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Enigmo 92 : Abat-jour; champ de bataille

   
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2 *Enigmo 92 : Abat-jour; champ de bataille

#msg2306513 Posté le 25-02-09 à 16:58
Posté par Profiljamo jamo Moderateur

Bonjour,

j'avais promis d'arrêter la série des problèmes sur mon abat-jour, mais rassurez-vous, il s'agit ici d'un nouveau type de problème !

Finalement, cette histoire de passer à des ampoules "basse consommation" n'est pas une bonne idée : mes abat-jour ont été envahi par des araignées attirées par la douce chaleur et par le fait que la lumière attire les insectes.

Commençons par mon abat-jour en forme de pyramide à base carrée, de hauteur 40cm et de largeur de base 30cm. L'araignée est située a un des coins du carré de base, et un moustique vient de se faire prendre dans la toile dans le coin opposé (les deux positions sont indiquées par une croix rouge).
L'araignée se lance alors en direction du moustique pour n'en faire qu'une bouchée, mais bien entendu elle doit le faire le plus rapidement possible en se déplaçant sur les faces de l'abat-jour.

Question : quelle est la longueur du trajet le plus court entre ces deux points ? Vous me donnerez la réponse avec une précision au centième de centimètre (donc en centimètres avec 2 chiffres après la virgule si vous préférez).

Important : je rappelle que l'abat-jour n'est constitué que des quatre triangles, il n'est pas possible de se déplacer sur la base carrée.

Bonne recherche !

re : Enigmo 92 : Abat-jour; champ de bataille#msg2306630 Posté le 25-02-09 à 17:32
Posté par ProfilMatheuxMatou MatheuxMatou

gagnéBonjour Jamo

Si on appelle A et M les positions respectives de l'araignée et du moustique, notons aussi S le sommet de la pyramide et B un des autres coins du carré de base.

Le trajet de l'araignée doit couper l'arête BS en un point H et le trajet aura pour longueur AH+HS, ou encore 2AH par symétrie du problème.

En se plaçant dans le triangle ASB, il est clair que AH sera minimale si H est le pied de la hauteur issue de A.

Des coupes astucieuses de la pyramide, quelques applications du théorème de pythagore et des relations trigonométriques dans des triangles rectangles nous donnent pour longueur de hauteur issue de A dans ce triangle : AH=30\sqrt{\frac{73}{82}}

Il reste à multiplier ce résultat par 2 pour avoir le parcours minimal de l'araignée, en centimètres et arrondi à deux décimales : \fbox{56,61 cm}

Alain
re : Enigmo 92 : Abat-jour; champ de bataille#msg2306747 Posté le 25-02-09 à 18:08
Posté par ProfilNofutur2 Nofutur2

gagnéJe trouve L=56,61 cm...On verra bien!!
re : Enigmo 92 : Abat-jour; champ de bataille#msg2306929 Posté le 25-02-09 à 19:05
Posté par ProfilDaniel62 Daniel62

gagnéBonjour Jamo,


ma réponse:

  Longueur du trajet le plus court =

    4$ \rm \frac{30.sqrt{5986}}{41} = \fbox{56,61 cm}
re : Enigmo 92 : Abat-jour; champ de bataille#msg2307024 Posté le 25-02-09 à 19:22
Posté par Profillink224 link224

gagnéSalut jamo.

Le chemin le plus court a pour longueur 56.61cm.

@+ et merci pour l'énigme.
re : Enigmo 92 : Abat-jour; champ de bataille#msg2307126 Posté le 25-02-09 à 19:51
Posté par Profilyoyodada yoyodada

gagnéSalut Jamo, et merci pour cette nouvelle énigme lumineuse !

Pour moi la distance minimale entre l'araignée et le moustique, en parcourant la surface de l'abat jour est:

d = 56,61 centimètres en arrondissant à 10^-2 centimètres près.
En espérant que cela soit la bonne réponse !
re : Enigmo 92 : Abat-jour; champ de bataille#msg2307195 Posté le 25-02-09 à 20:24
Posté par Profilmatovitch matovitch

gagnéBonjour !
Je trouve 56.61cm.
Sauf erreur !
Araignée#msg2307238 Posté le 25-02-09 à 20:42
Posté par Profilalbatros albatros

perduRéponse : 55,62 cm
re : Enigmo 92 : Abat-jour; champ de bataille#msg2307260 Posté le 25-02-09 à 20:51
Posté par Profilpacou pacou

