:
   largeur de la base...........x = 76 cm
   hauteur de la pyramide....H = 53,7 cm
   angle au sommet............ = 60°

les 4 triangles sont équilatéraux

   surface d'un triagle

   hauteur d'un triangle

   hauteur de la pyramide

   volume de la pyramide

   largeur de la base

Posté par geo3 geo3

Bonsoir
x = 759 mm (par défaut)
H = 537 mm
= 60°
A+

Posté par torio torio

Largeur base = 760 mm
Hauteur pyramide = 537 mm
Angle au sommet = 60°

A+
Torio

Posté par caylus caylus

Bonjour Jamo,

x=0,760 m
H=0,537 m
Alpha=60°
Merci pour l'énigme

Posté par rezoons rezoons

Bonjour ,
la pyramide atteint son aire maximale quand les 4 triangles sont equilateraux donc:
a=60°
x=760mm
H=537mm

et sans le dictionnaire je dirait abat-jours.

Posté par rogerd rogerd

Bonjour Jamo et merci pour cette énigme, reposante après l'escalator

Je trouve pour les valeurs optimales:

x=0,7598..mètre donc 76 cm à 1 mm près
H=0,5372..mètre donc 53,7 cm à 1mm près
alpha=60 degrés à 1 degré près

Je vais regarder si cette valeur est exactement de 60 degrés

Posté par evariste evariste

largeur de la base : 76,0 cm avec une précision de 1 mm
hauteur de la pyramide : 53,7 cm avec une précision de 1 mm
angle au sommet des 4 triangles: 71 degrés  avec une précision de 1 degré.

Posté par jonjon71 jonjon71

Bonjour !

Voici ma réponse :

Largeur de la base : 76,0 cm (arrondi au mm)
Hauteur de la pyramide : 53,7 cm (arrondi au mm)
Angle au sommet des 4 triangles : 60°

En espérant ne pas avoir fait d'erreurs de calcul !

Question subsidiaire : je dirais que le mot abat-jour est invariable ("des abat-jour"), à tout hasard.

Merci.

Posté par Poldenys Poldenys

Enigmo 89

Salut jamo

Pour la largeur de la base 760 mm , pour la hauteur 537 mm

et pour l'angle alpha 60°

Posté par fifredo fifredo

Bonsoir!
Tout d'abord, merci pour cette énigme.
Ma réponse est: le volume est maximal pour:
               x environ égal à 760 mm,
               H environ égal    537 mm,
             alpha égal à 60°.
Démonstration:
Appelons d la hauteur d'une face latérale.
xd/2 = 1/4 donc d = 1/(2x)
En utilisant le théorème de Pythagore, on a H²= d²-(x/2)² et H  = (racine(1-Xpuissance4))/2x.
Ainsi, V = (1/6)x racine(1-xpuissance 4)
Soit v = f(x).
f'(x) est du même signe que 2-6xpuissance4.
Ainsi f' s'anule pour x = 1/racine de racine de 3.
On en déduit H.
Ensuite, tan(alpha/2) = x², d'où alpha/2 = 30° et alpha = 60°
Merci et à bientôt.

PS: Je pense que le mot "abat-jour" est invariable.

Posté par dpi dpi

Ce problème ressemble à celui que j'ai proposé sur le site :le chercheur d'or
En retrouvant les paramètres je trouve:

x= 76  H=53.7  
et hauteur du coté triangulaire  h= 65.8 cm
pour mémoire V=103.4 dm3

Pour l'angle du coté j'ai trouvé l'arrête de la pyramide = au Coté x= 76 cm de la base donc un triangle équilatéral et donc 60°

Posté par pacou pacou

Bonjour, Jamo

Je trouve:
x=760 mm
H=537 mm
=60°

Soit S, l'aire d'un des 4 triangles et h₁ sa hauteur


h₁



H

Reste plus qu'à faire varier x dans un tableau excel, en espérant ne pas m'être plantée quelque part.

Posté par LEGMATH LEGMATH

Bonjour jamo,

Largeur de la base 800mm.
Hauteur 480mm.
Angle au sommet 65°.

Question subsidiaire : " abats-jour "

Posté par albatros albatros

H=537mm
x=760mm
alpha=35°

des abat-jour

Bonne journée

Posté par castoriginal castoriginal

Bonjour,
personnellement, j'ai trouvé:

largeur de la base  x= 760mm
hauteur de la pyramide H= 537mm

angle au sommet d'une face latérale: 60°


Bien à vous

Posté par veleda veleda

bonjour jamo
si h est en mètres la hauteur principale d'un triangle de face latérale  de base x en mètres la surface latérale de l'abat-jour est 4(xh/2)soit 2xh=>2xh=1
hauteur de la pyramide
le volume V de la pyramide=
sauf erreur de calcul  V est maximum pour

x=76cm à 1mm. prés par excés
H=53,7cm à 1mm prés par défaut
=60°

ces résultats me laissent perplexes ou bien je me suis trompée dans les calculs ou il s'agit d'un abat-jour pour un lampadaire de taille très imposante
merci pour cet enigmo

Posté par laotze laotze

Bonjour:

La démo est un peu long à mettre en latex... je mets les réponses et on verra!

la hauteur H0,5699m soit environ 570 mm

La largeur x0,7598m soit environ 760 mm

L'angle = 60°

Posté par jamilhaddad jamilhaddad

Bonjour
Largeur de la bsse:    x=760 mm.
Hauteur de la pyramide:H=537 mm.
Angle au sommet:       alpha=60 degrés
V=(x^2)*H*1/3
9V^2=x^4*H^2
H^2=a^2-(x^2)*1/2  Où a désigne l'arête du
                   triangle isocèle de base x.
Or 1=4*1/2*a^2*sin(alpha); a^2=1/2sin(alpha)
. x^2=2a^2(1-cos(alpha))
a^2=x^2/2(1-cos(alpha)=1/2sin(alpha)
x^2=(1-cos(alpha))/sin(alpha)=tan(alpha/2)=t
9V^2=t^2(1/(2*sin(alpha))-t/2)
    =1/4(-t^3+t). Maximum quand t=1/3
/2=30 degrés
x^2=1/3;x=759.8 mm
H^2=0.5*1/3; H=537.3 mm

Posté par gloubi gloubi

Bonjour,

x 76 cm
H 53,7 cm
= 60°

Posté par totti1000 totti1000

Bonjour Jamo,

Posté par Labo Labo

Bonjour jamo
x=√(2/3)m
0,816m<x<0,817m
H=√(1/12)m
0,288m<H<0,289m
67°<<68°

Posté par 13or 13or

x=0,760m
H=0,537m
Alpha=60°

Posté par jamo jamo

Clôture de l'énigme

la solution à ce problème correspondait au cas où les faces triangulaires sont équilatérales, donc un angle de 60°, et un rapport de 2 entre le côté et la hauteur de la pyramide.

Quand on a un peu l'habitude de ce genre de problème d'optimisation de forme, on sentait bien venir cette solution, mais je crois qu'il était préférable de le démontrer !

Parmi les mauvaises réponses, certains ont du faire des petites erreurs de calculs ... dommage !