Enigmo 95 : Le jeu des 7 nains

Posté par jamo jamo

Bonjour,

comme vous devez le savoir, les 7 nains du conte "Blanche-Neige et les 7 nains" travaillent dans une mine de diamants.

Mais ce que vous ne devez pas savoir, c'est que le soir venu, ils jouent aux dés la récolte de diamants de la journée (bien entendu en buvant et en fumant avec excès ... mais on préfère cacher ce côté obscur des nains dans le conte destiné aux enfants )

Voilà le principe de ce jeu. Les 7 nains se mettent tous autour du table et possèdent 4 diamants chacun en début de partie (voir figure). Blanche-Neige (il faut bien qu'elle se rende utile), lance un dé à 7 faces, avec le nom d'un nain par face (prochaine énigmo : comment réaliser un dé parfaitement équilibré à 7 faces).
Le nain désigné par le dé doit se séparer de 2 diamants, en donnant 1 diamant à chacun de ses deux voisins. Si jamais il ne peut pas donner les 2 diamants, il est éliminé de la partie et doit quitter la table (petite remarque : posséder 0 diamant à un moment de la partie n'est pas éliminatoire).

A un moment donné de la partie, les nains réalisent qu'ils sont tombés sur la configuration décrite sur la 2ème figure : 1 diamant pour le nain A, 2 diamants pour le nain B, ... et 7 diamants pour le nain G. Bien entendu, aucun nain n'a été éliminé au cours de la partie.

Question : décrivez-moi la plus courte partie permettant de parvenir à cette situation.

Pour me simplifier la correction, vous me donnerez la liste des coups sous la forme : "AFGBDFAE...".

Comme je suis sympa, je vous annonce qu'il existe au moins une solution, mais comme il en existe sans doute plusieurs, je veux vraiment la plus courte.

Bonne recherche !

Posté par Nofutur2 Nofutur2

J'ai trouvé une solution en 21 coups : 5A,6B,5C,3D,1E et 1G.
Il suffit de faire attention de ne jamais obtenir un nombre ... négatif pour qu'il n'y ait aucun éliminé.
J'espère que je ne me suis pas planté :
"ABBACCBABCDDDCEBACGBA"

Posté par Nofutur2 Nofutur2

Je voulais le faire depuis plusieurs énigmes, mais je voudrais vraiment te remercier Jamo pour tes énigmes très très sympas..
Toutes mes excuses pour ma "distraction", mais je voudrais que tu saches que j'aprécie beaucoup, même si je ne fais pas de commentaire à chaque réponse...
Continue comme çà !!!  C'est super !!!

Posté par yoyodada yoyodada

Bonjour Jamo ,

Je trouve un minimum à 28 coups: ça me semble un peu haut, d'autant plus qu'il y a beaucoup de solutions possibles, mais je ne vois pas comment faire moins.

Un exemple de solution possible:

B-A-C-D-E-F-B-A-C-D-B-A-C-B-A-G-B-C-B-A-C-B-A-G-D-C-D-E


En espérant que cela soit la bonne solution même si j'ai quand même des doutes...

Posté par dhalte dhalte

Bonjour

AABBABCBACBCCBACDDDEG

Posté par caylus caylus

Bonsoir Jamo,
sauf erreur,
il faut au moins 21 parties (5A,6B,5C,3D,1E,0F,1G)
Par ex: (j'ai mis des groupements de 3 pour la correction)

AAB
BAB
CBA
CBC
CBA
CDD
DEG

Merci pour l'énigme.

