Dossier Arithmétique oral 2 Capes

Citation :
Un ou plusieurs exercices sur le thème "Arithmétique" mettant en jeu des propriétés de certains nombres entiers.

Citation :
On considère un entier naturel pair a.
1)Justifier que a peut s'écrire sous la forme 2^n.b ou b est un entier impair et n un entier naturel non nul.
2)On note s(a)(resp s(b)) la somme de tous les diviseurs positifs de a (resp b)
  a)On note do=1,d1,d2,...,dp=b la liste des diviseurs de b.Démontrer que
  b)Démontrer que a est un nombre parfait ssi
  c)En déduire que si a est parfait alors s(b)-b est un diviseur de b, puis que b est premier
  d)Conclure

Citation :
Exercice 2:Les nombres de Mersenne

1)Montrer que est divisible par et
2)En déduire que
3)la réciproque est-elle vraie?donner un exemple.

Citation :
Exercice 3:Les nombres de Fermat
Soit .On appelle nombre de Fermat,tout nombre de la forme
1) a)Calculer pour et montrer qu'ils sont premiers
b)Démontrer par recurrence que pour tout
c)En déduire que pour tout ,le chiffre des unités de en base 10 est 7

2)a)Soit et
Démontrer que est un entier
b)En déduire que pour tout , est un entier
c)En déduire que divise 2
3)Démontrer que et sont premiers entre eux.

Citation :
d'où je ne suis pas trop objectif?!