Enigmo 90 : Un problème d'abat-jour, la suite

Posté par jamo jamo

Bonjour,

pour faire suite à l'énigme précédente ( ), j'ai décidé de proposer une autre forme d'abat-jour à mon décorateur : un simple cône de révolution !

Là aussi et contrairement à la photo, le cône est fermé en haut, et seule la surface latérale est en tissu, et pas le disque de base. Les conditions sont les mêmes : on fixe la surface latérale à 1 mètre carré.

Question : quelles sont les dimensions du cône de révolution afin que son volume soit maximal, sachant que sa surface latérale fait 1 mètre carrée ?
Vous me donnerez 3 nombres en réponse : le rayon de la base et la hauteur du cône, avec une précision de 1 mm pour ces deux longueurs, ainsi que l'angle au sommet du cône avec une précision de 1 degré.

Bonne recherche !

Posté par matovitch matovitch

Bonjour !
Plus dur que l'autre : r429mm H606mm et =90°
Sauf erreur!

Posté par manpower manpower

Re-bonjour,

ici, avec les mêmes outils, je trouve :

r=42,9 cm
H=60,6 cm
=71°

Le tout pour un volume maximal de 116675,015 cm³.

Merci encore.

Posté par Nofutur2 Nofutur2

Je trouve r=42,9 cm, H=60,6 cm et alpha =71°

Posté par plumemeteore plumemeteore

bonjour
le rayon de la base est 857 millimètres
la hauteur du cône est 606 millimètres
l'angle au sommet est 60 degrés

Posté par yoyodada yoyodada

Salut jamo,

rayon r = 42,9 centimètres, hauteur = 60,6 centimètres,
angle alpha = 70,52 = 71 degrés.
en espérant que ce soit juste !

Posté par MatheuxMatou MatheuxMatou

Bonsoir Jamo,

Dans cet abat-jour conique, travaillons en mètres pour les distances (et nous convertirons en mm à la fin) et notons S le sommet, O le centre de la base et A un point de la circonférence de la base.

Grâce à un petit coup de Pythagore, on voit que SA, génératrice du cône, vaut

Quant à l'aire du cône, elle vaut
Une façon de calculer cette aire consiste à faire le patron plan du cône en le coupant selon la génératrice SA et en l'aplatissant. On obtient une portion de disque dont le rayon vaut SA. La circonférence complète de ce disque vaut 2SA, mais nous n'en prenons que 2r, correspondant à la circonférence de la base du cône. Cela nous donne la proportion de disque à considérer : et nous donne l'aire du cône : .
Cette aire valant 1, nous obtenons la relation {*} :
On remarquera qu'en multipliant cette relation par r², on obtient {**} :

Le volume du cône vaut .
Il sera maximal ssi l'est, et, comme ce nombre est positif, il sera maximal ssi son carré l'est. On veut donc rendre maximal.
En utilisant la relation {**}, il suffit donc de rendre maximale.

Une étude classique de variations de cette fonction de r sur ]0 ; +[ nous donne un maximum pour la valeur

En remplaçant dans {*}, cela nous permet de calculer la valeur de h correspondante :

En considérant ensuite le triangle SOA, rectangle en O, on a
et donc

En prenant les arrondis demandés, on obtient donc comme solution :
r 429 mm
h 606 mm
71°

C'est encore du bel abat-jour ! Il y a de la place chez vous Jamo...

Cordialement à vous tous

Alain

Posté par Daniel62 Daniel62

Bonjour Jamo,

ma réponse:
   rayon de la base...r = 42,9 cm
   hauteur du cône....h = 74,3 cm
   angle au sommet.... = 71 degrés


volume du cône

Surface du cône

génératrice

rayon du cône

angle au sommet

j'ai trouvé

soit une dérivée

qui s'annule pour

Posté par torio torio

A+
Torio

Posté par geo3 geo3

Bonjour
x = 428
H = 606
= 70°
A+

Posté par caylus caylus

Bonsoir Jamo,

r=0.429 m
H=0,606 m
Alpha=71°
Merci pour l' énigme.

Posté par rezoons rezoons

Bonjour ,
je trouve:
a=48°
r=487mm
h=1089mm

Posté par Daniel62 Daniel62

Bonjour,

erreur de donnée, j'ai mis la génératrice au lieu de la hauteur
la hauteur est pourtant utilisée dans le calcul de l'angle au sommet

je corrige sans doute un peu tard, tant pis

Posté par evariste evariste

rayon de la base : 42.9 cm avec une précision de 1 mm
hauteur du cône : 60,6 cm avec une précision de 1 mm
angle au sommet du cônes: 71 degrés  avec une précision de 1 degré.