Posté par plumemeteore plumemeteore

bonjour Jamo
ACBBACBACBDDDCCEBGABA
ici une lettre désigne aussi le nombre de fois qu'elle est tirée
2A = G+B+3
2B = A+C+2
2C = B+D+1
2D = C+E
2E = D+F-1
2F = E+G-2
2G = F+A-3
on trouve 2D = C+E = B+F = A+G
2C-2E = B-F+2; 4C-4E = 2B-2F-4 = A+C-E-G+8 d'où 3C-3E = A-G+8
soit n l'écart de C et de E par rapport à D
2C-2E = 4n = B-F+2; B-F = 4n-2 et l'écart de B et de F par rapport à D = 2n-1
3C-3E = 6n = A-G+8; A-G = 6n-8 et l'écart de A et de G par rapport à D = 3n-4
la solution en un minimum de coups est réalisée quand n = 2 et D = 3
A = 5; B = 6; C = 5; D = 3; E = 1; F = 0; G = 1
l'ordre des coups doit éviter qu'un nain n'épuise ses diamants
départ : 4444444
après AC : 2625445
après BB : 4245445
après AC : 2426446
après B : 3236446
après AC : 1417447
après B : 2227447
après DDD : 2251747
après CCE : 2414557
après BG : 4224565
après A : 2324566
après B : 3134566
après A : 1234567

Posté par rezoons rezoons

Bonjour ,
je trouve AABBBACCBAGDDCBCBACED

Posté par castoriginal castoriginal

Bonjour,

j'ai trouvé, parmi d'autres, 3 solutions soit:

ABCDCBABACBADCEDGCBBA

BACBAABCDBACDCEDGCBBA

AABBCDABCCDCBEAGDCBBA

Je ne pense pas qu'il y ait moyen de descendre en-dessous de 21 coups.
Cela représente 3 coups en moyenne par nain.

Bien à vous

Posté par Albertus Albertus

Bonjour,
Pas certain de ma réponse car basic:
AABBACBCBADCBCDEDCBAG
en 21 coups

Posté par ledudu ledudu

En résolvant le système à 7 inconnues (7 inconnues : nombre de fois qu'un des nains est tiré), je trouve une solution en 21 coups et le nombre minimum de tirages par nain. Soit [5 6 5 3 1 0 1]
Après il faut trouver une permutation circulaire des tirages pour éviter l'élimination des nains.
Par exemple : GEDCB ADCBD BCBAA ABACC B

Posté par geo3 geo3

Bonjour
Voici une solution
A A B B A B C B A C B C C B A C D D D E G
en espérant que c'est la plus courte
A+

Posté par manpower manpower

Bonsoir,

più... pas si simple !

A priori, il faut que le nombre de parties soit un multiples de 7 et je n'ai pas mieux que 21 parties.

Voici deux solutions :
AABBBCCCDDDEGAABBCCAB
ABBCCABCABDDDCCBABEGA _{(ici aucun nain n'atteint 0 diamant au cours de la partie)}


L'ordre peut varier _{(en faisant attention à ce qu'aucun nain ne perde alors qu'il n'a plus de diamant...)}
En revanche, il devrait y avoir pour toutes les solutions minimales les pertes de parties suivantes:
A:5 - B:6 - C:5 - D:3 - E:1 - G:1

Merci jamo pour l'Enigmo.

Posté par pacou pacou

Bonjour, Jamo

Je te propose: ABCDEGABCDABCDABCBABC qui est une solution en 21 coups.

J'ai  utilisé une petite boucle Visual Basic pour te répondre, mon code ne devait pas être fameux car il me donnait une solution en 28 coups.
Comme ça me paraissait trop, j'ai étudié la solution. Il m'a semblé que je pouvais éliminer une rotation complète (ABCDEFG) soit 7 coups.
Du vrai bidouillage!
En espérant ne pas m'être trompée.

Merci pour l'énigme.