gagnéBonjour, Jamo

Le longueur du trajet le plus court est 56,61 cm

Merci pour l'énigme.
re : Enigmo 92 : Abat-jour; champ de bataille#msg2307265 Posté le 25-02-09 à 20:53
Posté par Profilgeo3 geo3

gagnéBonsoir
Je crois bien que cela fait  56,61 cm
A+
re : Enigmo 92 : Abat-jour; champ de bataille#msg2307379 Posté le 25-02-09 à 21:50
Posté par Profilfennec fennec

gagnébonsoir

je trouve 56,61 cm : c'est la hauteur du triangle isocèle issue du coin du carré de la base, ensuite multipliée par 2
re : Enigmo 92 : Abat-jour; champ de bataille#msg2307407 Posté le 25-02-09 à 22:05
Posté par Profilcaylus caylus

gagnéBonsoir Jamo,

56,61 cm
Merci pour l'énigme.
re : Enigmo 92 : Abat-jour; champ de bataille#msg2307477 Posté le 25-02-09 à 23:05
Posté par ProfilSupernick Supernick

perdu55,43m?
re : Enigmo 92 : Abat-jour; champ de bataille#msg2307517 Posté le 25-02-09 à 23:54
Posté par Profilakub-bkub akub-bkub

gagnéBonjour jamo, bonjour à tous

Je dirai : 56,61cm en espérant ne pas m'être trompé dans mes calculs

Merci pour l'énigme. A+
Enigmo 92 - Abat-jour champ de bataille#msg2307688 Posté le 26-02-09 à 08:53
Posté par Profilcastoriginal castoriginal

gagnéBonjour,

Si A est le point de départ de l'araignée et B le point de position du moustique; le problème consiste à trouver un point G de l'arête de la pyramide qui n'est pas occupée. La distance à parcourir sera AG+BG et devra être minimale.
Dans un système d'axes rectangulaires à trois dimensions, l'arête de la pyramide est définie par l'intersection des deux plans des faces adjacentes.
Les équations de ces deux plans sont celles des droites représentant leur trace dans les plans (x,z) et (y,z).
Soit  8x+3z-240=0 et 8y+3z-240=0 ces équations.
Pour un point G de cote z choisie, il vient y(G)= 30-3/8z et x(G)=30-3/8z

Si on fait varier dans un tableur Excel la cote z, on définit x(G) et y(G)
ainsi que BG= racine carrée de la somme des carrés des différences des cotes x,y,z des points B et G
de même pour GA. On somme BG ET GA
Il vient un minimum qui vaut 56,61cm de trajet

Bien à vous
re : Enigmo 92 : Abat-jour; champ de bataille#msg2307943 Posté le 26-02-09 à 11:59
Posté par Profilveleda veleda

gagnébonjour jamo
soit g la longueur d'une arête de la pyramide issue du sommet S g=\sqrt{40^2+\frac{30^2}{2}}=\sqrt{2050}
si\alphaest l'angle au sommet principal d'un triangleisocèle face latérale on a cos(\frac{\alpha}{2})=\frac{15}{\sqrt{2050}}
si l'on met à plat la surface latérale de la pyramide en coupant par exemple suivant l'arête SA joignant le sommet S à l'araignée A on obtient 4 triangles isocèles égaux
              S                          SA=SB=Sm=g  (m étant le moustique)
                                        
                               \widehat{ASB}=\widehat{BSM}= \alpha
A............I............m

               B
le plus court chemin de A à m est porté par la la droite Am perpendiculaire en I à SB
Am=2AI=2gsin(\alpha)=2sqrt{2050}sin(2arccos(\frac{15}{sqrt{2050}}))=56,61cm
le trajet le plus court sur la surface de l'abat jour mesure 56,61cm
merci pour cet enigmo
              


            
re : Enigmo 92 : Abat-jour; champ de bataille#msg2307962 Posté le 26-02-09 à 12:04
Posté par Profilveleda veleda

gagnéje crois que je me suis trompée j'ai changé de notation en cours de route,je n'aime vraiment pas les calculs,je n'ai pas le courage de vérifier tant pis
re : Enigmo 92 : Abat-jour; champ de bataille#msg2308435 Posté le 26-02-09 à 15:01
Posté par ProfilAurelien_ Aurelien_

gagné56,18cm
re : Enigmo 92 : Abat-jour; champ de bataille#msg2308481 Posté le 26-02-09 à 15:15
Posté par ProfilAurelien_ Aurelien_

gagnépardon, 56,61cm !!!
re : Enigmo 92 : Abat-jour; champ de bataille#msg2308532 Posté le 26-02-09 à 15:29
Posté par Profilgloubi gloubi

perduBonjour,

Distance parcourue 27,81 cm.

