fonctions définies sur un IR espace vectoriel... enfin je crois!

Posté par Nalla Nalla

Bonsoir à tous!

Je planche sur un exo, et je n'arrive pas à faire la première question. Pourriez vous me passer un coup de main svp?

On note E₂ l'espace vectoriel de dimension 2 sur le corps des réels, constitué de la fonction nulle et des fonctions polynomiales P de degré inférieur ou égal à 2.
On me demande de déterminer les réels ₀, ₁, et ₂ tels que pour toute fonction PE₂:
₀¹ P(t) e^tdt=₀P(0)+₁P(1/2)+₂P(1)
Comme ça, ça m'a fait pensé à un DL (parce que j'en ai fait un certain nombre aujourd'hui?), mais j'ai pas l'ombre d'une idée de comment résoudre cette question.

Bonne soirée, et merci beaucoup à ceux qui se pencheront sur ma question!
Nalla

Posté par Tigweg Tigweg

Bonjour,

la méthode bourrine marche très bien!

Sauf erreur de ma part, en écrivant P(t) = a + bt + ct², le membre de gauche vaut a(e - 1) + b + c(e - 2).

Comme P(0) = a, P(1) = a + b+ c et P(1/2) = a + b/2 + c/4, une petite résolution de système te permettra d'exprimer a, b, c en fonction de P(0), P(1) et P(1/2), puis de trouver les bons coefficients en remplaçant!

Remarque que ces trois coefficients sont l'expression de la forme linéaire définie sur R2[X] par dans la base {P->P(0), P-> P(1/2), P->P(1)} de l'espace dual de R2[X].

Posté par Nalla Nalla

Ok c'est tout bête en fait! Affligeant: j'ai tellement perdu l'habitude des trucs simples que quand il y en a, je les vois même plus! En tout cas merci beaucoup et bonne soirée.
Nalla

Posté par Tigweg Tigweg

Je t'en prie! En même temps, il y a paeut-être une méga-astuce que je n'ai pas vue, pour aller plus vite!