Posté par Daniel62 Daniel62

Bonjour Jamo,

ma réponse:
  

il existe plusieurs réponses en 21 coups,
toutes comprenant de même nombre de lettres "ABCDEFG" soit: 5653101

on remarque qu'il n'y a pas de "F"
en effet une séquence complète "ABCDEFG" c'est-à-dire une lettre de chaque s'annule
c'est-à-dire remet le jeu dans le même état qu'avant la séquence
la prochaine réponse serait donc en 28 coups
une réponse en 14 coups n'est pas possible puisque on ne peut annuler le "F"

je suis parti sur une base de 6, en affectant un poids à chaque case
la valeur de départ est 167961
on doit arriver à une valeur de 324726
chaque phase de jeu à une valeur suivant la case:
  1 --> 46660
  2 --> 25
  3 --> 150
  4 --> 900
  5 --> 5400
  6 --> 32400
  7 --> -85535

pour une séquence complète la valeur est nulle,
ce qui explique que l'on n'aura pas toutes les lettres présentes dans la réponse
la valeur résultante doit être de 156765 (soit 324726-167961)
qui est donnée par le nombre de lettres: 5A 6B 5C 3D 1E 0 1G
  soit  5*46660 + 6*25 + 5*150 + 3*900 + 5400 - 85535 = 156765
existe-t-il d'autres possibilités ?
par exemple remplacer 6B par 1C (150=6*25) et gagner 5 phases de jeu
je ne crois pas, on est limité par le nombre de diamants

d'autres séquences:
   BCBACBAABACBDCDEDCBAG
   CDBBCABCDEABCDABCAGBA
   GABCDCBBCDEABCDABCABA

Posté par torio torio

Voici une partie en 21 coups :

A+
Torio

Posté par MatheuxMatou MatheuxMatou

Bonsoir Jamo,

Très intéressant ce petit problème...

En fait, si on s'assure que personne ne descend en dessous de 0, les coups joués permutent...

Un petit système à nombre infini de solutions conduit rapidement au fait que les nombres de fois où les faces sont sorties sont respectivement (pour A, B, C ...) :
4+m ; 5+m ; 4+m ; 2+m ; m ; m-1 ; m
où m est un paramètre réel quelconque...
la plus petite valeur de m acceptable est m = 1
et la somme donne alors le nombre minimal de lancers : 14 + 7 m = 21
Une séquence possible possible pour parvenir en 21 coups à la situation proposée est (en lisant de gauche à droite) :

A-B-C-D-A-B-B-C-A-B-C-A-B-C-D-C-B-A-D-E-G

Alain

Posté par gloubi gloubi

Bonjour,

Dans la partie la plus courte (21 coups) A perd 5 fois, B 6 fois, C 5 fois, D 3 fois, E 1 fois et G 1 fois.

Une partie possible, en évitant les résultats intermédiaires négatifs, est: AABBBCCCDDDEGAABBCCAB.
_{sauf erreur de recopie ...}

Merci pour l'Enigmo,

gloubi

Posté par 13or 13or

AAB BAB CBA CBC CBA CDD DEG

Il n'y a pas plus court que 21 coups, mais il y a des tas de solutions en 21 coups (permutations).

Si X1 est le nombre de coups joués par le 1er nain (A), X2 par le 2e, etc.,
on a 7 équations :
4 -2*X1 +  X2                           +X7 = 1
4 +  X1 -2*X2 +  X3                         = 2
4       +  X2 -2*X3 +  X4                   = 3
4             +  X3 -2*X4 +  X5             = 4
4                   +  X4 -2*X5 +  X6       = 5
4                         +  X5 -2*X6 +  X7 = 6
4 +  X1                         +  X6 -2*X7 = 7
Ces équations sont liées : si on additionne tout, on obtient 28=28 !
Si on prend X1 comme un paramètre, les autres (X2 à X7) en découlent.
(Je passe la résolution) On trouve :
X2 = X1 +1
X3 = X1
X4 = X1 -2
X5 = X1 -4
X6 = X1 -5 => X1 est au minimum égal à 5
X7 = X1 -4
Total : X1+X2+X3+X4+X5+X6+X7 = 7*X1 -14, soit au minimum (X1=5) : 35-14 = 21.
Il doit aussi y avoir des solutions en 28 coups (X1=6), 35 coups (X1=7), etc.