*challenge en cours*#msg2308899 Posté le 26-02-09 à 16:52
Posté par Profilbapader bapader

gagnéJe calcule des hauteurs dans le triangle que constitue une face.
Je trouve que le chemin parcouru est de 60\sqrt{\frac{73}{82}} cm, soit environ 56.61 cm.
BA.
re : Enigmo 92 : Abat-jour; champ de bataille#msg2309199 Posté le 26-02-09 à 18:08
Posté par Profiltorio torio

perdu19.87767469 cm = 19.88 cm
A+
Torio
re : Enigmo 92 : Abat-jour; champ de bataille#msg2309540 Posté le 26-02-09 à 19:34
Posté par Profilevariste evariste

gagné56,61 cm
re : Enigmo 92 : Abat-jour; champ de bataille#msg2310618 Posté le 27-02-09 à 11:39
Posté par ProfilPoldenys Poldenys

gagnéEnigmo 92

Trajet perpendiculaire à l'arête

distance  :  56,61 cm (à 0,01 près)
re : Enigmo 92 : Abat-jour; champ de bataille#msg2311792 Posté le 27-02-09 à 19:24
Posté par Profilplumemeteore plumemeteore

gagnébonjour Jamo
l'araignée parcourt 56,61 cm
un trajet équivalent à celui de l'araignée joint les extrémités de deux faces consécutives étalées
carré de la hauteur latérale : (40²+15)² = 1825
carré d'une arête : 1825+15² = 2050
soit h la hauteur d'un triangle demi-face
h²*2050 = 1825*225 = carré du double de l'aire du triangle
h = racine carrée de (1825*225/2050) = 14.15291
les hauteurs réunies des demi-triangles du milieu de la figure égalent la moitié du trajet
14.15291*4 = 56.61164
merci pour l'enigme en voila la solution#msg2312152 Posté le 27-02-09 à 21:39
Posté par Profilbillyboy9 billyboy9

perduSoit A le point où se trouve le moustique, soit C le point où se trouve l'araignée,soit E, le sommet de la pyramide.Considérons AEB et AEC.
Le chemin le plus court entre l'araignée et le moustique passe par les médiatrices, passant par (EB) issue de C et de A.

On calcule dans un premier temps, la longueur de la demi-diagonale du carré de base(AH).

AH 2 = 15 2 + 15 2

On trouve AH=152

Calculons l'angle B
tan B= 40/(152); on trouve l'angle B=62°,an en déduit l'angle A=62°.

Dans un second temps, considérons H', l'intersection des 2 médiatrices.

Dans le triangle rectangle AH'B:
Angle B=62° ; Angle H'=90°Angle A=28°

cos A=(AH')/(AB) (AH')/30(AH')=30*cos28°=26,48cm

On obtient le chemin le plus court qui correspond à l'addition des 2 médiatrices:
26,48*2=  52,96cm

re : Enigmo 92 : Abat-jour; champ de bataille#msg2312417 Posté le 28-02-09 à 09:46
Posté par ProfilLEGMATH LEGMATH

gagnéBonjour jamo,

La longueur du trajet le plus court est de 56,61cm.
Les hauteurs relatives à l'arrête commune des deux faces !#msg2313350 Posté le 28-02-09 à 17:13
Posté par Profilprogramaths programaths

gagnéLe chemin le plus court entre deux points est la ligne droite !
Et le chemin le plus court entre un point et une droite est la perpendiculaire à la droite passant par le point.

En gros, on doit calculer la hauteur d'un triangle isocèle de base 30 et de côté b

b est calculable ainsi :
b^2=(15\sqrt{2})^2+40^2
b=\sqrt{450+1600}=\sqrt{2050}=5\sqrt{82}

Du croquis on obtient comme relations:
\\ \begin{eqnarray} \\ 30^2&=&x^2+h^2\\ \\ b^2&=&h^2+(b-x)^2\\ \\ \end{eqnarray} \\

Réarangées pour isoler h:
\\ \begin{eqnarray} \\ h^2&=&30^2-x^2\\ \\ h^2&=&b^2-(b-x)^2\\ \\ \end{eqnarray} \\

Soit après simplification :

\\ \begin{eqnarray} \\ h^2&=&30^2-x^2\\ \\ h^2&=&-x^2+2bx\\ \\ \end{eqnarray} \\

Ce qui signifie que les deux membres de droite sont égaux :
\\ 30^2-x^2=-x^2+2bx \\
Ce qui se réduit à :
\\ 900=2bx \\

