Le champ de Pierre.

Posté par J-P J-P

Pierre possède un champ rectangulaire, ce champ a des cotés ayant pour mesures des nombres entiers de mètres.
De plus, la largeur et la longueur du champ diffèrent de 1 m exactement.

L'aire du champ en m² s'exprime par un nombre de 4 chiffres dont les chiffres des milliers et des centaines sont identiques, et on a aussi les chiffres des dizaines et des unités égaux.

Quelles sont toutes les dimensions possibles (largeur(s) et longueur(s)) du champ de Pierre.
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La méthode de calcul, sans l'utilisation d'un programme informatique quelconque est demandée.
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Clôture de l'énigme dimanche.

Bonne chance à tous.

Posté par gilbert (invité)

Soit L, une des dimensiuons , on doit avoir :
L * (L+1) = 1100 a +11 b = 11(100 a +b)
ou
L * (L-1) = 1100 a +11 b = 11 (100 a + b)
Comme la surface a 4 chiffres, L est compris entre 33 et 100 inclus
On doit donc trouver un nombre L multiple de 11, tel que L/11 * (L-1) ou L/11 * (L+1)  soit de la forme "a0b", donc immédiatement supérieure à des centaines.
On trouve :3 * 34 = 102; 6 * 67 = 402 et 9 * 100 = 900.
Les dimensions possibles sont donc :
33 m * 34 m = 1122 m²
66 m * 67 m = 4422 m²
99 m * 100 m= 9900 m[sup][/sup]2

Posté par manpower manpower

Soit la longueur et la largeur du champ de Pierre.
On a = + 1   et   = =
On sait que 1000 9999  (nombre de 4 chiffres en considérant, sans piège, que le premier n'est pas 0)
On en déduit que 32 99 (via la racine carrée)
                              
Par ailleurs, l'aire s'écrivant de la forme est divisible par 11
(car la somme des chiffres de rang pair moins celle des chiffres de rang impair qui vaut est divisible par 11).
Ainsi, = est divisible par 11 donc est divisible par 11 ou est divisible par 11
         (lemme de Gauss: Si a divise bc, alors a divise b ou a divise c)
*Cas divisible par 11:
{33,44,55,66,77,88,99}   (les multiples de 11 dans [32,99])  soit {32,43,54,65,76,87,98}
Mais aucune des 7 possibilités n'est solution du problème.
*Cas divisible par 11:
{33,44,55,66,77,88,99}
On teste, cas par cas, chacune des 6 possibilités :
=33 = : est solution
=44 = : n'est pas solution
=55 = : n'est pas solution
=66 = : est solution
=77 = : n'est pas solution
=88 = : n'est pas solution
=99 = : est solution

Conclusion: On dénombre exactement 3 solutions (sous la forme ,): - et

Posté par pietro (invité)

3 sol : 33x34    66x67    99x100

Soit c la largeur du champ.
On doit donc avoir :
c.(c+1) = 10³.a + 10².a + 10.b + b   a,b,c entiers positifs
pour que ce produit soit compris entre 10³ et 10⁴ on doit avoir 31 < c < 100
c.(c+1) = 1100.a + 11.b = 11.(100.a + b)
comme 11 est premier ( et moi dans un état second)
c est multiple de 11 ou c+1 est multiple de 11
c est multiple de 11 ou c est multiple de 10
pour c :
1) essayer les valeurs 33 , 44 , 55,......,99
2) " " " " " " " " " " 40 , 50 , 60,.......,90

1) c = 33 convient :
  33.34 = 1122
   c = 66 convient :
  66.67 = 4422
   c =  99 convient :
  99.100 = 9900
2) ne donnera rien
Voilà, je n'ai pas eu le temps de trouver mieux, je vais bientôt prendre un avion pour Ténériffe.(15 j de vac !)
J'espère pouvoir continuer à participer de là-bas.

Posté par DiabloBoss (invité)

On sait que longueur et largeur diffère de 1m.
Posons x=largeur avec x un entier. Donc x+1=longueur.