Merci Jamo pour ces énigmos!

Posté par 13or 13or

Au cas où les espaces seraient gênants pour la correction, je remets la même solution sans espace :
AABBABCBACBCCBACDDDEG

Posté par Wasiwasa1729 Wasiwasa1729

Enigme vraiment originale est il est difficile d'attrapper une prise au début.

Le truc c'est de remarquer que le meilleur(le+ chanceux) des joueurs de ce jeu n'est pas celui qui termine a 7 mais celuis qui termine a 6. Car celui qui termine a 7 a a coté de lui un pietre joueur qui a du lui donner beaucoup de diamant. Malgré cela il n'a qu'un diamant de plus que celui qui en a 6 et qui etait a coté de "bons" joueurs. Le joueur a 6 diamant est celui qui a le "mieux" joué donc si il y en a un qui n'a perdu aucune fois ce ne peut etre que lui. De même le plus mauvais joueur et celui qui a 2 diamants car il etait a coté de 1 et 3 qui ont du lui donner bcp. Malgré cela il finit qu'avec un diamant de plus que n°1.
Partant de ce constat comptons combien chacun a eu de victoire et de défaite en partant du principe que n°6 a zero defaite ce qui permet de faire la plus coure sequence.
6 a donc gagné 2 fois et comme ni 5 ni 7 ne sont aussi bons que 6, 5 et 7 ont perdu une fois. Il en découle que 1 a perdu 5 fois et 4 a perdu 3 fois. Puis enfin 2 a perdu 6 fois (le gros nul!!) et 3 a perdu 5 fois.
Resumé
A5 defaites
B6 defaites (the quiche)
C5 defaites
D3 defaites
E1 defaite
F0 defaite   (the best)
G1 defaite.

Ensuite il suffit d'elaborer une sequence qui prend juste la precaution de ne mettre aucun nain en deficit de diamant et c'est dans la poche.

par exemple:

AABBCCDDEGABBCCDABBCA

Merci pour cette enigme deroutante.

Posté par lo5707 lo5707

Bonjour,

Enigme déjà proposée par Minkus

Il faut 21 coups, par exemple:

ABCDEFG
4444444
5444452
3544453
4354453
4435453
2535454
3345454
3353554
3434554
3435364
3443464
4253464
4334464
2434465
3244465
3325465
3333565
4143565
4224565
2324566
3134566

Puisqu'il faut les lettres:

GABCABDCEDBCABCDBCAB


Merci pour l'enigme.

Posté par dpi dpi

je n'ai certainement pas la solution la plus courte ;mais elle marche et surtout je l'ai mémorisée pour impressionner mes voisins!

AA BBB CCC DDD EE A CC BBB AA G B F A G D C

Posté par albatros albatros

AGBADBECABCDCABCBABDC

peut être le plus court

bonne journée

Posté par Rudi Rudi

Bonjour

------------ Réponse proposée ----------------

AABBBACCCBBACBACDDDEG

-------------- Méthode détaillée --------------

Raisonnons sur un exemple :
C doit passer de 4 à 3 : on l'obtient ce différentiel de (-1) avec 3 - 4 = -1 = (1)(-2) + (1)(+1) ou, plus généralement, avec c positif ou nul : (1+c)(-2) + (1+2c)(1)
ce qui signifie que C doit être cité (1+c) fois et doit gagner (1+2c) de ses voisins

De la même façon, on a alors les différentiels :

A : -3 = (2+a)(-2) + (1+2a)(1)
B : -2 = (1+b)(-2) + (0+2b)(1)
C : -1 = (1+c)(-2) + (1+2c)(1)
D : 0 = (0+d)(-2) + (0+2d)(1)
E : 1 = (0+e)(-2) + (1+2e)(1)
F : 2 = (0+f)(-2) + (2+2f)(1)
G : 3 = (0+g)(-2) + (3+2g)(1)
de la forme :
X_n = (x_n)(-2) + (y_n)(1)