Posté par Poldenys Poldenys

Enigmo 90

Salut jamo

Pour le rayon de la base 429 mm , pour la hauteur 606 mm

et pour l'angle au sommet 71°

Posté par dpi dpi

Je suis ravi de cette variante car,j'avais sur le site posé le même problème LE CHERCHEUR D'OR qui voulait savoir comment faire sa coupelle avec 1 m de tôle et un volume maximal.

donc en retrouvant mes données:
Le cône maximum se construit en enlevant un secteur circulaire de 66°24  SOIT 360-66.24=293°76 quel est le diamètre du cercle complet pour obtenir 1 m2 de surface
    +PI *X2/4 = 1*293.76/360  =1.2555 m
donc le coté du cône abat-jour (rayon du secteur) = 1.255/2 soit 61.27 cm
je trouve comme hauteur   35.42 cm
comme rayon de la base    50  cm    
Dans ce triangle rectangle (révolution du cône) nous avons l'angle au sommet a tel que cos(a)= 35.42/61.27  =  0.578 soit angle a =54°7
l'angle au sommet du cône sera donc:   109°4    

  

Posté par pacou pacou

Bonjour, Jamo

Les dimensions du cône de révolution pour que son volume soit maximal sont:

H=607 mm
r=428 mm
=70°

Merci pour l'énigme.

Posté par LEGMATH LEGMATH

Bonjour jamo,

Rayon de base 430mm.
Hauteur du cône 602mm.
Angle au sommet 71°.

Posté par veleda veleda

bonjour jamo
aire latérale de l'abat-jour r et g en métres
hauteur du cône
volume du cône
on en déduit que V est maximum pour
puis que
et


r=42,9cm à 1millimètre prés par excès
H=60,7cm à 1millimètre prés par excés
=71°à 1 degré prés par excés
sauf erreur
merci pour cet enigmo

Posté par castoriginal castoriginal

Bonsoir,

je trouve personnellement la solution suivante:

R = 303mm

H=  429mm

et l'angle au sommet 70°,47


Bien à vous

Posté par albatros albatros

r = 429 mm
H = 605 mm
alpha = 35°

Bonne journée

Posté par laotze laotze

Bonsoir:

Le rayon de la base r 0,4287 m soit environ 429 mm

La hauteur H 0,6063 m soit environ 606 mm

L'angle 70,53° soit environ 71°

NB: je ne suis pas sûr que l'angle soit comme l'indique la figure qui suggère tan( /2) = r/H

Si correspond à l'angle du patron (étalé,ou "l'éventail", alors ce sera exactement (2)/3.

Merci pour l'énigme! ça sent le poisson...

Posté par rogerd rogerd

Bonjour Jamo et merci

Je trouve que le volume est maximal pour

r=0,429 mètre à 1 mm près

H=0,606 mètre à 1 mm près

alpha=71 degrés à 1 degré près

Posté par gloubi gloubi

Bonjour,

r 42,9 cm
H 60,6 cm
71°

Merci pour l'Enigmo

Posté par totti1000 totti1000

Bonjour Jamo,

Posté par jamilhaddad jamilhaddad

Bonsoir
* ra=1 donc r=1/a
* a^2=h^2+r^2 donc h^2=a^2-1/(a^2*^2)
* V=(1/3)*base*h=(1/3)**1/(a^2**)*h
* ... On trouve que V est maximum lorsque
  a^4=3/()^2 donne a=0.742515
  r=0.42869 m
  h=0.60626  m
  r/h=tan(/2);=70.5287
Réponses: r=429 mm
            H=606 mm  
           =71 degrés
Merci

Posté par Labo Labo

bonjour Jamo,
r=1/√(π√3)m
0,428m<x<0,429m
h=√(2/(π√3))m
0,606m<h<0,607m
tan(/2)=√2/2
70°<<71°

Posté par 13or 13or

r=0,428m
H=0,606m
alpha=71°

Posté par jamo jamo

Clôture de l'énigme

Dans ce problème, on peut encore remarquer que le rapport entre le rayon et la hauteur est égal à 2.

J'ai eu l'idée de ce problème suite à un article lu il y longtemps je ne sais plus où (dans un magazine tangente je crois), où l'on cherchait le tipi indien optimal, qui présente le maximum de volume pour le minimum de toile. Et il se trouve que les dimensions des tipis vérifient à peu prés ce rapport de 2 ...

Posté par Daniel62 Daniel62


J'avais pourtant la bonne réponse H=60,6cm la preuve c'est que j'ai calculé le volume avec la bonne valeur
je me suis simplement trompé de ligne à la copie et je m'en suis rendu compte 1 heure après.
de toute façon je me plie à la décision du juge

merci pour ces énigmes fort intéressantes

Posté par jamo jamo

Oui, il faut bien faire attention à ce qu'on écrit.

Plusieurs trouvent la bonne réponse et se précipitent pour répondre sans relire, et je ne peux pas accepter.