Soit A=x²+x A etant l'aire du champ de pierre.
On veut un aire tel que les chiffres des milliers et des centaines sont identiques, et on a aussi les chiffres des dizaines et des unités égaux.

Pour eviter donc de tester tout les nombres un par un jusqu'a trouver tous les chiffres chercher on va aproximer, on prendra x² et non x²+x pour simplifier et trouver une largeur et puis on testera cette largeur avec la vrai formule de l'aire x²+x.

Explication: pour une aire 11aa (a des nombres) et bien on prendra la racine carrée de 1100 qui nous donnera un valeur dont on prendra la partie entiere et avec ce nombre on testera les chiffre avoisinant pour voir si il existe un nombre a tel que on ait 11aa.

Soit racine(1100)=33.1662479036.........
Donc la partie entiere est de 33.
On test: 33²+33=1122 (coup de chance cela marche du premier coup mais pas pour tout les autres ).

racine(2200)=46.9041575982.....
partie entiere est de 46.
on test : 46²+46=2162
          47²+47=2256
          48²+48=2352
Donc il n'existe pas d'aire chercher sous forme 22aa.

On renouvelle l'experience pour 3300 et ainsi de suite jusqua 9900.

Et on trouve comme solution
-33 en largeur, 34 en longueur soit une aire de 1122m²
-66 en largeur, 67 en longueur soit une aire de 4422m²
-99 en largeur, 100 en longueur soit une aire de 9900m²

La je pense avoir tout detailler ma facon qui peut sembler barbare mais qui marche

Posté par franz franz

Soit x la  largeur du champ.
La longueur est donc x+1.
L'aire du champ peut s'écrire sous la forme



On montre rapidement que pour que l'aire du champ ait 4 chiffres. (Résolution des racines des trinômes du 2° degré et ).



L'aire du champ peut s'écrire sous la forme


donc 11 divise x ou 11 divise (x+1).


1° cas : Si 11 divise (x+1)







Il n'y a aucune valeur du type dans la colonne de droite



2° cas : Si 11 divise x








On constate que les valeur de conduisent à des nombres du type dans la colonne de droite. Donc

Bilan :
Les dimensions du champ sont dans un des 3 cas suivants


                  

Posté par DivXworld (invité)

on appelle L la largeur du champ
l'aire est donc L(L+1)
pour que cette aire soit un nombre de 4 chiffres il faut 32L99

1ere méthode : on essaie toutes les valeurs possibles de L et on regarde l'aire (pas tres mathématiques)

2eme méthode :
on appelle a le chiffre des milliers et b le chiffre des dizaines
l'aire s'écrit L(L+1)=1000a+100a+10b+b
L(L+1)=11(100a+b)

donc 11 divise L(L+1)
soit L est un multiple de 11 soit L+1

on teste maintenant les valeurs possibles de L avec ces conditions :

32*33=1056
33*34=1122
43*44=1892
44*45=1980
54*55=2970
55*56=3080
65*66=4290
66*67=4422
76*77=5852
77*78=6006
87*88=7656
88*89=7832
98*99=9702
99*100=9900


les réponses au problème sont les couples (largeur,longueur) suivants :
(33,34) , (66,67) , (99,100)

Posté par isisstruiss isisstruiss

Si les côtés du champs sont x et x+1, il faudrait que s'écrive "aabb". On a donc x(x+1)=1100a+11b=11(100a+b). Donc on aura x ou x+1 multiplie de 11. De plus on a .

CAS 1
Si , on a .


Cas 1.1:
De là on déduit le système

qui admet trois solutions:
Cas 1.2:

De là on déduit le système

qui n'admet aucune solution.

CAS 2
Si x+1=11k on a .



De là on déduit le système

qui n'admet aucune solution.

Il y a donc exactement 3 solutions qui sont 33*34=1122, 66*67=4422 et 99*100=9900.

