DM: sur la surface de la terre

Posté par wall wall

On considère deux point A et B de la surface terrestre, situés sur un même parallèle.
Envisageons deux trajets pour aller de A en B:
        *l'un suivant le parallèle ;
        *l'autre suivant le <<grand cercle>> passant par A et B, c'est à dire le cercle découpé sur la sphère par le plan (OAB), O étant le centre de la sphère.
Il s'agit de comparer la longueur de ces deux trajets.

Mathématisation:
La surface terrestre est assimilée à une sphère de rayon R, le parallèle est alor le cercle C de centre I et de rayon r (r<R) tracé sur la sphère et contenu dans un plan parallèle au plan équatorial.
On désigne paret ( un 0 barer par sa I (**) les réels de l'intervalle [0;] qui mesurent respectivement les anglesgéometriques AIB et AOB ( les 2 ont un chapeau pour l'angle).
Enfin, on note l la longueur de l'arc AB suivant le parallèle et L la longueur de l'arc AB suivant le grand cercle.

1) Etablir les résultats suivants : a) AB=2r sin/2 = 2R sin(**0I)/2;
b) r/R sin/2=sin(**)/2
c)l=r
d)L=(**)R

2)Montrer que l et L sont rangés dans le même ordre que(multiplication=>) r/R x/2 et (**)/2, puis que sin(r/R x/2)et r/Rsin/2

3) soit a un réel tel que 0<a<1
Comparer sur [0;], les fonctions x--->sin(ax) et x---->asinx.(Etudier la fonction f : x --->sin(ax)- asinx sur [0;]

4) En deduire que le trajet le plus court est obtenu en suivant le grand cercle.

figure du DM: un peut flou desoler je n'est pas pu faire mieu... Merci de m'aide ..

Posté par co11 co11

bonjour
pour la première qestion tu as intêret à faire des dessins: d'abord le triangle AIB (isocèle en I)avec la hauteur issue de I et l'angle téta.
puis idem avec le triangle AOB

Posté par wall wall

merci je fait sa ... et pour apre ? comment on peut etablir ces resultats?

Posté par co11 co11

c'est de la trigo ds un triangle rectangle: sin(téta/2)=((1/2)AB)/r
même chose ds l'autre triangle
ensuite le b se déduit du a

Posté par wall wall

et pour le reste ?

Posté par co11 co11

pour le 2) l=téta*r et L=phi*R; on divise par 2R ce qui ne change pas l'ordre (R>0)
ensuite voir que ces nbres sont compris entre 0 et pi/2 , et la fonction sin est croissante sur[0; pi/2].

Posté par wall wall

Pour le 3) je doit regarde avec la figure ou ?
pour le 4) il parle de quel grand cercle ?
merci pour tes reponse co11

Posté par co11 co11

pour le 3) tu suis les instructions données:variations de f, tu en déduiras le signe de f et donc la comparaison entre sinax et asinx
en 4)on parle toujours du grand cercle passant par A et B

Posté par wall wall

bah merci pour ton aide co11
si tu veut faire des precisions sur certain question je t'en pris ^^ mais sinon merci encore

Posté par co11 co11

qq éléments de réponse si tu veux:
3) on trouve que f'(x) > 0, d'accord ou veux tu de l'aide?
donc f est strictement croissante; et comme f(0) = 0....
4)on a montré en 2) que l et L sont rangés finalment ds le même ordre que sin(r/R*téta/2)et r/Rsin(téta/2); alors applique le résultat du 3) avec a=r/R
c'est bon?

Posté par co11 co11

avec a=r/R et x=téta/2

Posté par wall wall

pour le 3) le resultat nous aides a repondre a la question 4) c'est sa ?
on applique le résultat du 3) avec a=r/R et x=téta/2 ? apre ce resonement... que cela nous indique finalement ?
merci pour tes precision co11 cela m'aide beaucoup

Posté par co11 co11

oui le 3) sert à répondre au 4) avec a=r/R et x=téta/2.As-tu réussi à faire tout cela?
éventuellement dis moi ce que tu as fait dans ces questions 3) et 4), si tu as bloqué qq part.

Posté par wall wall

dans le 1) tu me dit qu'on peut deduire le b) grace au a) et je me suis pencher dessu et je n'arrive pas a comprendre cela ... peut-tu etre plus explicite ? merci beaucoup

Posté par co11 co11

en a) on a: 2rsin(téta/2)= 2Rsin(phi/2)
diviser des 2 côtés par 2R et on a le b)

Posté par wall wall

pour la question 1) il nous demande de faire des figures synthétiques et je n'est pas compris ce que cela voulais dire...
pour laz question 3) jai vu mon erreur car en regardant mieu l'énoncer jai mis ici sur l'intervalle [O;pie] alor que c [0:pie/2]

Posté par wall wall

pour le 1)a) tu me dit: "c'est de la trigo ds un triangle rectangle: sin(téta/2)=((1/2)AB)/r " mais dans l'énonce il dise AB= 2r sin(téta/2) =2Rsin (**)/2 ? peut-tu m'explique ton raisonement merci

