Equivalent

Posté par willoum willoum

Bonjour à tous.
Je suis en train de préparer la leçon 64, et je touche à la fin où je dois donner des exemples. J'ai donné comme exemple les équivalent courant comme
cos(x)-1 équivalent en 0 à -x²/2
sin(x) équivalent en 0 à x
tan(x) équivalent en 0 à x
ln(1+x) équivalent en 0 à x
exp(x)-1 équivalent en 0 à x

Mon problème est le suivant:
j'aimerai savoir prouver ces exemples et je penses que de se servir des développements limités n'est pas super pour cette leçon.
Je voulais donc savoir s'il y avait d'autre méthode. J'ai par exemple commencé a majoré
(1-cos(x))/x² par 1/2 (au voisinage de 0) pour utiliser le théorème des gendarmes mais je n'ai réussit qu'à majorer et non à minorer et en plus je trouve ça assez long donc voilà ma question:
pouvez vous m'aider à prouver ce que j'annonce, si non pensez vous que de se servir des développement limités est une bonne idées pour la leçon 64(honnetement j'en doute fortement)

Merci

Posté par raymond raymond

Bonsoir.

Et du côté du théorème des accroissements finis ?

Ou alors, la définition de la dérivabilité ?

Posté par galois galois


Bonjour,
cox(x)=1-x²/2+x²e(x) avec lim(x->0)e(x)=0.
cos(x)-1=-x²/2+x²e(x).
(cos(x)-1]/(-x2/2)=1-2e(x)
lim(x->0)e(x)=0 entraine:
lim(x->0)[(cos(x)-1]/(-x2/2)]=1
donc (cos(x)-1) est équivalent à (-x²/2) (en 0).
Vous pouvez procéder de la même manière pour les autres exercices.
Un collègue interessé va certainenement intervenir.
Amicalement.

Posté par willoum willoum

Ah bah oui
Merci beaucoup, j'ai tout trouvé sauf pour le premier exemple, ça ne résoud pas mon problème.
Mais c'est déjà super sympa de m'avoir débloqué sur le reste. Merci encore!!!

Posté par galois galois

Quel est le contenu de cette leçon 64?

A bientôt.

Posté par willoum willoum

Comparaison des fonctions : domination, prépondérance, équivalence. Exemples et
applications