Isis

Posté par Nofutur2 Nofutur2

Si le produit de 2 nombres consécutifs est de 4 chiffres , ces nombres sont compris entre 33 (33*34) et 100 (99*100).
Soit la surface de la forme xxyy.
xxyy = 11 * (100x + y).
On sait donc que l'une des dimensions est multiple de 11, soit 11*k.
Il y a 7 * 2 possibilités (les chiffres de 3 *11 à 9 *11 avec +1 et -1) - 1 (car 33*32 a 3 chiffres).
Parmi celle ci, il y en 3 tels que k multiplié par l'autre dimension est immédiatement comporte un 0 aux dizaines.
Ce sont 3 * 34 ; 6 * 67 et 9* 100.
Les dimensions possibles sont donc :
33m * 34m ; 66m * 67m  et 99m * 100m

Posté par PolytechMars (invité)

Pour respecter les hypotheses du probleme, l'aire doit etre comprise entre 1100 et 9999 m² donc nous aurons une largeur comprise entre 33 et 99 m.

Notons a et b les chiffres de la valeur de l'aire du rectangle tel que Aire = 1000a+100a+10b+b=1100a+11b
Notons c et d les chiffres tel que x =10c+d represente la largueur du rectangle et x+1=10c+d+1 sa longeur.

Nous avons alors l'equation aux inconnues a, b, c et d :  (10c+d)(10c+d+1)=1100a+11b
soit 100c²+20cd+10c+d²+d=1100a+11b
soit 100c²+10(2cd+c)+d²+d=1100a+11b
donc nous pouvons dores et deja tirer une equation sur les unités : d²+d=b[10]
pour d variant de 0 à 9, b ne peut prendre que des les valeurs 0, 2 et 6 :
si d=0 alors b=0
si d=1 alors b=2
si d=2 alors b=6
si d=3 alors b=2
si d=4 alors b=0
si d=5 alors b=0
si d=6 alors b=2
si d=7 alors b=6
si d=8 alors b=2
si d=9 alors b=0

Occupons nous du chiffre des dizaines de l'aire ( b est ce chiffre) , on a l'equation : 2cd+c+R=b[10], R représentant la retenue de la somme d²+d.

1er cas : Si b=6 alors d=2 ou d=7
     sous cas : d=2 (R=0) d'où  5c=6[10]  DONC IMPOSSIBLE
    sous cas : d=7 (R=3) d'où 15c=1[10]  DONC IMPOSSIBLE


2eme cas : Si b=2 alors d=1 ou d=3 ou d=6 ou d=8
      sous cas : d=1 (R=0) d'où 3c=2[10] soit c=4 mais 41*42 ne donne pas le meme chiffre pour les centaines et les milliers.
      sous cas : d=3 (R=1) d'où 7c=1[10] soit c=3 et 33*34 repond parfaitement aux demandes de l'enoncé.
      sous cas : d=6 (R=4) d'où 13c=8[10] soit c=6 et 66*67 repond parfaitement aux demandes de l'enoncé.
      sous cas : d=8 (R=7) d'où 17c=5[10] soit c=5 et mais 58*59 ne donne pas le meme chiffre pour les centaines et les milliers.

3eme cas : Si b=0 alors d=4 ou d=5 ou d=9
      sous cas : d=4 (R=2) d'où 9c=8[10] soit c=2 mais 24*25 ne correspondent pas a des dimensions adequates du rectangle(largeur inferieure a 33 m).
      sous cas : d=5 (R=3) d'où 11c=7[10] soit c=7 mais 75*76 ne donne pas le meme chiffre pour les centaines et les milliers.
      sous cas : d=9 (R=9) d'où 19c=1[10] soit c=9 et 99*100 repond parfaitement aux demandes de l'enoncé.

Conclusion : cet enigme a trois solutions :
largueur = 33 m    longeur = 34 m
largueur = 66 m    longeur = 67 m
largueur = 99 m    longeur = 100 m

Merci en esperant que tu m'en veuilles pas trop pour les posts sur l'enigme de la mouche ! !

Miaouw

PS : je trouve interessant d'expliquer les methodes de calculs, ca permet de voir les differentes methodes ! cool!

Posté par TAT (invité)

33m X 34m = 1122 sqrt m
66m x 67m = 4422 sqrt m

Posté par gwa (invité)

En traduisant l'énoncé on arrive à l'équation :
L * (L+1) = AABB, avec L largeur du champ.