Il suffit alors de traduire que ce qui est gagné est la somme de ce qui est fourni par les voisins : y_n = (x_n-1)+(x_n+1)
En prenant l'exemple de C, on tire l'équation : (1+2c) = (1+b)+(0+d) => b-2c+d=0

En écrivant cette relation pour les 7 nains, on a un système linéaire de 7 équations à 7 inconnues :
g-2a+b=0
a-2b+c=-3
b-2c+d=0
c-2d+e=-1
d-2e+f=1
e-2f+g=2
f-2g+a=1

qui a une infinité de solutions avec f positif ou nul :
a=f+3
b=f+5
c=f+4
d=f+3
e=f+1
g=f+1

Pour diminuer le nombre de parties, prenons f=0, on déduit a=3, b=5, c=4, d=3, e=g=1 d'où :
A : -3 = (5)(-2) + (7)(1) => A sera cité 5 fois
B : -2 = (6)(-2) + (10)(1) => B sera cité 6 fois
C : -1 = (5)(-2) + (9)(1) => C sera cité 5 fois
D : 0 = (3)(-2) + (6)(1) => D sera cité 3 fois
E : 1 = (1)(-2) + (3)(1) => E sera cité 1 fois
F : 2 = (0)(-2) + (2)(1) => F sera cité 0 fois
G : 3 = (1)(-2) + (5)(1) => G sera cité 1 fois

Il y aura 21 citations : 5A+6B+5C+3D+1E+0F+1G et donc un grand nombre de solutions
En respectant le plus possible l'ordre alphabétique, et sans descendre en-dessous de zéro, on peut écrire :
AA BBB A CCC BB A C B A C DDD E G

Que l'on peut visualiser ainsi :
A B C D E F G
4 4 4 4 4 4 4
0 6 4 4 4 4 6   AA
3 0 7 4 4 4 6   BBB
1 1 7 4 4 4 6   A
1 4 1 7 4 4 7   CCC
3 0 3 7 4 4 7   BB
1 1 3 7 4 4 8   A
1 2 1 8 4 4 8   C
2 0 2 8 4 4 8   B
0 1 2 8 4 4 9   A
0 2 0 9 4 4 9   C
0 2 3 3 7 4 9   DDD
0 2 3 4 5 5 9   E
1 2 3 4 5 6 7   G

-------------- Variante d'énoncé -------------

Il était même possible de contraindre les nains à devoir posséder au moins 1 diamant, en rendant éliminatoire le fait de ne plus posséder de diamant.

Le raisonnement est identique au précédent mais, avec cette contrainte, une des solutions est la suivante : ABBACCBABCDDDCCBABEGA

A B C D E F G
4 4 4 4 4 4 4
2 5 4 4 4 4 5   A
4 1 6 4 4 4 5   BB
2 2 6 4 4 4 6   A
2 4 2 6 4 4 6   CC
3 2 3 6 4 4 6   B
1 3 3 6 4 4 7   A
2 1 4 6 4 4 7   B
2 2 2 7 4 4 7   C
2 2 5 1 7 4 7   DDD
2 4 1 3 7 4 7   CC
3 2 2 3 7 4 7   B
1 3 2 3 7 4 8   A
2 1 3 3 7 4 8   B
2 1 3 4 5 5 8   E
3 1 3 4 5 6 6   G
1 2 3 4 5 6 7   A

Ainsi, il n'apparaît, à aucun moment, le chiffre zéro

Rudy

Posté par totti1000 totti1000

Salut Jamo,
Je ne sais pas si c'est le plus court mais je n'ai pas trouvé en moins de 21 coups :
A-B-A-B-A-B-C-B-A-C-C-B-C-D-D-E-D-C-B-A-G

Posté par Livia_C Livia_C

Bonjour,
A B A C B A B C D C C A D E D C B G A B B
Merci pour l'énigme

Posté par master_och master_och

Bonsoir

Le nbre minimum de coups à effectuer est 21 coups soit :

5 coups pour le nain A  
6 coups pour le nain B
5 coups pour le nain C
3 coups pour le nain D
1 coups pour le nain E
0 coups pour le nain F
1 coups pour le nain G


ce qui implique toujours beaucoup de solutions possibles en voici une : AABBBACCCBBACBACDDDEG

voilà merci pour l'énigme.