Ou, sachant que b est une constante :
x=\frac{450}{\sqrt{2050}}
On remplace x par sa valeur dans h^2=30^2-x^2 :
h^2=900-\left(\frac{450}{5\sqrt{82}}\right)^2

Un peu d'élagage est nécessaire :
\\ \begin{eqnarray} \\ h^2&=&900-\left(\frac{90}{\sqrt{82}}\right)^2\\ \\ &=&900-\frac{8100}{82}\\ \\ &=&900(1-\frac{9}{82})\\ \\ &\approx&\frac{900*8}{9}\\ \\ &\approx&800 \\ \end{eqnarray} \\

D'où :
h\approx20\sqrt{2}\approx28.28

La solution approximative est : 56,56

La solution calculée est : 56.6116423

La solution est bien comprise entre 60 et 90.5538514

re : Enigmo 92 : Abat-jour; champ de bataille#msg2313857 Posté le 28-02-09 à 21:31
Posté par Profilmanpower manpower

gagnéBonsoir,

j'adore la géométrie dans l'espace ! Merci jamo.

En travaillant sur le patron, le plus court chemin étant la ligne droite,
je trouve, avec un peu de trigonométrie, une distance minimale de 60sin(Arccos\frac{3}{sqrt{82}}) soit environ 56,61 cm.

Merci et mort au moustique!
re : Enigmo 92 : Abat-jour; champ de bataille#msg2314622 Posté le 01-03-09 à 12:20
Posté par Profillo5707 lo5707

gagnéBonjour,

En développant l'abat-jour en 2D, le chemin le plus court est la ligne droite.
C'est-à-dire la droite DF.

On a un angle droit en E ainsi qu'en A

La hauteur h d'une face vaut \sqrt(40^2+15^2) = \sqrt(1825)
BC vaut donc \sqrt(h^2+15^2) = \sqrt(2050)
On a sin C = \frac{h}{BC}
Et sin C = \frac{DE}{30}
La longueur recherchée DF = 2DE = 56,61 cm


Merci pour l'énigme.
enigmo 92: champ de bataille#msg2315433 Posté le 01-03-09 à 16:32
Posté par Profiljamilhaddad jamilhaddad

gagnéLa longueur du plus court trajet est 56.61 cm.
Soit A la position de départ de l'araignée, C celle du moustique,B le trosième sommet de la base, S le sommet de la pyramide, I le projeté de S sur la base, AH la perpendiculaire à SB.
AI=152
(SA)^2=(SB)^2=1600+4050=2050
(AB)^2=(SA)^2+(SB)^2-2SA*SB*cos(ASB)                  
  900 = 4100(1-cos(ASB))
cos(ASB)=32/41
AH=SA*sin(ASB)=2050*1-(32/41)^2=28.3058
SH=SC et SH+SC=28.3058*2=56.61 cm
plus court trajet est SHC=56.61 cm
re : Enigmo 92 : Abat-jour; champ de bataille#msg2317359 Posté le 02-03-09 à 15:45
Posté par Profiltotti1000 totti1000

gagnéSalut Jamo,
Je pense que la longueur du trajet le plus court entre les deux points est de 56,61 cm.
Merci pour cette énigme.
re : Enigmo 92 : Abat-jour; champ de bataille#msg2317714 Posté le 02-03-09 à 18:22
Posté par Profilmaher_91 maher_91

perdubonjour Jamo, bonjour à tous,

soit ABC le triangle par lequel l'araignée va passer,
et M un pt de [AC] on cherche la distance minimale BM et ensuite on obtient x=BM*2 (la longeur du trajet le plus court)

AB=AC=45.36cm
ACB=ABC=68.5°
CAB=43°

BM= \sqrt{CM^2-42.732CM+900}
pour BM minimale CM=21.36
donc BM=36.245

d'ou X=72.4919cm

@bientôt
re : Enigmo 92 : Abat-jour; champ de bataille#msg2318522 Posté le 02-03-09 à 23:17
Posté par ProfilLabo Labo

gagnéBonjour Jamo,
d=60\sqr{\frac{73}{82}}56,61cm
champ de bataille araignée#msg2318874 Posté le 03-03-09 à 11:53
Posté par Profildpi dpi

gagnéL'araignée coupera les deux triangles isocèles par les petites hauteurs et parcourra donc   56,61 cm
re : Enigmo 92 : Abat-jour; champ de bataille#msg2324209 Posté le 05-03-09 à 20:23
Posté par Profilrezoons rezoons