Posté par co11 co11

pour la question 1) je pense que les figures attendues sont:

le cercle de centre I et de rayon r avec les points A et B, l'angle téta, et la hauteur issue de I (et l'angle téta/2 au lieu de téta ou en plus?). Tu vois ce cercle en haut de la sphère donnée ds ton DM.

le grand cercle passant par A et B: centre O, rayon R; avec toujours les pts A et B, la hauteur issue de O, l'angle phi (et-ou phi/2). Ce cercle est aussi dessiné sur la sphère du DM (en pointillés larges)

Posté par co11 co11

je ne sais pas faire de figure à poster, mais fais celles dont je viens de te parler.
puis si tu appelles par exemple H le pied de la hauteur issue de I ds le triangle AIB, applique la définition du sinus (côté opposé/hypoténuse) dans le triangle rectangle AIH, tu verras que c'est bon.

Posté par wall wall

donc enfete je refet les figures qui sont sur le DM mais séparé ?
pour le cercle de centre I je le reproduit sur ma feuille mais vu de haut par exemple avc les points A et B dessu et idem pour le cercle de centre O dont tu me parle c'est sa?
(ps: pour les figures a poster moi je les pris en photo et je les ajoute sur le forum ^^)

Posté par co11 co11

c'est ça, tu fais tes dessins "vus de face"; c'est d'ailleurs ce qui permet aussi de traiter plus facilement la question 1 a.

Posté par wall wall

et en ce qui conserne le c) et d) je fait pareil ?
apre avoir fait les dessins comment on peut etablri ces resultats ?

Posté par co11 co11

pour le c et le d, je ne sais pas très bien ce que tu dois dire, c'est presque un résultat de cours: la longueur d' un arc de cercle est proportionnelle à l'angle (admis ou non?) et la mesure en radians d'un angle est justement la longueur d'un arc d'un cercle trigonométrique (de rayon 1).

Posté par co11 co11

je vérifiais juste comment ça marchait.

Posté par wall wall

petite presicion pour le 3) jai dit comparer sur [0;pie] mais c'etait [0; pie/2] donc les element de reponse que tu ma donne sont peut-etre fausse ^^ peut-tu rectifier ? merci bien

et pour le 2) si tu pouvais expliqué ton raisonement sa serait bien merci

Posté par wall wall

UP

Posté par co11 co11

pour le 2) regarde ce que je t'ai écrit le 22 à 10h48
pour le 3), comme je n'ai donné que des pistes, ça ira; tu auras peut-être du mal à étudier le signe de f'(x)?

Posté par wall wall

pour le 3) etudier le signe de f'(x) je sais faire mais je doit prendre la definition car on a pas de valeur ... mais je ne vois pas la difference entre (x--->sin(ax)) et (x---->asinx) je parle pour l'etude du signe

Posté par co11 co11

je ne comprends pas ce que tu veux dire par: on n'a pas de valeur
à part ça, fais attention car sin(ax) n'est pas égal à asinx.

Posté par wall wall

pour la 1) on ma proposer sa :
Le probleme se resume a calculer la longueur d'un segment [AB] et celle d'un arc {AB} dans le plan ABI ainsi que dans la plan ABO
Dans le cercle C le triangle ABI est isocele et [AB] se calcule aisement en fonction de r (IA) et de θ/2, ce qui conduit aux relations 1(a) et 1(b)
De même l'arc {AB}...
Un raisonnement identique dans le cercle equatorial conduit aux meme relations avec R et Φ
c)(( Périmètre cercle 2П r pour angle =2П
Pour un angle θ, l= ....))Pour la c) c'est une règle de trois :
Le périmètre d'un cercle est : angle total * rayon, soit 2Пr
La longueur d'un arc de cercle d'angle θ est : angle * r , soit θr

j'ai eu d'autre reponse tel que :
2-Suppose que l>L ce qui est en fait le cas. Un pilote d'avion le sait très bien.
Utilise 1c et 1b pour montrer
r/R*(Theta/2)>Phi/2
ensuite passe à la question 3
3-Etudie f(x) en calculant f '(x).
Sur [0;Pi/2], pour 0<a<1, f est-elle croissante ou décroissante ?
revient à la question 2.
2-le 3 montre que sin((r/R)*(Theta/2))>(r/R)*sin(Theta/2)=sin (Phi/2) et de là tu remontes à
l>L.

que pense-tu des reponses que j'ai eu ?

Posté par wall wall

Toutes ces reponses sont un peu flou pour moi si tu pouvais les simplifiers merci ...

Posté par co11 co11

je crois que j'aurai du mal à t'aider si tu me dis pas du tout ce que toi tu as fait.
Par exemple as-tu dessiné les figures pour le 1? On en parlait le 25 vers 17h.

Posté par wall wall

oui j'ai fait tout comme tu ma dit et un camarade a moi ma donne sa en reponse donc je demande si c'est bien sa ?

Posté par wall wall

UPP

Posté par co11 co11

dis moi par exemple ce que tu as trouvé dans le triangle AIH.

Posté par sanantonio312 sanantonio312

Salut Co11...

Posté par wall wall

laisse se n'est pas grave je doit rendre le DM dem1 merci pour ton aide ...