AABB est divisible par 11, donc L doit etre divisible par 11L (L+1 ne pouvant pas etre multiple de 11).

En prennant 3*11, 6*11 ou 9*11, on trouve alors trois possiblités pour le champs : {33,34}, {66,67}, {99,100}.

Maintenant j'espère qu'il fallait bien juste la methode et pas la justification.

Posté par Lopez Lopez

Bonjour,

Je pose longueur L = x et largeur l = x - 1 avec x
aire du champ rectangulaire = x(x-1) = x² - x = aabb , aabb étant un entier de 4 chiffres avec unité = dizaine = b et centaine = millier = a
Il faut résoudre l'équation :
x² - x - aabb = 0 (1)
= 1 + 4 aabb
J'ai cherché les nombres de la forme aabb tels que soit un entier
J'ai trouvé trois possibilités :
si aabb = 1122 alors = 67 et L = 34 et l = 33
si aabb = 4422 alors = 133 et L = 67 et l = 66
si aabb = 9900 alors = 199 et L = 100 et l = 99

Posté par mikemikemike (invité)

a * (a - 1) = xxyy où a = longueur du rectangle et x,y représentent deux chiffres.
a * (a - 1) = xxyy = 1000 * x + 100 * x + 10 * y + y = 1100 * x + 11 * y = 11 * (100 * x + y) = 11 * x0y (où x0y est un nombre de 3 chiffres dont le chiffre des dizaines vaut 0)
Donc, a * (a - 1) est un multiple de 11, donc a ou (a - 1) est aussi un multiple de 11 et le résultat de a * (a - 1) / 11 = x0y
De plus, a<101 car 101*100=10100 est un nombre de plus de 4 chiffres.
Voici les couples candidats pour les longueurs du rectangle:
(10,11) (11,12)
(21,22) (22,23)
(32,33) (33,34) 33 * 34 = 1122
(43,44) (44,45)
(54,55) (55,56)
(65,66) (66,67) 66 * 67 = 4422
(76,77) (77,78)
(87,88) (88,89)
(98,99) (99,100) 99 * 100 = 9900
Les couples soulignés sont les solutions...

Posté par philoux (invité)

x.(x+1) = aabb est multiple de 11 (critère de divisibilité somme des positions paires - somme des positions impaires = k.11 vrai (a+b)-(a+b)=0)
ou aussi a.1100 +b.11=11.(100.a+b)
d'où x= k.11 ou x+1=k.11
en ôtant le cas a=0 qui ne fournit pas de solution, il faut, afin que aabb>1100, que x>=33
J'ai essayé (oui, c'est pas beau !) les 33, 44... 99 pour voir que seuls
x,x+1 = 33,34
x,x+1 = 66,67
x,x+1 = 99,100
marchent.
il devrait y avoir un x = 3.p que je ne suis pas parvenu à montrer (peut être avec le 1 + 44(100a+b) = carré ?)

Envoyez le poisson !

Nota : Ou j'ai mal pris le pb, ou les 2* sont sous-évaluées !

Merci pour l'énigme

Posté par jetset (invité)

La surface du champ est égale à l.(l+1)
Donc c'est le produit de 2 nombres consécutifs.
Pour obtenir un nombre de 4 chiffres l doit être compris entre 32 et 99.
Il y a donc sans tenir compte de la contrainte 68 possibilités allant de 32x33 jusqu'à 99x100.
On examine toutes ces possibilités et on ne conserve que celles répondant à la contrainte. Il reste donc:
33x 34= 1122
66x 67= 4422
99x100= 9900

J'espère que cela sera suffisant comme détails de calcul

Posté par jacko78 (invité)

La surface est donc de la forme (a)(a+1) = xxyy
Donc xxyy est un multiple de 11, compris entre 1100 et 9999. On cherche donc les multiples de 11 compris entre 33 (dont le carré est 1089) et 99 (dont le carré est 9801).
Les trois solutions qui conviennent pour a sont 33,66 et 99, les trois surfaces correspondantes étant 1122, 4422 et  9900.
Donc les largeurs sont 33  66  99 et les longueurs correspondantes 34  67 100

Posté par xWiBxRaYmAn0o7x (invité)

Bon allez ... comme on dit, qui ne tente rien n'a rien ...