Posté par Rudi Rudi

Bonjour

En ayant trouve le nombre de citations selon la methode exposee dans le post precedent, c est a dire 21 citations :
5A
6B
5C
3D
1E
0F
1G
On peut aussi les presenter de facon tres cyclique comme en figure 1

------------ Proposition d enonces -----------------

A - Generalisation : p diamants pour 2p-1 nains
On peut se poser la question de generaliser cette facon d obtenir la solution
Avec p=3 diamants et 5 nains, on a la solution de la figure 2 dont la forme est tres proche
Avec p=5 diamants et 9 nains, il est possible que la solution soit obtenue selon une logique similaire

B - On peut aussi se poser la question du nombre de citations necessaires en fonction du nombre de nains (ou de diamants)
Avec D=3 diamants, N=5 nains, on trouve C=5 citations
Avec D=4 diamants, N=7 nains, on trouve C=21 citations
Peut-on exprimer C=f(N) ?

Rudy

Posté par veleda veleda

bonjour Jamo,
j'ai enfin trouvé un moment pour me concentrer sur cet énigmo
pour arriver à la répartition 1,2,3,4,5,6,7des diamants je propose que les nains jouent en 21 coups dans l'ordre suivant
CCBBAAABBAGCBADCBCDDE
A joue 5fois
B joue 6fois
C joue 5fois
D joue 3fois
E joue 1fois
F ne joue pas
G joue 1fois
d'autres ordres sont possibles
si je note (a,b,c,d,e,f,g)le 7-uplet dont les composantes sont les entiers positifs correspondant aux nombres de fois où A,B,C,D,E,F ont joué d'aprés les données du texte ce 7-uplet est solution du système
M.^t(a,b,c,d,e,f)=^t(-3,-2,-1,0,1,2,3) où M est la matrice 7x7 tridiagonale(1,-2,1)
le système est indéterminé d'ordre 1 et un 7-uplet solution est de la forme
(5+f,6+f,5+2f,3+f,1+f,f,1+f)avec f entier naturel
on cherche le 7-uplet solution minimisant a+b+c+d+e+f+g=7(3+f)=>f=0,g=1,e=1,d=3,c=5,b=6,a=5
j'espère ne pas avoir fait d'étourderies
merci pour cet énigmo

Posté par jamo jamo

Clôture de l'énigme

Pour réussir à résoudre cette énigme, il fallait tout d'abord réfléchir au nombre de coup minimal pour parvenir à la situation finale.
Divers raisonnement permettent de trouver qu'il faut 21 coups, et on trouve même combien de coups chaque joueur doit jouer.
Je vous laisse lire les différentes solutions bien détaillées de plusieurs participants.

Ensuite, en tâtonnant un peu, on trouvait assez facilement une solution.

lo5707 >> tu as oublié 1 coup, sans doute une erreur de recopiage. Tu as signalé que cette énigme a déjà été proposée par minkus ... c'était laquelle ?

Livia_C >> malheureusement, ta solution passe par des étapes où des nains doivent être éliminés.

Posté par veleda veleda

bonjour jamo
j'ai répondu in extrémis car j'avais par hasard trouvé une solution en 21 coups mais pas eu le temps de montrer que c'était bien le minimum de coups ce qui finalement est simple à prouver
merci pour cet enigmo qui m'a bien plu et bon aprés midi de dimanche