perduBonjour ,
je trouve 56.18cm
le premier probleme d'abat-jour. du moustique à l'araignée...#msg2324297 Posté le 05-03-09 à 20:51
Posté par Profilmirabelle9cube mirabelle9cube

perduBonjour.
je crois avoir trouvé la réponse à se problème d'abat-jour.
En le "dépliant", il suffit de considerer la longueur du segment qui va de M à A.
comme résultat, je propose donc: (24*20)/racine(73) comme valeur exacte, soit environ 56,18 cm (en arrondissant au centième comme demandé...)
re : Enigmo 92 : Abat-jour; champ de bataille#msg2332736 Posté le 09-03-09 à 03:49
Posté par Profil13or 13or

gagné56,61 cm
re : Enigmo 92 : Abat-jour; champ de bataille#msg2335229 Posté le 11-03-09 à 04:09
Posté par ProfilWasiwasa1729 Wasiwasa1729

perduA la va vite je dirai 56,18 cm.

Merci pour l'énigme.
re : Enigmo 92 : Abat-jour; champ de bataille#msg2338826 Posté le 13-03-09 à 18:39
Posté par Profiljonjon71 jonjon71

gagnéBonjour !

Voici ma réponse :

La longueur du trajet le plus court entre ces deux points ? Vous me donnerez la réponse avec une précision au centième de centimètre (donc en centimètres avec 2 chiffres après la virgule si vous préférez).
re : Enigmo 92 : Abat-jour; champ de bataille#msg2338828 Posté le 13-03-09 à 18:40
Posté par Profiljonjon71 jonjon71

gagné
Excusez-moi pour ce qui précède !

La longueur du trajet le plus court entre ces deux points est : 56,61 cm

Merci !
re : Enigmo 92 : Abat-jour; champ de bataille#msg2342885 Posté le 15-03-09 à 19:06
Posté par Profiljamo jamo Moderateur

Clôture de l'énigme

La bonne réponse était : 56,61 cm.

Pour trouver la bonne réponse de ce genre d'exercice très classique, il suffit :

- de dessiner le patron du solide ;
- une fois le solide "à plat", de tirer un trait entre les deux points ;
- de calculer la longueur en utilisant des méthodes assez simples (Pythagore, trigo, etc ...) ;
- et surtout d'éviter les erreurs de calculs et d'unités !
Mauvaise lecture ?#msg2345171 Posté le 17-03-09 à 14:21
Posté par Profilprogramaths programaths

gagnéMerci de bien vouloir relire ma contribution !

La solution calculée est : 56.6116423
re : Enigmo 92 : Abat-jour; champ de bataille#msg2345618 Posté le 17-03-09 à 19:15
Posté par Profiljamo jamo Moderateur

programaths >> ok, j'ai corrigé, je n'avais pas vu ta réponse.

Comme je l'ai déjà dit plusieurs fois, il serait préférable de commencer votre texte en donnant la réponse de manière claire.
Ensuite, si vous voulez détailler, faites-le.
Mais ne donnez pas la réponse noyée au milieu d'une démonstration, ça me fait gagner du temps.
re : Enigmo 92 : Abat-jour; champ de bataille#msg2345783 Posté le 17-03-09 à 20:24
Posté par ProfilMatheuxMatou MatheuxMatou

gagnéBonsoir Jamo,

d'ailleurs, à ce sujet, peut-on poster déjà la réponse  sans autre explication, et ensuite poster un deuxième message donnant la démonstration (qui est bien plus longue à taper que la simple réponse)...

car c'est quand même plus satisfaisant de donner une méthode (cela permet de les comparer et de voir les plus astucieuses)...

cordialement,

alain
re : Enigmo 92 : Abat-jour; champ de bataille#msg2346100 Posté le 17-03-09 à 22:16
Posté par Profiljamo jamo Moderateur

Bien sûr.

Je ne vérifie que la réponse, et je ne note que le 1er message.

Il est donc tout à fait possible de donner la réponse le plus vite possible, puis de prendre son temps à rédiger la démonstration et la poster plus tard, même plusieurs jours après.
re : Enigmo 92 : Abat-jour; champ de bataille#msg2346607 Posté le 18-03-09 à 14:52
Posté par Profilcolasfoliot colasfoliot

56.51cm
re : Enigmo 92 : Abat-jour; champ de bataille#msg2346611 Posté le 18-03-09 à 14:53
Posté par Profilcolasfoliot colasfoliot

56.61cm dsl

Challenge (énigme mathématique) terminé .
Nombre de participations : 37
:)75,68 %24,32 %:(
28 9

Temps de réponse moyen : 71:03:22.

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