Les nombres de la forme AABB sont caracteristiques des produits du type : 11 * X0Y

or on a 1000<xy<9999 soit 32*33 = 1056 =< xy =< 9900 = 99*100

on teste alors :

11 * n * ((11*n)+1) de la forme AABB attendue pour n [3,9] (7 multiplications a poser ... c'est pas trop long )

On trouve comme solution 33*34 , 66*67 et 99*100

on teste ensuite :

11 * n * ((11*n)-1) de la forme AABB attendue pour n [3,9] (7 autres multiplications ... )

On ne trouve aucune solution.

J'en deduis donc qu'il n'y a que 3 solutions possible :
- (33,34) -> 1122 m²
- (66,67) -> 4422 m²
- (99,100) -> 9900 m²

J'espere ne pas en avoir oublié et avoir été clair sur mes explications ...

Posté par J-P J-P

Enigme clôturée.

Il y avait 3 couples solutions: (33,34), (66,67) et (99,100)

Bravo à tous.

Posté par isisstruiss isisstruiss

Aha... Il y avait pas besoin de donner une justification complète, il suffisait d'indiquer la méthode utiliser... Si j'avais compris ça je n'aurais sûrement pas rédigé ma réponse avec autant de détail! C'était tout de même un joli exercice...

Isis

Posté par philoux (invité)

Bonjour,

A lire les réponses de cette énigme, nous avons tous été amenés, in fine, à "essayer" des valeurs après avoir, il est vrai, restreint le nombre de cas possibles grâce au multiple de 11.

Cependant, ces solutions s'écrivent aussi comme un multiple de 3 (33, 66 et 99).
En utilisant des conditions sur l'extraction de Delta (voir post de Lopez ou le mien), n'y aurait-il pas un moyen d'arriver à montrer que ces solutions sont des multiples de 3 ?
Puis, comme elles sont déjà multiple de 11, elles le sont de 33 ! CQFD

Si un des correcteurs a une méthode plus "propre", merci de l'indiquer.
Merci à J-P pour l'énigme.
Philoux

Posté par isisstruiss isisstruiss

Une fois les solutions en main, j'ai aussi essayé de trouver une justification pour que x soit multiple de 3, mais je n'ai rien trouvé. Mais il n'y avait pas besoin de tester toutes les possibilités par tâtonnement. Je n'ai pas du tout tâtonné par exemple.

Isis

Posté par J-P J-P

Le fait de devoir "essayer" des valeurs n'est en rien non mathématique.

Si un raisonnement permet de diminuer de manière considérable de nombre de cas à essayer, c'est bon et c'est, à mon avis, même meilleur que de pousser le raisonnement plus loin pour avoir moins de cas à essayer mais qui demande plus de temps que les cas à essayer.
Mais ce n'est qu'un avis.

Posté par isisstruiss isisstruiss

Tester plusieurs cas à la mais, je fais volontiers s'ils sont 3-4, maximum 5. Au delà ça m'ennuye fortement alors je préfère programmer ou tenir un raisonnement qui remplace les calculs. Quand je résouds des énigmes sur , le plus important n'est pas le temps, mais le plaisir, autrement je ne participerais pas du tout au jeu d'ailleurs.

Puis très franchement je ne vois pas de différence entre tester plusieurs cas à l'aide d'une calculatrice ou à l'aide d'un programme comme Matlab ou Octave par exemple. Au lieu de taper plein de nombres au clavier on fait un vecteur et on fait tous les calculs en une ligne de commande. Mathématiquement on a fait la même opération...

D'ailleurs quand on programme un problème (en toute généralité, pas uniquement sur ), ce n'est pas forcément parce qu'on veut moins réfléchir. Celà devrait être bien le contraire même pour le programmeur! Avant de programmer il faut avoir saisi les subtilités du problème, connaître les racourcis et réfléchir à une bonne structure. L'important n'est pas les moyens utilisés mais la manière dont ils ont été utilisés.

Isis

Posté par J-P J-P

Isis,
Tu dis:

"Avant de programmer il faut avoir saisi les subtilités du problème"

C'est trop souvent faux.

Si le programme se contente (et c'est très souvent le cas) de tester tous les cas possibles, il n'y a pas de place pour la réflexion mathématique.

Je me rappelle des énigmes sur des combinaisons de cadenas ou sur des cryptarithmes.
La solution bête et méchante d'écrire un programme qui teste toutes les possibilités n'a rien de compliqué et enlève tout le sel du problème.

Ceci dit, je n'ai rien contre l'utilisation de tels programmes quand le but est de trouver une solution à un problème le plus vite possible mais cela n'a plus grand chose à voir avec la réflexion mathématique.

J'ai aussi beaucoup utilisé des programmes informatiques, la plupart écrit par moi, pour résoudre des problèmes rapidement (par exemple pour trouver les comportements de circuits électriques qui demandaient la résolutions d'un système d'équations différentielles à 60 inconnues et dont certains éléments n'étaient pas linéaires, application d'un multiplicateur de tension avec de multiples résonances), si j'avais essayé de faire cela à la "main", je serais encore probablement en train de m'acharner dessus et ceci encore pour plusieurs années.

Dans de tels cas, vive l'informatique.
Pour les cas ou l'informatique ne sert qu'à passer outre la réflexion, alors je suis contre.

Posté par isisstruiss isisstruiss

Salu J-P!

"Avant de programmer il faut avoir saisi les subtilités du problème"
Je viens de voir que ma phrase admet 2 interprétations. Je ne pensais pas à " on ne peut pas programmer si on n'a pas compris les subtilités". Je pensais à un "il faut" du genre un idéal et la phrase qui exprimerait au mieux ma pensée à ce moment-là aurait été "Tout programmeur devrait bien réfléchir et comprendre les subtilités avant de se mettre à la programmation". Programmer sans réfléchir donne des programmes "bourrin", longs et pas efficaces.

Je ne suis pas du tout pour utiliser l'informatique à tout prix, d'ailleurs j'ai choisi de faire des études en mathématiques et non pas en informatique. Le but de mon intervention était de dire que je ne suis pas d'acord avec les affirmations: "on programme parce qu'on ne veut pas réfléchir" et "on n'a pas programmé donc on a réfléchi". Elles sont vraies parfois, mais pas toujours.

Je me répète, mais celà exprime tellement bien mon avis: L'important n'est pas les moyens utilisés mais la manière dont ils ont été utilisés.

Isis

Posté par philoux (invité)

Bonjour J-P,

J-P wrote :
Le fait de devoir "essayer" des valeurs n'est en rien non mathématique.
Si un raisonnement permet de diminuer de manière considérable de nombre de cas à essayer, c'est bon et c'est, à mon avis, même meilleur que de pousser le raisonnement plus loin pour avoir moins de cas à essayer mais qui demande plus de temps que les cas à essayer. Mais ce n'est qu'un avis.

L'objet de ma remarque n'était pas de passer moins de temps car, si on prend ce temps (précieux ?) à résoudre les énigmes, c'est aussi pour "le perdre".

C'était plus simplement parce que je me sentais mécontent de moi-même à avoir, comme tous*, été amené à "essayer" plusieurs valeurs alors que je pensais que l'on pouvait démontrer le Mod3.

Seulement déçu que ce ne soit pas le cas...

Merci encore pour toutes vos énigmes !

A+ Philoux

* : Pour Isisstruiss
Isisstruiss wrote :
...
De là on déduit le système...qui admet trois solutions (a,b,k)...
...
...Je n'ai pas du tout tâtonné par exemple.

Le terme "tâtonné" est sûrement impropre mais, pour résoudre ton système en (a,b,k), tu as du (sauf erreur) "tester" des valeurs; c'est ce que je voulais éviter par utilisation du Mod3.
Cordialement,